Classe de régularité

Si J est un intervalle de ℝ et ${\displaystyle k\geq 1}$ un entier, on considère les espaces fonctionnels suivants :

• ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}(J,\mathbb {R} )}$ : l'ensemble des fonctions continues de J vers ℝ ;
• ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{k}(J,\mathbb {R} )}$ : l'ensemble des fonctions de J vers ℝ qui sont ${\displaystyle k}$ fois dérivables ;
• ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}(J,\mathbb {R} )}$ : le sous-ensemble de ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{k}(J,\mathbb {R} )}$ constitué des fonctions dont la ${\displaystyle k}$-ième dérivée est continue ;
• ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(J,\mathbb {R} )}$, ou de manière strictement équivalente ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\infty }(J,\mathbb {R} )}$ : l'ensemble des fonctions indéfiniment dérivables (c'est-à-dire ${\displaystyle n}$ fois dérivables pour tout entier ${\displaystyle n}$) de J vers ℝ, aussi appelées fonctions lisses ou régulières[1].

On dira d'une fonction f qui est k fois dérivable, donc appartenant à ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{k}(J,\mathbb {R} )}$ qu'elle est de classe D^k sur J. De même une fonction appartenant à ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}(J,\mathbb {R} )}$ est dite de classe C^k sur J.

Puisque la dérivabilité implique la continuité, une fonction dérivable (donc de classe D¹) est nécessairement continue (donc de classe C⁰). De même l'existence de la k-ième dérivée implique la continuité de la dérivée d'ordre k - 1. Ces ensembles satisfont donc la suite d'inclusions :

${\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}(J)\supset {\mathcal {D}}^{1}(J)\supset {\mathcal {C}}^{1}(J)\supset {\mathcal {D}}^{2}(J)\supset {\mathcal {C}}^{2}(J)\supset \cdots \supset {\mathcal {D}}^{k}(J)\supset {\mathcal {C}}^{k}(J)\supset \cdots \supset {\mathcal {C}}^{\infty }(J).}$

Ces ensembles forment des algèbres sur ℝ pour les lois usuelles.

La continuité est liée aux topologies usuelles sur J et sur ℝ. Par contre, il n’est pas précisé si J est ouvert, fermé, semi-ouvert, demi-droite ou ℝ entier. La topologie (ou éventuellement la norme) associée à ces espaces n'est pas non plus explicitée ici (voir Espace de Fréchet).

Lorsque le contexte est clair, l’« argument » ℝ est ignoré dans la notation, et il en va parfois de même du domaine de définition (c’est habituellement le cas lorsque J = ℝ).

Deux autres catégories sont couramment évoquées :

• ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{I}^{0}(J)}$ l’ensemble des fonctions continues par morceaux ;
• ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{I}^{k}(J)}$ (avec ${\displaystyle k\geq 1}$) le sous-ensemble de ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{k}(J)}$ constitué des fonctions dont la ${\displaystyle k}$-ième dérivée est continue par morceaux ;
• ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}^{k}(J)}$ le sous-ensemble de ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}(J)}$ constitué des fonctions dont le support est compact dans un ouvert contenu dans J ;
• ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}^{\infty }(J)}$ le sous-ensemble de ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(J)}$ constitué des fonctions dont le support est compact dans un ouvert contenu dans J.

Ils satisfont les inclusions suivantes :

${\displaystyle {\mathcal {D}}^{k}(J)\supset {\mathcal {C}}_{I}^{k}(J)\supset {\mathcal {C}}^{k}(J)\supset {\mathcal {C}}_{0}^{k}(J)}$.

Si l'intervalle J est non trivial, tous ces ensembles constituent, munis de leur lois, des algèbres de dimension card(ℝ).

Soit ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ un ouvert borné, de frontière ${\displaystyle \partial \Omega }$ et d’adhérence ${\displaystyle {\overline {\Omega }}}$.

Pour simplifier, supposons que ${\displaystyle \Omega }$ soit un domaine « régulier » ; par exemple et pour fixer les idées, que le théorème de la divergence soit valable pour toute fonction suffisamment lisse sur ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

Dans ce cadre, les définitions précédentes conservent leur validité en remplaçant J par ${\displaystyle {\overline {\Omega }}}$ et en prenant « dérivée » au sens de « différentielle ».

• Régularité par morceaux
• Dérivation itérée
• Fonction analytique

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