Équation de Boltzmann-Peierls

En physique du solide l'équation de Boltzmann-Peierls décrit l'évolution de la fonction de distribution des phonons dans un solide cristallin. Elle a été établie par Rudolf Peierls en 1929[1].

L'équation d'évolution

Les phonons sont des bosons décrits par leur fonction de distribution $n_{\lambda }(\mathbf {k} ,\mathbf {x} ,t)$ où $\mathbf {x}$ est la variable d'espace, $t$ le temps, $\mathbf {k}$ le vecteur d'onde et $\lambda$ désigne la polarisation.

L'équation de conservation de n s'écrit pour toute polarisation[2]

{\frac {\mathrm {d} n}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial n}{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla n=S_{N}+S_{R}

$S_{N}$ est le terme dit normal qui provient des processus anharmoniques de la vibration du réseau cristallin et qui conserve la quantité de mouvement,
$S_{R}$ le terme de diffusion conservant l'énergie mais non la quantité de mouvement, lié à l'interaction du phonon avec une imperfection du réseau cristallin, à une limite physique du milieu (bord de l'échantillon ou joint de grains), à une interaction avec un électron ou au processus umklapp. Ce terme est qualifié de résistif car, à la différence du terme lié au processus normal, il contribue à la résistance thermique de conduction.
la vitesse de propagation ou vitesse de groupe $\mathbf {v}$ est liée à la pulsation de l'onde $\omega$ par $\mathbf {v} =\nabla _{\mathbf {k} }\omega$ .

Termes de diffusion

Il est possible d'écrire les termes de diffusion de manière rigoureuse mais ceci n'a qu'un intérêt modeste dans la mesure où le phénomène intéresse des centres diffuseurs mal connus en géométrie et en nombre. On utilise le plus souvent une approximation du type relaxation

S=\tau ^{-1}(n_{eq}-n)

$\tau (\omega ,T)$ est un temps de relaxation caractéristique du phénomène de diffusion.

Démonstration

Pour un milieu homogène où la distribution d'équilibre est $n_{eq}$ l'équation de Boltzmann-Peierls dans l'approximation de relaxation se réduit à

{\frac {\mathrm {d} n}{\mathrm {d} t}}=\tau ^{-1}(n_{eq}-n)

qui décrit un phénomène de relaxation vers l'équilibre avec la constante de temps $\tau$

n(t)=n_{0}+(n_{eq}-n_{0})e^{-{\frac {t}{\tau }}}

Lorsque plusieurs phénomènes se superposent ce temps caractéristique est obtenu en appliquant la règle de Matthiessen

\tau ^{-1}=\sum _{i}\tau _{i}^{-1}

Dans cette approximation l'équation de transport s'écrit

{\frac {\partial n}{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla n=\tau _{N}^{-1}(n_{N}-n)+\tau _{R}^{-1}(n_{0}-n)

$n_{0}$ est la distribution d'équilibre thermodynamique donnée par la statistique de Bose-Einstein avec potentiel chimique nul :

n_{0}(\mathbf {k} )={\frac {1}{e^{\beta \hbar \omega (\mathbf {k} )}-1}}\,,\quad \beta ={\frac {1}{k_{B}T}}

où

T

la température thermodynamique.

$n_{N}$ est la distribution de Bose-Einstein en repère mobile à la vitesse de dérive $\mathbf {u}$ :

n_{N}(\mathbf {k} )={\frac {1}{e^{\hbar [\beta \omega (\mathbf {k} )+\mathbf {u} \cdot \mathbf {k} ]}-1}}

Au contraire de la distribution de Bose-Einstein cette distribution n'est pas isotrope.

Démonstration

La distribution d'équilibre correspond au maximum d'entropie à énergie fixée et, s'il y a lieu, à quantité de mouvement fixée[3]^,[4]. Cette entropie s'écrit :

S_{k}=k_{B}\alpha \left[\left(1+{\frac {n}{\alpha }}\right)\log {\left(1+{\frac {n}{\alpha }}\right)}-\left({\frac {n}{\alpha }}\right)\log {\left({\frac {n}{\alpha }}\right)}\right]\,,\quad \alpha ={\frac {3}{(2\pi )^{3}}}

La ou les contraintes s'écriront à l'aide de multiplicateurs de Lagrange notés $\beta$ et $\mathbf {u}$ . Dans le cas des processus résistifs on maximise $S_{k}+\beta \left(\int _{\mathbb {R} ^{3}}\hbar \omega n\mathrm {d} \mathbf {k} -E\right)$ , l'énergie volumique $E$ étant fixée, ce qui conduit à la distribution de Bose-Einstein. Dans le cas des processus normaux la quantité à maximiser est $S_{k}+\beta \left(\int _{\mathbb {R} ^{3}}\hbar \omega n\mathrm {d} \mathbf {k} -E\right)+\mathbf {u} \cdot \left(\int _{\mathbb {R} ^{3}}\hbar \mathbf {k} n\mathrm {d} \mathbf {k} -\mathbf {p} \right)$ , la quantité de mouvement $\mathbf {p}$ étant également fixée. Ceci conduit à la distribution $n_{N}$ donnée ci-dessus. La vitesse de dérive $\mathbf {u}$ n'est pas calculable analytiquement sauf cas particulier.

Calcul de la conductivité thermique

La conductivité thermique est calculable par résolution de l'équation de transport. Il est possible de donner une solution analytique dans le cas stationnaire et les grandes longueurs d'onde (ondes acoustiques avec $\omega =vk$ en remplaçant la dérivée de $n$ par celle de $n_{0}$ dans le terme d'advection. Cette méthode due à Joseph Callaway[5] est d'usage assez courant.

Références

(de) Rudolf Peierls, « Zur kinetischen Theorie der Wärmeleitung in Kristallen », Annalen der Physik, n^o 3,‎ 1929
(en) J. M. Ziman, Electrons and Phonons, Clarendon Press, 1960
(en) Ingo Muller et Tomasso Ruggieri, Rational Extended Thermodynamics, Springer, 1998 (ISBN 978-1-4612-7460-5)
(en) Michael Fryer, The Macroscopic Transport Equations of Phonons in Solids, University of Victoria, 2010 (lire en ligne)
(en) Joseph Callaway, « Model for Lattice Thermal Conductivity at Low Temperature », Physical Review, vol. 113, n^o 4,‎ 1958

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[1] (de) Rudolf Peierls, « Zur kinetischen Theorie der Wärmeleitung in Kristallen », Annalen der Physik, n^o 3,‎ 1929

[2] (en) J. M. Ziman, Electrons and Phonons, Clarendon Press, 1960

[3] (en) Ingo Muller et Tomasso Ruggieri, Rational Extended Thermodynamics, Springer, 1998 (ISBN 978-1-4612-7460-5)

[4] (en) Michael Fryer, The Macroscopic Transport Equations of Phonons in Solids, University of Victoria, 2010 (lire en ligne)

[5] (en) Joseph Callaway, « Model for Lattice Thermal Conductivity at Low Temperature », Physical Review, vol. 113, n^o 4,‎ 1958