Teorema de la bola peluda

Es una demostración que utiliza el argumento del reductio ad absurdum (se pueden construir análogos tridimensionales: se quiere demostrar que no puede haber campo vectorial tangente y continuo, que no se anule nunca sobre la esfera ordinaria en el espacio tridimensional). Al razonar por el absurdo, se supone que sí existe una aplicación continua ${\displaystyle f\ }$ del disco unitario en él mismo, tal que ${\displaystyle f(x)\ }$ es distinta de ${\displaystyle x\ }$ para cualquier ${\displaystyle x\ }$ del disco. Lo que se busca es fabricar una bola peluda sin rizo ni calvicie, y obtener así una contradicción.

Si se tiene una aplicación ${\displaystyle f\ }$ sin punto fijo, entonces cada punto ${\displaystyle x\ }$ del disco permite definir un vector no nulo, el vector ${\displaystyle f(x)-x\ }$. Intuitivamente, la idea es «plegar» una esfera cortada por la mitad, y hacerla coincidir exactamente con el semi-disco.

Al pegar nuevamente ambos hemisferios de la esfera, los campos tangentes se recomponen continuamente, obteniéndose así un «peinado» continuo y sin «calvicie», que es la contradicción deseada.

Se razona nuevamente por el absurdo. Dada una esfera, se eligen un polo norte y un polo sur, así como una orientación. De este modo se puede hablar de paralelos de la esfera y orientarlos de manera continua. Adicionalmente, se define un sistema referencial móvil tangente a la esfera. Se le puede asociar entonces a cada paralelo un número: el número de vueltas del campo vectorial en el sistema móvil a lo largo de ese paralelo. Este número está bien definido pues el campo vectorial no se anula; depende continuamente de la latitud del paralelo -según los resultados estándares sobre la continuidad del número de vueltas- y es entero. Por lo tanto es constante.

A continuación, se calcula el número de vueltas en la vecindad del polo norte, punto en que el sistema de referencia móvil cesa de estar definido. Para paliar esta dificultad, se proyectan a la vez el campo vectorial ${\displaystyle v\ }$ y es sistema móvil sobre el plano tangente al polo norte. La orientación de este plano tangente se deduce de la orientación de la esfera. Por continuidad, el número de vueltas no cambia y vale ${\displaystyle m\ }$ y ${\displaystyle m\ }$ vale ${\displaystyle +1\ }$ o ${\displaystyle -1\ }$ según la elección de la orientación de los paralelos.

Siguiendo un razonamiento similar en una vecindad del polo sur, el sistema móvil dará una vuelta alrededor del polo sur en el sentido de los paralelos, mas para mantener una orientación coherente con la de la esfera, en tanto que plano en el espacio de tres dimensiones, el plano tangente debe estar orientado en el sentido opuesto, y por lo tanto el número de vueltas será ${\displaystyle -m\ }$, lo cual es una contradicción.

Para el desarrollo algebraico formal de las demostraciones expuestas, se puede tomar, por ejemplo, ${\displaystyle x\ }$ como un punto corriente de la esfera y ${\displaystyle v(x)\ }$ el campo de vectores; a continuación se parametriza la esfera en coordenadas polares (suponiendo un radio 1):

${\displaystyle x_{1}=\cos \theta \cos \phi ,\quad x_{2}=\sin \theta \cos \phi ,\quad x_{3}=\sin \phi }$

con 0≤${\displaystyle \theta }$<2${\displaystyle \pi }$ y ${\displaystyle -\pi /2}$≤ ${\displaystyle \phi }$≤${\displaystyle \pi /2}$. El resultado muestra la contradicción esbozada, al calcular el número de vueltas del campo tangente, con una determinada orientación, en la vecindad de los polos.

Demostración de Milnor

Sea ${\displaystyle X\ }$ un campo vectorial contenido en ${\displaystyle S_{n}\ }$ y a valores en el espacio euclídeo ${\displaystyle V\ }$ de dimensión ${\displaystyle n+1\ }$, con ${\displaystyle n\ }$ par. Se demuestra por el absurdo que esta funcíón debe anularse forzosamente en al menos un punto ${\displaystyle v\ }$ de la esfera. Se nota ${\displaystyle |v|\ }$ la norma euclidiana de un vector ${\displaystyle v\ }$ de ${\displaystyle X\ }$, y ${\displaystyle (v|w)\ }$ el producto escalar euclidiano de ${\displaystyle v\ }$ y ${\displaystyle w\ }$, pertenecientes a ${\displaystyle X\ }$.

Es posible demostrar el teorema del punto fijo de Brouwer a partir del teorema de la bola peluda:

Una consecuencia del teorema de la bola peluda es que toda función continua que «mapee» una esfera en sí misma tiene o bien un punto fijo o bien un punto que se mapea en su punto antípodo. Esto se puede ver al transformar una función en un campo vectorial tangente y definiendo por ejemplo una proyección estereográfica de la función sobre la esfera. El teorema asegura qua habrá al menos un punto p para el cual la proyección será 0.

Ojo del ciclón tropical.

El teorema tiene consecuencias en meteorología; se considera una modelización esquemática del viento como vector definido continuamente en cada punto sobre la superficie del planeta con atmósfera. Como una idealización, el viento tiene componentes vectoriales bidimensionales, y su movimiento a lo largo del eje vertical es nulo.

Bajo estas condiciones, la falta absoluta de viento corresponde a una solución posible: el campo de vectores nulos. Este escenario no presenta mayor interés desde el punto de vista del teorema, y es físicamente irrealista (viento siempre habrá). En el caso en que hay algo de viento, el teorema de la bola peluda dice que en todo momento debe haber al menos un punto en el planeta sin nada de viento.

En un sentido físico, esta zona de no viento corresponde al ojo de un ciclón o anticiclón (efecto observable, por ejemplo, en la vellosidad de una pelota de tenis, de forma espiral alrededor de esta zona). El teorema de la bola peluda impone la existencia permanente de un punto sobre la tierra en donde el viento se modeliza por un sistema arremolinado y, en su centro, un ojo.

Esta consecuencia se observa de hecho en la realidad. El teorema no dice nada sin embargo acerca de la talla del vórtice o la potencia de los vientos que lo rodean.

Campo vectorial continuo tangente sobre una 2-esfera.

Un problema común en computación gráfica es el de generar, en el espacio tridimensional, un vector no nulo que sea ortogonal a una zona no nula dada. No existe una función continua que pueda hacer esto para todos los vectores no nulos dados. Este es un corolario del teorema de la bola peluda. Para verlo, puede considerarse el vector dado como el radio de una esfera: encontrar un vector ortogonal no nulo ortogonal a uno dado sería equivalente a encontrar un vector no nulo que sea tangente a la superficie de esa esfera. El teorema asegura que no existe una función continua que pueda definirse en cada punto de una esfera (i.e. para cada vector dado).