Cofibration

Une application ${\displaystyle i}$ entre deux espaces topologiques ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle X}$ est appelée une cofibration si pour toute application ${\displaystyle F}$ de ${\displaystyle X}$ dans un espace topologique ${\displaystyle Y}$ telle que la composée avec ${\displaystyle i}$ est homotope à une application ${\displaystyle g}$, il existe une homotopie de ${\displaystyle X}$ vers ${\displaystyle Y}$ dont la composée avec ${\displaystyle i}$ donne l'homotopie sur ${\displaystyle A}$. Cette définition est résumée par le diagramme commutatif suivant :

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}A&{\stackrel {H}{\to }}&Y^{[0;1]}\\^{i}\downarrow &^{\exists }\!\nearrow &\downarrow ^{\mathrm {ev} _{0}}\\X&{\stackrel {F}{\to }}&Y\end{array}}}$

où ${\displaystyle Y^{[0,1]}}$ est l’espace des chemins sur Y.

Pour une cofibration i de A dans X, l'homologie de la cofibre C est celle de la paire d'espaces et s'inscrit donc dans une suite exacte longue :

${\displaystyle \cdots \to H_{n}(A){\stackrel {i_{*}}{\longrightarrow }}H_{n}(X)\to H_{n}(C)\to H_{n-1}(A)\to \cdots \to H_{1}(C)\to H_{0}(A)\to H_{0}(X)\to H_{0}(C)\to 0.}$

• Fibration
• Propriété de relèvement des homotopies

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