Autocorrélation

Note : La confusion est souvent faite entre l'auto-covariance et l'auto-corrélation. Ces deux notions généralisent les notions classiques de covariance ayant pour dimension la dimension de la variable élevée au carré et de coefficient de corrélation compris entre ${\displaystyle -1}$ et ${\displaystyle +1}$. Les considérations qui suivent utilisent le langage le plus répandu chez les praticiens, sans division par la variance. Il existe d'autre part deux définitions fondamentalement différentes.

À un processus stochastique discret ou continu, correspond une « auto-corrélation » statistique qui généralise la notion de covariance. Dans le cas d'un processus continu (en toute généralité complexe) ${\displaystyle X(t)\,}$, la fonction d'auto-corrélation statistique se définit comme :

$${\displaystyle R_{X}(t_{1},t_{2})=E[X(t_{1}).X^{*}(t_{2})].}$$

Dans le cas d'un signal stationnaire, on peut écrire :${\textstyle R_{X}(\tau )=E[X(t).X^{*}(t-\tau )],}$où ${\displaystyle \tau \,}$ est le décalage temporel et l'espérance mathématique se définit à partir de la densité de probabilité. À partir d'un signal ${\displaystyle x(t)\,}$, on peut définir l'auto-corrélation temporelle en remplaçant la moyenne d'ensemble par une moyenne temporelle :

$${\displaystyle R_{x}(\tau )={\overline {x(t)x^{*}(t-\tau )}}.}$$

Lorsque le signal est considéré comme réalisation d'un processus stationnaire ergodique, l'auto-corrélation temporelle est identique à l'auto-corrélation statistique. Elle peut être utilisée pour calculer le contenu en fréquence du signal (voir densité spectrale). Dans certains problèmes, elle permet d'analyser le signal sans référence à son contenu en fréquences.

En statistique, l'auto-corrélation d'une série temporelle discrète ou d'un processus ${\displaystyle X_{t}}$ est simplement la corrélation du processus par rapport à une version décalée dans le temps de lui-même. Si ${\displaystyle X_{t}}$ est un processus stationnaire d'espérance ${\displaystyle \mu }$ alors la définition est:

$${\displaystyle R(k)={\frac {1}{\sigma ^{2}}}\mathbb {E} {\bigl [}(X_{i}-\mu )(X_{i+k}-\mu ){\bigr ]},}$$

où ${\displaystyle \mathbb {E} [\cdot ]}$ est l'espérance mathématique, ${\displaystyle k}$ est le décalage temporel, ${\displaystyle \mu }$ est la moyenne de ${\displaystyle X}$ et ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ est la variance de ${\displaystyle X}$. C'est une fonction à valeur dans l'intervalle ${\displaystyle [-1,1]}$ avec ${\displaystyle 1}$ indiquant une parfaite corrélation (Les signaux se recouvrent exactement quand le temps est décalé de ${\displaystyle k}$) et ${\displaystyle -1}$ indiquant une parfaite anti-corrélation. Il est d'usage pratique dans de nombreuses disciplines de tracer la normalisation par ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ et d'utiliser le terme auto-corrélation sans distinction avec celui d'auto-covariance.

En traitement du signal, pour un signal donné ${\displaystyle f(t)}$, l'auto-corrélation continue ${\displaystyle R_{f}(\tau )}$ est la corrélation croisée continue de ${\displaystyle f(t)}$ avec elle-même, à l'intervalle de temps ${\displaystyle \tau }$, et est définie comme:

$${\displaystyle R_{f}(\tau )=f^{*}(\cdot -\tau )\circ f(\cdot )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t+\tau )f^{*}(t)\mathrm {d} t=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)f^{*}(t-\tau )\mathrm {d} t,}$$

où ${\displaystyle f^{\ast }}$ représente le conjugué complexe et ${\displaystyle \circ }$ représente l'opérateur de convolution (${\displaystyle f=f^{\ast },\quad \forall f(t)\in \mathbb {R} }$). Formellement, l'auto-corrélation discrète ${\displaystyle R}$ pour l'intervalle de temps ${\displaystyle j}$ et le signal ${\displaystyle x[n]}$ est:

$${\displaystyle R[j]=\sum _{n}(x[n]-m)(x^{\ast }[n-j]-m)=\mathbb {E} {\bigl [}(x[n]-m)(x^{\ast }[n-j]-m){\bigr ]},}$$

où ${\displaystyle m}$ est la valeur moyenne (valeur attendue) de ${\displaystyle x[n]}$. Souvent, les auto-corrélations sont calculées pour un signal centré sur zéro. C’est-à-dire un signal dont la valeur moyenne est nulle. L'auto-corrélation est alors définie par:

$${\displaystyle R[j]=\sum _{n}x[n]x^{\ast }[n-j]=\mathbb {E} {\bigl [}x[n]x^{\ast }[n-j]{\bigr ]}.}$$

L'auto-corrélation multi-dimensionnelle est définie de manière similaire. Par exemple, en trois dimensions l'auto-corrélation devient :

$${\displaystyle R(j,k,\ell )=\sum _{n,q,r}(x[n,q,r]-m)(x[n-j,q-k,r-\ell ]-m)=\mathbb {E} {\bigl [}(x[n,q,r]-m)(x[n-j,q-k,r-l]-m){\bigr ]}.}$$