Sistema de referencia no inercial

Figura 5. Sistemas de referencia

Sean S y S' dos sistemas de referencia como los mostrados en la figura 5. Consideremos que S sea un sistema fijo y que S' sea un sistema de referencia no inercial con movimiento acelerado respecto al primero (translación y/o rotación).

Se puede demostrar[1][2] que las derivadas temporales de un vector cualquiera ${\displaystyle \,{\vec {b}}\,}$ respecto a los dos sistemas de referencia anteriores, S y S', están relacionadas por la expresión:

(1)${\displaystyle \left[{\frac {d{\vec {b}}}{dt}}\right]_{S}=\left[{\frac {d{\vec {b}}}{dt}}\right]_{S'}+{\vec {\omega }}_{S'|S}\times {\vec {b}}}$

donde los subíndices S y S' representan el sistema de referencia con respecto al cual se realiza la derivación, y ${\displaystyle {\vec {\omega }}_{S'|S}}$ es la velocidad angular del sistema de referencia S' respecto al sistema de referencia S.

La ecuación (1) nos va a ser de utilidad para obtener la ecuación correspondiente a la segunda ley de Newton para el sistema de referencia no inercial S'. Esto será lo que hagamos a continuación.

Figura 6. Posición de un objeto respecto a dos sistemas de referencia

Sea un objeto de masa m, situado respecto a los sistemas de referencia S y S', según se muestra en la figura 6. Los vectores de posición están relacionados por la ecuación:

(2)${\displaystyle {\vec {r}}={\vec {r\,'}}+{\vec {r}}_{O'}}$

Derivando la ecuación (2) respecto al tiempo y aplicando (1), obtenemos:

(3)${\displaystyle \left[{\frac {d{\vec {r}}}{dt}}\right]_{S}=\left[{\frac {d{\vec {r\,'}}}{dt}}\right]_{S}+\left[{\frac {d{\vec {r}}_{O'}}{dt}}\right]_{S}=\left[{\frac {d{\vec {r\,'}}}{dt}}\right]_{S'}+{\vec {\omega }}_{S'|S}\times {\vec {r\,'}}+\left[{\frac {d{\vec {r}}_{O'}}{dt}}\right]_{S}}$

que puede escribirse también como la ecuación que relaciona las velocidades:

(4)${\displaystyle {\vec {v}}={\vec {v\,'}}+{\vec {\omega }}_{S'|S}\times {\vec {r\,'}}+{\vec {v}}_{O'}}$

Volviendo a derivar y aplicando de nuevo la ecuación (1), obtenemos la expresión:

${\displaystyle \left[{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}\right]_{S}=\left[{\frac {d{\vec {v\,'}}}{dt}}\right]_{S}+\;{\frac {d{\vec {\omega }}_{S'|S}}{dt}}\times {\vec {r\,'}}\;+\;{\vec {\omega }}_{S'|S}\times \left[{\frac {d{\vec {r\,'}}}{dt}}\right]_{S}+\left[{\frac {d{\vec {v}}_{O'}}{dt}}\right]_{S}}$

${\displaystyle =\left[{\frac {d{\vec {v\,'}}}{dt}}\right]_{S'}+\;{\vec {\omega }}_{S'|S}\times {\vec {v\,'}}\;+\;{\frac {d{\vec {\omega }}_{S'|S}}{dt}}\times {\vec {r\,'}}\;+\;{\vec {\omega }}_{S'|S}\times \left(\left[{\frac {d{\vec {r\,'}}}{dt}}\right]_{S'}+{\vec {\omega }}_{S'|S}\times {\vec {r\,'}}\right)+\left[{\frac {d{\vec {v}}_{O'}}{dt}}\right]_{S}}$

que puede reescribirse como:

${\displaystyle {\vec {a}}={\vec {a\,'}}+2\;{\vec {\omega }}_{S'|S}\times {\vec {v\,'}}+{\vec {\alpha }}\times {\vec {r\,'}}+{\vec {\omega }}_{S'|S}\times \left({\vec {\omega }}_{S'|S}\times {\vec {r\,'}}\right)+{\vec {a}}_{O'}}$

con lo que la aceleración del objeto en el sistema de referencia no inercial será:

(5)${\displaystyle {\vec {a\,'}}={\vec {a}}-2\;{\vec {\omega }}_{S'|S}\times {\vec {v\,'}}-{\vec {\alpha }}\times {\vec {r\,'}}-{\vec {\omega }}_{S'|S}\times \left({\vec {\omega }}_{S'|S}\times {\vec {r\,'}}\right)-{\vec {a}}_{O'}}$

Y multiplicando por la masa se obtiene finalmente la segunda ley de Newton para el sistema de referencia no inercial:

(6)${\displaystyle {\vec {F'}}=m{\vec {a\,'}}=m{\vec {a}}-2m\;{\vec {\omega }}_{S'|S}\times {\vec {v\,'}}-m{\vec {\omega }}_{S'|S}\times \left({\vec {\omega }}_{S'|S}\times {\vec {r\,'}}\right)-m{\vec {\alpha }}\times {\vec {r\,'}}-m{\vec {a}}_{O'}}$

Por otro lado, la expresión para la segunda ley de Newton en el sistema de referencia inercial es:

(7)${\displaystyle {\vec {F}}=m{\vec {a}}}$

Comparando las ecuaciones (6) y (7) se observa que para el caso del sistema referencia no inercial han aparecido cuatro términos, conocidos como fuerzas ficticias por no deberse a la interacción del objeto con otros cuerpos:

1 ${\displaystyle -2m\;{\vec {\omega }}_{S'|S}\times {\vec {v\,'}}}$: es conocido como fuerza de Coriolis

2 ${\displaystyle -m{\vec {\omega }}_{S'|S}\times \left({\vec {\omega }}_{S'|S}\times {\vec {r\,'}}\right)}$: se conoce como fuerza centrífuga

3 ${\displaystyle -m{\vec {\alpha }}\times {\vec {r\,'}}}$: es una fuerza que solo estará presente en los sistemas con aceleración angular

4 ${\displaystyle -m{\vec {a}}_{O'}}$: es debida a la aceleración del origen de S' respecto a S.

Los cuatro términos aparecen con signo negativo, y corresponden a aceleraciones sufridas por el sistema S', con centro en O', respecto al sistema inercial S, con centro en O, y cada uno de ellos compensa una forma de aceleración sufrida por el sistema S' respecto a S. Esto es, las fuerzas ficticias son la compensación de las fuerzas necesarias para que el sistema S' este acelerado respecto a S.

La mecánica relativista considera sistemas mecánicos moviéndose en un espacio-tiempo plano o espacio de Minkowski. En dicha teoría cualquier sistema de coordenadas admisible es válido para representar el movimiento.

Sin embargo, la simple generalización de las leyes de Newton no será válida en cualquiera de esos sistemas a menos que sean sistemas de coordenadas galileanas en las que los símbolos de Christoffel se anulen. El equivalente relativista de la segunda ley de Newton para un sistema de referencia arbitrario será:

${\displaystyle m\left({\frac {d^{2}x^{\mu }}{d\tau ^{2}}}+\sum _{\sigma ,\nu }\Gamma _{\sigma \nu }^{\mu }{\frac {dx^{\sigma }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\right)=F^{\mu }}$,

donde:

${\displaystyle m\,}$ es la masa de la partícula,

${\displaystyle x^{\mu }\,}$ son las coordenadas de la partícula,

${\displaystyle \tau \,}$ es el tiempo propio de la partícula,

${\displaystyle \Gamma _{\sigma \nu }^{\mu }\,}$ son los símbolos de Christoffel asociados al sistema de coordenada, y

${\displaystyle F^{\mu }\,}$ es la cuadrifuerza que actúa sobre la partícula.

En un sistema de referencia inercial relativista, dado que ${\displaystyle \Gamma _{\sigma \nu }^{\mu }=0}$ para ese sistema, se tendrá que:

${\displaystyle m{\frac {d^{2}x^{\mu }}{d\tau ^{2}}}=F^{\mu }}$,

que tiene la forma de segunda ley de Newton.

• Sistema de referencia
• Sistema de referencia inercial
• Fuerza ficticia

• El problema de los sistemas de referencia. Manuel Alonso Sánchez

Nivel avanzado

• Mecánica Clásica. Cayetano Di Bartolo.
• Apuntes de Mecánica Clásica. Instituto Balseiro.