Sustitución en integración

Antes de enunciar el teorema de manera formal, considere un caso sencillo para integrales indefinidas.

Calcular ${\displaystyle \textstyle \int (2x^{3}+1)^{7}(x^{2})\,dx}$[2]

Sea ${\displaystyle u=2x^{3}+1}$. Esto significa ${\displaystyle \textstyle {\frac {du}{dx}}=6x^{2}}$ o en forma diferencial ${\displaystyle du=6x^{2}\,dx}$. Ahora

,${\displaystyle {\begin{aligned}\int (2x^{3}+1)^{7}(x^{2})\,dx&={\frac {1}{6}}\int \underbrace {(2x^{3}+1)^{7}} _{u^{7}}\underbrace {(6x^{2})\,dx} _{du}\\&={\frac {1}{6}}\int u^{7}\,du\\&={\frac {1}{6}}\left({\frac {1}{8}}u^{8}\right)+C\\&={\frac {1}{48}}(2x^{3}+1)^{8}+C\end{aligned}}}$

donde ${\displaystyle C\in \mathbb {R} }$ es una constante arbitraria de integración.

Este procedimiento es frecuentemente utilizado pero no todas las integrales permiten su uso. En cualquier caso en que sea aplicable, el resultado puede verificarse derivando y comparando con el integrando original.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\left[{\frac {1}{48}}(2x^{3}+1)^{8}+C\right]&={\frac {1}{48}}\;8(2x^{3}+1)^{7}(6x^{2})\\&=x^{2}(2x^{3}+1)^{7}\end{aligned}}}$

Para integrales definidas, los límites de integración deben ajustarse a la nueva variable pero el procedimiento es prácticamente igual.

Sea ${\displaystyle \varphi$ :[a,b]\to I} una función continuamente diferenciable donde ${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$ es un intervalo. Supóngase que ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ es una función continua entonces

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(\varphi (x))\varphi '(x)\,dx=\int _{\varphi (a)}^{\varphi (b)}f(u)\,du.}$

La fórmula es usada para transformar una integral a una integral que es más fácil de calcular.

La fórmula de integración por sustitución puede ser demostrada utilizando el teorema fundamental de cálculo como sigue.

Sean ${\displaystyle f}$ y ${\displaystyle \varphi }$ funciones tales que ${\displaystyle f}$ es continua en ${\displaystyle I}$ y ${\displaystyle \varphi }$ tiene derivada ${\displaystyle \varphi '}$ tal que es integrable en el intervalo cerrado ${\displaystyle [a,b]}$ entonces la función ${\displaystyle f\left(\varphi (x)\right)\varphi '(x)}$ también es integrable en ${\displaystyle [a,b]}$. Por lo que las integrales

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(\varphi (x))\varphi '(x)\,dx}$

y

${\displaystyle \int _{\varphi (a)}^{\varphi (b)}f(u)\,du}$

existen y queda demostrar que son iguales.

Dado que ${\displaystyle f}$ es continua, tiene una antiderivada ${\displaystyle F}$. La función compuesta ${\displaystyle F\circ \varphi }$ está definida, como ${\displaystyle \varphi }$ es diferenciable, combinando la regla de cadena y la definición de antiderivada obtenemos

${\displaystyle (F\circ \varphi )'(x)=F'(\varphi (x))\varphi '(x)=f(\varphi (x))\varphi '(x).}$

Aplicando el teorema fundamental del cálculo dos veces obtenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(\varphi (x))\varphi '(x)\,dx&=\int _{a}^{b}(F\circ \varphi )'(x)\,dx\\&=(F\circ \varphi )(b)-(F\circ \varphi )(a)\\&=F(\varphi (b))-F(\varphi (a))\\&=\int _{\varphi (a)}^{\varphi (b)}f(u)\,du,\end{aligned}}}$

Considere la integral

${\displaystyle \int _{0}^{2}x\cos(x^{2}+1)dx.}$

Haga la sustitución ${\displaystyle u=x^{2}+1}$ para obtener ${\displaystyle du=2xdx}$, esto es ${\displaystyle \textstyle xdx={\frac {1}{2}}du}$ Por lo que

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{x=0}^{x=2}x\cos(x^{2}+1)dx&={\frac {1}{2}}\int _{u=1}^{u=5}\cos(u)\,du\\&={\frac {\operatorname {sen}(u)}{2}}{\bigg |}_{1}^{5}\\&={\frac {\operatorname {sen}(5)-\operatorname {sen}(1)}{2}}.\end{aligned}}}$

Dado que el límite inferior ${\displaystyle x=0}$ fue reemplazado por ${\displaystyle u=1}$ y el límite superior ${\displaystyle x=2}$ con ${\displaystyle 2^{2}+1=5}$, regresar a la variable original ${\displaystyle x}$, fue innecesario.

La sustitución puede ser usada para determinar antiderivadas. Uno escoge una relación entre ${\displaystyle x}$ y ${\displaystyle u}$, determina la relación correspondiente entre ${\displaystyle dx}$ y ${\displaystyle du}$ mediante diferenciación y realiza las sustituciones.

Similar al ejemplo 1 de arriba, la siguiente antiderivada puede ser obtenida utilizando este método:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int x\cos(x^{2}+1)\,dx&={\frac {1}{2}}\int 2x\cos(x^{2}+1)\,dx\\&={\frac {1}{2}}\int \cos u\,du\\&={\frac {1}{2}}\operatorname {sen} u+C\\&={\frac {1}{2}}\operatorname {sen}(x^{2}+1)+C\end{aligned}}}$

donde ${\displaystyle C\in \mathbb {R} }$ es una constante arbitraria de integración.

Para este ejemplo, no hubo límites de integración que modificar pero en el último paso regresar a la variable original ${\displaystyle u=x^{2}+1}$ es necesario.

La función tangente puede ser integrada utilizando sustitución expresándola en términos del seno y coseno:

${\displaystyle \int \tan x\,dx=\int {\frac {\operatorname {sen} x}{\cos x}}\,dx}$

Utilizando la sustitución ${\displaystyle u=\cos x}$ obtenemos ${\displaystyle du=-\sin x\,dx}$ y

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \tan x\,dx&=\int {\frac {\operatorname {sen} x}{\cos x}}\,dx\\&=\int -{\frac {du}{u}}\\&=-\ln |u|+C\\&=-\ln |\cos x|+C\\&=\ln |\sec x|+C.\end{aligned}}}$