Corrélation (statistiques)

Le coefficient de corrélation entre deux variables aléatoires réelles X et Y ayant chacune une variance (finie[6]), noté Cor(X,Y), ou parfois ${\displaystyle \rho _{XY}}$, ou ${\displaystyle r_{p}}$, ou simplement ${\displaystyle r}$, est défini par :

${\displaystyle r={\frac {\operatorname {Cov} (X,Y)}{\sigma _{X}\sigma _{Y}}}}$

où

${\displaystyle \operatorname {Cov} (X,Y)}$ désigne la covariance des variables X et Y,

${\displaystyle \sigma _{X}}$ et ${\displaystyle \sigma _{Y}}$ désignent leurs écarts types.

De manière équivalente :

${\displaystyle r={\operatorname {E} [(X-\operatorname {E} (X))(Y-\operatorname {E} (Y))] \over \sigma _{X}\sigma _{Y}}={\operatorname {E} (XY)-\operatorname {E} (X)\operatorname {E} (Y) \over \sigma _{X}\sigma _{Y}}}$

où

${\displaystyle \operatorname {E} [...]}$ désigne l'espérance mathématique de [...].

La matrice de corrélation d'un vecteur de p variables aléatoires ${\displaystyle {\vec {X}}={\begin{pmatrix}X_{1}\\\vdots \\X_{p}\end{pmatrix}}}$ dont chacune possède une variance (finie), est la matrice carrée dont le terme générique est donné par :

${\displaystyle r_{i,j}=\operatorname {Cor} \left(X_{i},X_{j}\right)}$

Les termes diagonaux de cette matrice sont égaux à 1, elle est symétrique, semi-définie positive et ses valeurs propres sont positives ou nulles.

Partant d’un échantillon ${\displaystyle \scriptstyle \ \{(x_{i},y_{i})\,|\,1\leq i\leq n\},}$ de réalisations indépendantes de deux variables X et Y, un estimateur (biaisé) du coefficient de corrélation est donné par :

${\displaystyle {\hat {r}}_{p}={\dfrac {{\hat {\sigma }}_{XY}}{{\hat {\sigma }}_{X}{\hat {\sigma }}_{Y}}}}$

avec

${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{XY}={\frac {1}{N}}{\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\bar {x}})\cdot (y_{i}-{\bar {y}})}}$

${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{X}={\sqrt {{\dfrac {1}{N}}\displaystyle \sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}\,}$ et ${\displaystyle \,{\hat {\sigma }}_{Y}={\sqrt {{\dfrac {1}{N}}\displaystyle \sum _{i=1}^{N}(y_{i}-{\bar {y}})^{2}}}}$

${\displaystyle {\bar {x}}={\dfrac {1}{N}}{\displaystyle \sum _{i=1}^{N}x_{i}}\,}$ et ${\displaystyle \,{\bar {y}}={\dfrac {1}{N}}{\displaystyle \sum _{i=1}^{N}y_{i}}}$

qui sont respectivement des estimateurs de la covariance, des écarts types et des espérances des variables X et Y.

• Numériquement, ${\displaystyle {\hat {r}}_{p}}$ est compris dans [-1, 1] : c’est une conséquence de l’inégalité de Cauchy-Schwarz ;
• Les deux séries ne sont pas linéairement corrélées si ${\displaystyle {\hat {r}}_{p}}$ est nul. Les deux séries sont d'autant mieux corrélées que ${\displaystyle {\hat {r}}_{p}}$ est proche de 1 ou de -1 ;
• Appliqué à une matrice de corrélation, le test de sphéricité de Bartlett permet de juger si les coefficients extra-diagonaux sont globalement différents de zéro.

Exemples de coefficients de corrélation : corrélation linéaire pour les deux premières lignes, non linéaire pour la troisième ligne.

Il est égal à 1 dans le cas où l'une des variables est une fonction affine croissante de l'autre variable, à -1 dans le cas où une variable est une fonction affine et décroissante. Les valeurs intermédiaires renseignent sur le degré de dépendance linéaire entre les deux variables. Plus le coefficient est proche des valeurs extrêmes -1 et 1, plus la corrélation linéaire entre les variables est forte ; on emploie simplement l'expression « fortement corrélées » pour qualifier les deux variables. Une corrélation égale à 0 signifie que les variables ne sont pas corrélées linéairement, elles peuvent néanmoins être corrélées non-linéairement, comme on peut le voir sur la troisième ligne de l'image ci-contre.

Le coefficient de corrélation n’est pas sensible aux unités de chacune des variables. Ainsi, par exemple, le coefficient de corrélation linéaire entre l’âge et le poids d’un individu sera identique que l’âge soit mesuré en semaines, en mois ou en années.

En revanche, ce coefficient de corrélation est extrêmement sensible à la présence de valeurs aberrantes ou extrêmes (ces valeurs sont appelées des « déviants ») dans notre ensemble de données (valeurs très éloignées de la majorité des autres, pouvant être considérées comme des exceptions).

Plusieurs auteurs ont proposé des directives pour l'interprétation d'un coefficient de corrélation. Cohen (1988)[7], a observé, toutefois, que tous ces critères sont à certains égards arbitraires et ne doivent pas être trop strictement observés. L'interprétation d'un coefficient de corrélation dépend du contexte et des objectifs. Une corrélation de 0,9 peut être très faible si l'on vérifie une loi physique en utilisant des instruments de qualité, mais peut être considérée comme très élevée dans les sciences sociales où il peut y avoir une contribution plus importante de facteurs de complication.

Les deux séries de valeurs ${\displaystyle X(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ et ${\displaystyle Y(y_{1},\ldots ,y_{n})}$ peuvent être considérées comme des vecteurs dans un espace à n dimensions. Remplaçons-les par des vecteurs centrés : ${\displaystyle X(x_{1}-{\bar {x}},\ldots ,x_{n}-{\bar {x}})}$ et ${\displaystyle Y(y_{1}-{\bar {y}},\ldots ,y_{n}-{\bar {y}})}$.

Le cosinus de l'angle α entre ces vecteurs est donné par la formule suivante (produit scalaire normé) :

${\displaystyle \cos(\alpha )={\dfrac {\displaystyle \sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\bar {x}})\cdot (y_{i}-{\bar {y}})}{{\sqrt {\displaystyle \sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}\cdot {\sqrt {\displaystyle \sum _{i=1}^{N}(y_{i}-{\bar {y}})^{2}}}}}}$

Donc ${\displaystyle \cos(\alpha )=r_{p}}$, ce qui explique que ${\displaystyle r_{p}}$ est toujours compris entre -1 et 1.

Le coefficient de corrélation n’est autre que le cosinus de l'angle α entre les deux vecteurs centrés !

Si r = 1, l’angle α = 0, les deux vecteurs sont colinéaires (parallèles).

Si r = 0, l’angle α = 90°, les deux vecteurs sont orthogonaux.

Si r = -1, l’angle α vaut 180°, les deux vecteurs sont colinéaires de sens opposé.

Plus généralement : ${\displaystyle \alpha =\arccos(r)}$, où ${\displaystyle \arccos }$ est la réciproque de la fonction cosinus.

Bien sûr, du point de vue géométrique, on ne parle pas de « corrélation linéaire » : le coefficient de corrélation a toujours un sens, quelle que soit sa valeur entre -1 et 1. Il nous renseigne de façon précise, non pas tant sur le degré de dépendance entre les variables, que sur leur distance angulaire dans l’hypersphère à n dimensions.

Attention, il est toujours possible de calculer un coefficient de corrélation (sauf cas très particulier) mais un tel coefficient  n'arrive pas toujours à rendre compte de la relation qui existe en réalité entre les variables étudiées. En effet, il suppose que l'on essaye de juger de l'existence d'une relation linéaire entre nos variables. Il n'est donc pas adapté pour juger de corrélations qui ne seraient pas linéaires et non linéarisables. Il perd également de son intérêt lorsque les données étudiées sont très hétérogènes puisqu'il représente une relation moyenne et que l'on sait que la moyenne n'a pas toujours un sens, notamment si la distribution des données est multi modale.

Si les deux variables sont totalement indépendantes, alors leur corrélation est égale à 0. La réciproque est cependant fausse, car le coefficient de corrélation indique uniquement une dépendance linéaire. D'autres phénomènes, par exemple, peuvent être corrélés de manière exponentielle, ou sous forme de puissance (voir série statistique à deux variables en mathématiques élémentaires).

Supposons que la variable aléatoire X soit uniformément distribuée sur l'intervalle [-1;1], et que Y = X² ; alors Y est complètement déterminée par X, de sorte que X et Y ne sont pas indépendants, mais leur corrélation vaut 0.

Ces considérations sont illustrées par des exemples dans le domaine des statistiques.

• 
  X = a*Y (corrélation linéaire)
• 
  Nuage de point
• 
  Y = X² : Y est complètement déterminée par X (X et Y ne sont pas indépendants), mais leur corrélation vaut 0

Lignes de régression pour la dépendance y=g_x(x) [rouge] et x=g_y(y) [bleu]

Une erreur courante est de croire qu'un coefficient de corrélation élevé induit une relation de causalité entre les deux phénomènes mesurés. En réalité, les deux phénomènes peuvent être corrélés à un même phénomène-source : une troisième variable non mesurée, et dont dépendent les deux autres. Le nombre de coups de soleil observés dans une station balnéaire, par exemple, peut être fortement corrélé au nombre de lunettes de soleil vendues ; mais aucun des deux phénomènes n'est probablement la cause de l'autre.

En anthropométrie, on mesure pour un certain nombre d'individus

• la stature ;
• la hauteur du buste ;
• la longueur du membre supérieur.

Plus ce nombre est grand et plus les corrélations sont représentatives. Puis on calcule par des lois statistiques l'influence des variables les unes sur les autres. On obtient la matrice suivante :

• La valeur 1 signifie que les deux variables sont exactement corrélées (parfaitement corrélées), c'est le cas d'une relation exactement linéaire entre deux variables ;
• Le 0,85 signifie que la stature joue pour 72,25 % (=0,85×0,85) sur la valeur de la hauteur du buste, et ainsi de suite ...
• La moitié manquante de la matrice peut être complétée par une symétrie selon la diagonale si les corrélations sont réversibles.