Anneau semi-primitif
En algèbre — une branche des mathématiques —, un anneau est dit semi-primitif (ou Jacobson-semi-simple, ou J-semi-simple) si son radical de Jacobson est l'idéal nul.
C'est un type d'anneau plus général que celui d'anneau semi-simple, mais dont les modules simples fournissent suffisamment d'informations sur l'anneau.
Propriétés
- Un anneau R est semi-primitif si et seulement si pour tout x ∈ R* (l'ensemble R privé de 0), il existe y ∈ R tel que yx + 1 ∉ R× (le groupe des inversibles de R) ou encore si pour tout idéal non nul I de R, 1 + I ⊄ R×[1].
- Un anneau est semi-primitif si et seulement s'il a un module à gauche semi-simple fidèle ou, ce qui est équivalent, s'il a un module à droite semi-simple fidèle.
- Un anneau est semi-primitif si et seulement s'il est produit sous-direct (en) d'anneaux primitifs (en). Ces derniers sont décrits par le théorème de densité de Jacobson (en).
- En particulier :
- un anneau commutatif est semi-primitif si et seulement s'il est produit sous-direct de corps[2] ;
- tout produit sous-direct d'anneaux unitaires simples[3] est semi-primitif, mais la réciproque est fausse (voir infra).
- Un anneau est semi-simple si et seulement s'il est semi-primitif et artinien à gauche[4]. De tels anneaux sont parfois dits « artiniens semi-simples »[5].
Exemples
- Tout anneau intègre R tel que |R| > |R×| est semi-primitif[6]. Par exemple : l'anneau des entiers et celui des entiers de Gauss sont semi-primitifs[7].
- L'anneau des entiers algébriques de tout corps de nombres est semi-primitif[8].
- Plus généralement, toute algèbre de type fini intègre sur un anneau semi-primitif intègre est semi-primitive[9].
- L'anneau des entiers algébriques est semi-primitif[10].
- L'anneau C(X) des fonctions continues d'un espace topologique X dans ℝ est semi-primitif[11] (car pour chaque point x de X, l'idéal des fonctions nulles en x est maximal). De même, l'anneau des fonctions entières est semi-primitif[12].
- Tout produit d'anneaux semi-primitifs est semi-primitif[13].
- L'anneau des endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension dénombrable est semi-primitif mais n'est pas un produit sous-direct d'anneaux simples[14].
- Tout anneau régulier au sens de von Neumann (en) est semi-primitif.
Notes et références
(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Semiprimitive ring » (voir la liste des auteurs).
- (en) Pete L. Clark, « The Euclidean criterion for irreducibles », Amer. Math. Monthly, vol. 124, no 3, , p. 198-216 (arXiv 1605.01298), § 2.2 et corollaire 4.3.
- (en) Tsit-Yuen Lam, Exercises in Classical Ring Theory, Springer-Verlag, (ISBN 978-0-387-94317-6, Math Reviews 1323431), p. 137.
- C'est à cette classe plus restreinte que Nathan Jacobson a donné le nom d'anneaux semi-simples : (en) N. Jacobson, Basic Algebra II, Freeman, , 2e éd. (lire en ligne), p. 203.
- (en) Tsit-Yuen Lam, A First Course in Noncommutative Rings, Springer, (lire en ligne), p. 54.
- (en) Andrei V. Kelarev, Ring Constructions and Applications, World Scientific, (ISBN 978-981-02-4745-4), p. 13.
- Clark 2017, proposition 2.2.
- Clark 2017, exemple 2.1.
- Lam 2001, p. 56.
- Lam 2001, p. 68.
- Clark 2017, exemple 4.7.
- Lam 2001, ex. 4.13 p. 65.
- Clark 2017, exemple 4.19.
- Lam 2001, ex. 4.12B p. 65.
- Lam 1995, p. 42.
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