Theorema egregium

El theorema egregium (en latín: 'teorema destacable') es un resultado fundamental de la geometría diferencial demostrado por Carl Friedrich Gauss y que se refiere a la curvatura de las superficies. Informalmente, el teorema dice que la curvatura gaussiana de una superficie diferenciable puede determinarse por completo midiendo ángulos y distancias sobre la propia superficie, sin hacer referencia a la forma particular en que se curva dentro del espacio euclídeo tridimensional. Es decir, el concepto de curvatura es un invariante intrínseco de una superficie.

Una consecuencia del theorema egregium es que no puede existir un mapa a escala de la Tierra sin distorsión, al tener la superficie de la tierra y el plano diferentes curvaturas gaussianas. La proyección de Mercator, mostrada en la imagen, conserva los ángulos pero distorsiona las áreas, exagerando su tamaño en los polos norte y sur (Australia es mayor que Groenlandia aunque la proyección sugiere lo contrario).

Gauss formuló el teorema (traducido del latín) como:

Por tanto de la fórmula precedente se sigue por sí mismo el destacable teorema siguiente: Si una superficie curva se desarrolla sobre cualquier otra superficie, la medida de la curvatura en cada punto permanece inalterada.

Gauss lo consideró "destacable" (egregium) porque la definición de curvatura gaussiana hace uso directo de la posición de la superficie en el espacio y por tanto es bastante sorprendente que el resultado no dependa de la manera en que la superficie está inmersa en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$. En una formulación más actualizada el teorema se podría formular como:

La curvatura gaussiana de una superficie es invariante bajo isometrías locales

Un corolario es que sólo existe una isometría entre dos superficies si tienen la misma curvatura gaussiana.