Serie de Appel
En matemáticas, una serie de Appell, llamada así por Paul Émile Appell, es cualquier serie polinómica que satisface la identidad
y en la que es una constante distinta de cero.
Entre las series de Appell más notables, además del ejemplo trivial , se encuentran los polinomios de Hermite, los polinomios de Bernoulli y el polinomio de Euler. Cada serie de Appell es una serie de Sheffer, aunque la mayoría de las series de Sheffer no son series de Appell.
Caracterizaciones equivalentes de las series de Appell
Puede verse con facilidad que las siguientes condiciones de las series polinómicas son equivalentes:
- Para ,
- y es una constante distinta de cero;
- Para alguna serie de escalares con ,
- Para la misma serie de los escalares,
- donde
- Para ,
Fórmula de recursión
Supóngase que
donde se toma la última igualdad para definir el operador lineal en el espacio de polinomios en . Sea
el operador inverso, los coeficientes son los del recíproco habitual de una serie formal de potencias, de modo que
En las convenciones del cálculo umbral, a menudo se considera que esta serie formal de potencias representa la serie de de Appell. Se puede definir
utilizando la expansión en serie de potencias habitual de la función y la definición habitual de composición de serie formal de potencias. Entonces, se tiene que
(Esta diferenciación formal de una serie de potencias en el operador diferencial es una instancia de la diferencial de Pincherle).
En el caso de los polinomios de Hermite, esto se reduce a la fórmula de recursión convencional para esa serie.
Subgrupo de los polinomios de Sheffer
El conjunto de todas las series de Appell se cierra bajo la operación de la composición umbral de series polinómicas, que se define a continuación. Supóngase que y son series polinomiales, dadas por
Entonces, la composición de umbral es la serie polinomial cuyo término th es
(El subíndice aparece en , ya que este es el término th de esa serie, pero no en , ya que se refiere a la serie como un todo en lugar de a uno de sus términos).
Bajo esta operación, el conjunto de todas las series de Sheffer es un grupo no abeliano, pero el conjunto de todas las series de Appell es un subgrupo abeliano. Se puede ver que es abeliano considerando el hecho de que cada serie de Appell es de la forma
y que la composición umbral de las series de Appell corresponde a la multiplicación de estas series formales de potencias mediante el operador .
Otra convención diferente
Otra convención seguida por algunos autores (véase Chihara) define este concepto de una manera diferente, en conflicto con la definición original de Appell, usando la identidad
en lugar del criterio anterior.
Véase también
- Serie de Sheffer
- Cálculo umbral
- Polinomios de Appell generalizados
- Producto de Wick
Referencias
- Appell, Paul (1880). «Sur une classe de polynômes». Annales scientifiques de l'Escuela Normal Superior de París 2me série 9: 119-144.
- Roman, Steven; Rota, Gian-Carlo (1978). «The Umbral Calculus». Advances in Mathematics 27 (2): 95-188. doi:10.1016/0001-8708(78)90087-7..
- Rota, Gian-Carlo; Kahaner, D.; Odlyzko, Andrew (1973). «Finite Operator Calculus». Journal of Mathematical Analysis and its Applications 42 (3): 685-760. doi:10.1016/0022-247X(73)90172-8. Reimpreso en el libro con el mismo título, Academic Press, Nueva York, 1975.
- Steven Roman. The Umbral Calculus. Dover Publications.
- Theodore Seio Chihara (1978). An Introduction to Orthogonal Polynomials. Gordon and Breach, New York. ISBN 0-677-04150-0.
Enlaces externos
- Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Appell polynomials», Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104.
- Appell Sequence en MathWorld