Fraction (mathématiques)

En mathématiques, une fraction est un moyen d'écrire un nombre rationnel sous la forme d'un quotient de deux entiers. La fraction $a / b$ désigne le quotient de $a$ par $b$ ( $b\neq0$ ). Dans cette fraction, $a$ est appelé le numérateur et $b$ le dénominateur.

Exemple :

La fraction $56 / 8$ est équivalente au nombre 7 car $7 \times 8 = 56$ , donc le quotient de 56 par 8 est 7.

Trois quarts de gâteau, un quart ayant été retiré.

Un nombre que l'on peut représenter par des fractions de nombres entiers est appelé nombre rationnel. L'ensemble des rationnels est noté ℚ.

Il existe une définition plus générale et plus abstraite des fractions. Si $(A,+,\cdot )$ est un anneau intègre, on peut créer le corps des fractions de A. Ses éléments se notent (par analogie aux fractions d'entiers relatifs) ${\frac {a}{b}}$ et possèdent les mêmes propriétés opératoires (somme, produit, simplification…) que les fractions de ℚ.

Sens usuel de la fraction

Définition d'une fraction

Une fraction est une division non effectuée entre deux nombres entiers relatifs n et d ≠ 0. Elle est représentée comme suit :

n/d~

ou

{}^{\textstyle n}\!\!\diagup \!\!{}_{\textstyle d}

ou

{\frac {n}{d}}

.

Le nombre du haut, noté n, s'appelle le numérateur.
Le nombre du bas, noté d, s'appelle le dénominateur.
Le trait ou barre de fraction ou vinculum signifie que l'on divise le numérateur par le dénominateur.

Exemple : ³⁄₇ signifie que l'on divise 3 par 7 ; on prononce cette fraction « trois septièmes ».

3 est appelé numérateur parce qu'il indique un nombre de trois unités (les septièmes)
7 est appelé dénominateur parce qu'il dénomme l'unité (le septième) avec laquelle on opère.

Si on mange les ³⁄₇ d'une tarte, le numérateur 3 indique le nombre de parts que l'on mange alors que 7 indique le nombre total de parts, donc l'unité considérée.

On trouve aussi parfois la notation

n : d

ou encore

n ÷ d

les deux-points ou l'obélus remplaçant la barre de fraction.

Définitions alternatives

Si la notion de fraction est une étape importante de la compréhension mathématique à un niveau élémentaire, elle n'a guère d'usage dans une théorie générale.

Le Dictionnaire des mathématiques définit la fraction comme « synonyme de nombre rationnel »[1].

Cette définition présente plusieurs inconvénients. Chacun convient que ³⁄₄ est une fraction, et que ⁶⁄₈ est une autre fraction, qui désigne cependant le même nombre rationnel. L'égalité du rationnel que désigne la fraction ne saute pas toujours aux yeux, comme pour 57 ÷ 437 et 3 ÷ 23. La définition limite aussi au cas où numérateur et dénominateur sont des entiers. Mais on emploie couramment la même notation avec des nombres réels, comme ^π⁄₂ ou ^√3⁄₂ ; ces expressions obéissent aux mêmes règles de combinaison et de simplification que les fractions.

En France, les autorités de l'enseignement définissent ainsi la fraction : « si $a$ et $b$ désignent deux entiers ( $a$ ∈ $\mathbb {Z}$ , $b$ ∈ $\mathbb {Z} \star$ ), la fraction $a$ / $b$ est l'écriture d'un être mathématique appelé rationnel, mais n'est pas un être mathématique ; l'écriture $a$ s'appelle « numérateur », l'écriture $b$ « dénominateur » ; la barre, horizontale ou oblique, s'appelle un « trait de fraction » et équivaut à un signe de division »[2].

Cette définition soulève aussi quelques difficultés pédagogiques. Si la fraction était une simple écriture, on ne pourrait en faire un des termes d'une opération sur des nombres. On doit pourtant comprendre l'expression ¹⁄₂ + ¹⁄₄ = ³⁄₄[3].

Stella Baruk propose de diminuer ces difficultés en prenant soin de parler de fractions équivalentes quand elles désignent le même nombre rationnel et d'écriture fractionnelle quand le numérateur ou le dénominateur n'est pas un nombre entier, et que par conséquent, il ne s'agit pas d'une fraction[4].

Modélisation d'une fraction

Pour comprendre et établir les règles de maniement des fractions, il existe deux méthodes différentes. La première consiste à faire usage de la géométrie. La fraction représente une portion d'aire d'une figure géométrique ou d'une longueur d'un côté d'un polygone, souvent un triangle. Démontrer les lois régissant les fractions revient à faire de la géométrie et à mesurer des aires ou des longueurs. Cette démarche est décrite dans l'article Algèbre géométrique.

Une autre démarche est de nature purement algébrique. Les nombres rationnels sont construits de manière abstraite à partir de classes d'équivalence d'entiers. L'addition et la multiplication issues des nombres entiers sont compatibles avec la classe d'équivalence, ce qui équipe l'ensemble des fractions d'une addition et d'une multiplication naturelles. Cette construction permet d'établir les lois régissant le comportement des fractions.

La démarche choisie ici correspond à la première décrite et est purement géométrique. Les méthodes utilisées s'appliquent pour les fractions d'entiers. La géométrie offre une autre méthode, permettant de généraliser les résultats au cas de fractions de deux nombres réels positifs. Elle est décrite dans l'article Algèbre géométrique.

Représentation d'une fraction

Le but ici est de visualiser une fraction n/d.

La fraction peut être représentée par un dessin. Bien souvent une forme géométrique que l'on divise en plusieurs parties.

Fractions dont n < d

Le dénominateur $d$ indique le nombre de parties égales à découper dans la forme géométrique et le numérateur $n$ indique le nombre de parties égales utilisées.

Autre découpage

Par exemple, pour représenter la fraction ³⁄₄, le dénominateur étant 4, on divise le rectangle en 4 parties égales, puis, le numérateur étant 3, on colore seulement trois des quatre parties.

Fractions dont n > d

Cette fraction sera équivalente au quotient entier de $n$ par $d$ , (qui représentera le nombre d'unités) suivi d'une fraction constituée par le reste de la division pour numérateur et d pour dénominateur.

Par exemple, pour la fraction 7/3, la division entière donne 2, il reste 1. Le quotient est 2 donc 2 unités, le reste 1 donc la fraction est équivalente à $2 1 ⁄ 3$ . Il est impossible de représenter ce genre de fraction par un unique rectangle, on présente donc deux rectangles pleins suivi d'un rectangle plein seulement au tiers :

Prendre une fraction d'une quantité

Pour prendre les ²⁄₃ de 750, on divise 750 par 3, puis on multiplie le résultat par 2 :

750÷3 = 250 ; 250 × 2 = 500. Donc ²⁄₃ de 750 = 500

Prendre ^a⁄_b de c revient à diviser c par b et à multiplier le tout par a. Ou plus simplement, quand on connaît les règles de calcul sur les fractions, prendre ^a⁄_b de c revient à multiplier ^a⁄_b par c. Plus généralement, on constate que le « de » est remplacé par une multiplication. Il en est de même quand on calcule 75 % de c, on doit juste calculer 75 % multiplié par c. En effet, 75 % est une fraction : 75 % = ⁷⁵⁄₁₀₀ = 0,75.

Fractions équivalentes

On obtient la même surface en divisant le rectangle en 3 parties et en colorant 2, qu'en divisant le rectangle en 6 parties et en colorant 4

Si on multiplie, ou divise, le numérateur et le dénominateur d'une fraction par un même nombre, on obtient une fraction équivalente. Par exemple, dans la représentation ci-contre, on a multiplié le numérateur et le dénominateur de la première fraction par 2 pour obtenir la seconde fraction.

Deux représentations équivalentes de la fraction 2/3

De manière générale, les fractions $n / d$ et $n' / d'$ sont équivalentes dès que $n \times d' = d \times n'$ . Par exemple, dans la représentation ci-contre, on sait que les fractions 4/6 et 6/9 sont équivalentes car $4 \times 9 = 6 \times 6$

Certaines fractions peuvent être simplifiées, c'est-à-dire que $n$ et $d$ peuvent être divisés par un même nombre. Si on prend, pour la simplification, le plus grand nombre possible - ce nombre s'appelle le PGCD (plus grand commun diviseur) de $n$ et $d$ - la fraction obtenue est dite irréductible.

Pour effectuer certaines opérations entre fractions, tous les dénominateurs des fractions doivent être égaux. Pour ce faire, il faut remplacer chaque fraction par une fraction équivalente, en s'arrangeant pour que tous les dénominateurs soient identiques. On cherche, en général, à ce que ce dénominateur soit le plus petit possible, en prenant le plus petit nombre qui soit divisible par chaque dénominateur. Ce nombre s'appelle le PPCM (plus petit commun multiple) des dénominateurs. L'opération s'appelle réduire au même dénominateur.
Exemple pour réduire au même dénominateur les fractions 3/4, 1/6, 5/9 et 14/15, on cherche le plus petit multiple commun de 4, 6, 9, 15 qui est $2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5$ , et on a :

${\frac {3}{4}}={\frac {3\times 3\times 3\times 5}{4\times 3\times 3\times 5}}={\frac {135}{180}}$
${\frac {1}{6}}={\frac {1\times 2\times 3\times 5}{6\times 2\times 3\times 5}}={\frac {30}{180}}$
${\frac {5}{9}}={\frac {5\times 2\times 2\times 5}{9\times 2\times 2\times 5}}={\frac {100}{180}}$
${\frac {14}{15}}={\frac {14\times 2\times 2\times 3}{15\times 2\times 2\times 3}}={\frac {168}{180}}$

Comparaison de fractions

La seconde fraction est plus petite car on a pris le même nombre de parts mais les parts sont plus petites

Pour un même numérateur, plus le dénominateur est petit plus la fraction est grande.
Dans la représentation ci-contre ${\frac {2}{3}}>{\frac {2}{5}}$ car
- Le numérateur 2 est le même pour chaque fraction.
- La comparaison des dénominateurs donne 3 < 5

La seconde fraction est plus grande car les parts ont même taille mais on en a pris davantage

Pour un même dénominateur, plus le numérateur est grand, plus la fraction est grande :
dans la représentation ci-contre, on a ${\frac {2}{7}}<{\frac {5}{7}}$ car
- Le dénominateur 7 est le même pour chaque fraction.
- La comparaison des numérateurs donne 2 < 5

Si les numérateurs et les dénominateurs sont différents, on peut toujours réduire les fractions au même dénominateur et comparer alors les numérateurs
Comparaison de 1/4 et 2/5
- 1/4 = 5/20
- 2/5 = 8/20
- Or 5 < 8 donc 5/20 < 8/20 donc 1/4 < 2/5

Remarque : on peut aussi utiliser l'écriture décimale. Comme 1/4 = 0,25 et 2/5 = 0,4 et que l'on sait que 0,25 < 0,4 on a 1/4 < 2/5.

Écriture décimale, écriture fractionnaire

Développement décimal

Toute fraction possède un développement décimal fini ou infini périodique qui s'obtient en posant la division de n par d.

1/4 = 0,25

2/3 = 0,666...(période 6)

17/7 = 2,428571428571...(période 428571)

Écriture fractionnaire

Inversement, tout nombre décimal ou possédant un développement décimal périodique peut s'écrire sous forme de fraction.

Cas du nombre décimal

Il suffit de prendre comme numérateur le nombre décimal privé de sa virgule et comme dénominateur 10ⁿ où n est le nombre de chiffres après la virgule :

0{,}256={\frac {256}{1000}}={\frac {32}{125}}

15{,}16={\frac {1516}{100}}={\frac {379}{25}}

Cas du développement décimal illimité

On commence par s'occuper de la partie entière : 3,4545... = 3 + 0,4545...

Cas du développement décimal périodique simple

Un nombre périodique simple est un nombre décimal dans lequel la période commence immédiatement après la virgule. 0,666... ou 0,4545... ou 0,108108...

Pour le numérateur, il suffit d'utiliser la période tandis que le dénominateur sera composé d'autant de 9 qu'il y a de chiffres composant la période.

Par exemple, pour 0,4545... la période est 45 et est composée de deux chiffres, on obtient la fraction 45/99 = 5/11.

Par conséquent : 3,4545... = 3 + 5/11 = 38/11.

Sinon, posons x = 0,4545454545...

100x = 45,4545454545... = 45 + x donc 100x - x = 45,4545454545... - 0,4545454545... = 45 donc 99x = 45 donc x = 45/99.

Cas du développement décimal périodique mixte

Un nombre décimal périodique mixte est un nombre décimal dans lequel la période ne commence pas immédiatement après la virgule, par exemple : 0,8333... ou 0,14666...

Pour trouver le numérateur de la fraction, il faut soustraire la valeur mixte de la valeur mixte suivie de la première période. Quant au dénominateur, il sera composé d'autant de 9 qu'il y a de chiffres composant la période, suivis d'autant de zéros qu'il y a de chiffres après la virgule composant la valeur mixte.

Exemple : 0,36981981...
valeur mixte : 36
Valeur mixte suivie de la première période : 36981
Numérateur = 36981 - 36 = 36945

Dans la valeur 0,36981981..., la période 981 est constituée de 3 chiffres donc le dénominateur sera constitué d'une série de trois 9 suivis de deux zéros puisque la valeur mixte 36 est composée de deux chiffres. Finalement on obtient 0,36981981... = 36945/99900 = 821/2220.

Exemple 2 : $1,24545...={\frac {1245-12}{990}}=137/110$ .

Nombre mixte et fraction impropre

Dans l'enseignement français depuis la fin du XIX^e siècle, la fraction est définie comme le quotient de deux nombres entiers sans contrainte sur la taille du numérateur et du dénominateur, mais cela n'a pas toujours été le cas, ni au XVI^e siècle, ni dans le monde anglo-saxon[5].

Au XVI^e siècle, la fraction était appelée nombre rompu et correspondait à une fraction de l'unité comme 1/2, 2/3, 3/4, 5/9 ....

L'encyclopédie de Diderot et d'Alembert définissait la fraction comme une division indiquée et distinguait

la fraction pure où le numérateur est plus petit que le dénominateur
la fraction mixte quand le numérateur est plus grand que le dénominateur[6]
un nombre composé d'un entier et d'un fraction de l'unité comme un nombre rationnel mixte[7].

Par exemple, 25/9 s'écrivait plutôt sous forme mixte en $2 7 ⁄ 9$ . Une telle écriture a l'avantage de pouvoir résumer assez facilement le résultat d'une division euclidienne puisque dans la division de 25 par 9 le quotient est bien 2 et le reste 7[5].

On trouve cette distinction également en Belgique à la fin du XIX^e siècle[8] avec les termes de

fraction ordinaire pour des fractions de la forme $a ⁄ b$ avec uniquement des exemples dans lesquels $a < b$
fraction figurée ou fraction impropre ou nombre fractionnaire pour les fractions $a ⁄ b$ où $a > b$
nombre mixte ou nombre composé pour des expressions comme $2 7 ⁄ 9$ .

Dans les pays anglo-saxons, cette distinction entre une fraction de l'unité et un quotient supérieur à 1 persiste avec les termes de[5]

improper fraction pour les fractions dans lesquelles le numérateur est plus grand que le dénominateur
mixed number pour une écriture de la forme $a b ⁄ c$ avec $b < c$ .

Au Québec, on continue à utiliser la forme $a b ⁄ c$ que l'on nomme nombre fractionnaire[5].

Cette différence de vocabulaire est due, selon Poisard et Barton, à la place prépondérante, dans le système français, du système décimal[9] à tel point que la maitrise des fractions succède à celle des nombres décimaux dans l'enseignement français alors que c'est l'inverse par exemple en Nouvelle-Zélande[10].

Ainsi, alors que les Français utilisent volontiers les nombres à virgule, les Anglo-saxons préfèrent souvent exprimer les parties non entières par des fractions — sans doute en raison de la différence culturelle (songer par exemple à la popularité du système métrique et du système impérial dans les deux cultures). Par exemple, ils diront d'une feuille au format Executive mesure 10 ¹⁄₂ × 7¼ pouces, et non pas 10,5 × 7,25 pouces.

Opérations sur les fractions

Pour un dénominateur commun

Il suffit d'additionner ou de soustraire le numérateur de chaque fraction et de conserver le dénominateur commun.

Exemple d'une somme :

Exemple d'une différence :

Pour un dénominateur différent

Avant d'effectuer l'opération, chaque fraction doit être transformée en une fraction équivalente dont le dénominateur leur soit commun.
Exemple :

A={\frac {1}{6}}+{\frac {4}{9}}

A={\frac {3}{18}}+{\frac {8}{18}}

A={\frac {11}{18}}

Multiplication

Multiplication des fractions 2/3 et 4/5. À la droite, le petit rectangle comprend 2×4 cases bleu foncé, alors que le grand rectangle comprend 3×5 cases toutes couleurs confondues, d'où la fraction 8/15.

La multiplication de deux fractions est simple à effectuer mais il n'est pas simple de comprendre pourquoi elle fonctionne ainsi. Par exemple,

{\frac {2}{3}}\times {\frac {4}{5}}={\frac {2\times 4}{3\times 5}}={\frac {8}{15}}

Voici une explication basée sur une compréhension intuitive des fractions. On peut comprendre quatre cinquièmes comme quatre fois un cinquième (voir les représentations graphiques ci-dessus) soit ${\frac {4}{5}}$ comme ${4}\times {\frac {1}{5}}$ . Ainsi multiplier ${\frac {2}{3}}$ par ${\frac {4}{5}}$ revient à effectuer ${\frac {2}{3}}\times 4\times {\frac {1}{5}}={\frac {2\times 4}{3}}\times {\frac {1}{5}}$ .

Mais multiplier par un cinquième revient à diviser par 5, c'est-à-dire à multiplier le dénominateur par 5 (les parts sont 5 fois plus petites), soit : ${\frac {2\times 4}{3\times 5}}$ .

Division

La division est l'opération inverse de la multiplication. De façon algorithmique, lorsqu'on divise par une fraction, on remplace la division par la multiplication tout en inversant la fraction qui suit. Par exemple :

{\frac {2}{3}}\div {\frac {4}{5}}={\frac {2}{3}}\times {\frac {5}{4}}={\frac {2\times 5}{3\times 4}}={\frac {10}{12}}={\frac {5}{6}}

Autres fractions

fraction irréductible : fraction dans laquelle le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux.
fraction unitaire : fraction dont le numérateur est égal à 1 et le dénominateur est un entier positif.
fraction décimale : fraction qui a pour dénominateur une puissance de 10.
fraction dyadique : fraction dont le dénominateur est une puissance de 2.
fraction composée : fraction dont le numérateur et le dénominateur sont eux-mêmes des fractions : ${\frac {{\frac {2}{3}}+{\frac {3}{5}}}{{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}}}={\frac {\frac {19}{15}}{\frac {5}{6}}}={\frac {19}{15}}\times {\frac {6}{5}}={\frac {38}{25}}$
fraction continue : fraction constituée à partir d'une suite d'entiers naturels $(a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{k},...)$ de la manière suivante $a_{0}+{\frac {1}{a_{1}+{\frac {1}{a_{2}+{\frac {1}{a_{3}+{\frac {1}{...}}}}}}}}$
fraction rationnelle : quotient de deux polynômes.
fonction rationnelle : quotient de deux fonctions polynomiales.
corps des fractions : corps commutatif construit à partir d'un anneau intègre et dans lequel on pourra effectuer des divisions.

Pour les fractions rationnelles, ou plus généralement pour le corps des fractions d'un anneau commutatif, la notion de dénominateur et de numérateur garde le même sens.

Problèmes historiques

J’ai trouvé une pierre mais je ne l’ai pas pesée. Après lui avoir ajouté un septième de son poids et avoir ajouté un onzième du résultat, j’ai pesé le tout et j’ai trouvé : 1 ma-na [unité de masse]. Quel était à l’origine le poids de la pierre ? (problème babylonien, tablette YBC 4652, problème 7)
Un nombre augmenté de son septième donne 19. Quel est ce nombre ? (papyrus Rhind, problème 24)
Un nombre augmenté de son quart donne 15. Quel est ce nombre ? (papyrus Rhind, problème 26)
Supposons que l’on ait 9 tiges d’or jaune et 11 tiges d’argent blanc qui, à la pesée, ont des poids tout juste égaux. Si l’on échange entre elles une de leurs tiges, l’or devient plus léger de 13 liang [unité de masse]. On demande combien pèsent respectivement une tige d’or et une tige d’argent. (Les Neuf Chapitres sur l'art mathématique, problème 7.17)
Une lance a la moitié et le tiers dans l’eau et neuf paumes à l’extérieur. Je te demande combien elle a de long. (problème médiéval)

Annexes

Étymologie

Le terme fraction, apparu en français à la fin du XII^e siècle, est un dérivé du bas latin fractio - « action de briser » - utilisé dans la terminologie mathématique médiévale pour désigner la « division ». Ce terme lui-même provient du latin classique frangere - « briser » - qui provient de la racine indo-européenne °bhreg qui a la même signification et dont dérive la racine gotique brikan qui donne break en anglais et brechen en allemand[11].

Les fractions furent autrefois nommées nombres rompus, terme encore utilisé au 18^e siècle, par exemple dans l'Encyclopédie ou Dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers[12].

Bibliographie

Caroline Poisard et Bill Barton, « L'enseignement des fractions en France et Nouvelle-Zélande », 2007 (HAL hal-01086478)

Articles connexes

Notes et références

Alain Bouvier, Michel George et François Le Lionnais, Dictionnaire des mathématiques, Presses universitaires de France, 2001 (1^re éd. 1979).
Stella Baruk, « Fraction », dans Dictionnaire de mathématiques élémentaires [détail des éditions], II.2.
Stella Baruk, « Fraction », dans Dictionnaire de mathématiques élémentaires [détail des éditions], p. 514.
Stella Baruk, « Fraction », dans Dictionnaire de mathématiques élémentaires [détail des éditions], p. 516-517.
Poisard et Barton 2007, p. 4.
Cette information est issue du document L’Encyclopédie/1re édition/FRACTION, disponible sur Wikisource.
Cette information est issue du document L’Encyclopédie/1re édition/NOMBRE, disponible sur Wikisource.
J. Pietersz et A. Mauvy, Arithmétique théorique et pratique à l'usage des écoles primaires et moyennes, t. 2, 1845 (lire en ligne), pp. 2;3
Poisard et Barton 2007, p. 3.
Poisard et Barton 2007, p. 6.
Alain Rey (dir.), Dictionnaire historique de la langue française, Le Robert, 1998, tome II, p. 1478.
Voir le document L’Encyclopédie/1re_édition/WOLSTROPE, disponible sur Wikisource.

Arithmétique et théorie des nombres

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[1] Alain Bouvier, Michel George et François Le Lionnais, Dictionnaire des mathématiques, Presses universitaires de France, 2001 (1^re éd. 1979).

[2] Stella Baruk, « Fraction », dans Dictionnaire de mathématiques élémentaires [détail des éditions], II.2.

[3] Stella Baruk, « Fraction », dans Dictionnaire de mathématiques élémentaires [détail des éditions], p. 514.

[4] Stella Baruk, « Fraction », dans Dictionnaire de mathématiques élémentaires [détail des éditions], p. 516-517.

[PoisardBarton20074-5] Poisard et Barton 2007, p. 4.

[6] Cette information est issue du document L’Encyclopédie/1re édition/FRACTION, disponible sur Wikisource.

[7] Cette information est issue du document L’Encyclopédie/1re édition/NOMBRE, disponible sur Wikisource.

[8] J. Pietersz et A. Mauvy, Arithmétique théorique et pratique à l'usage des écoles primaires et moyennes, t. 2, 1845 (lire en ligne), pp. 2;3

[PoisardBarton20073-9] Poisard et Barton 2007, p. 3.

[PoisardBarton20076-10] Poisard et Barton 2007, p. 6.

[11] Alain Rey (dir.), Dictionnaire historique de la langue française, Le Robert, 1998, tome II, p. 1478.

[12] Voir le document L’Encyclopédie/1re_édition/WOLSTROPE, disponible sur Wikisource.