Condition de chaîne dénombrable

Dans un ensemble ordonné E, on appelle antichaîne forte (en) tout ensemble d'éléments de E deux à deux incompatibles, ou encore, toute partie de E dont aucune paire n'est minorée. C'est donc une partie A telle que ${\displaystyle \forall x,y\in A\quad \forall z\in E\quad \left[(z\leq x{\text{ et }}z\leq y)\Rightarrow x=y\right].}$

On dit que E vérifie la condition de chaîne dénombrable lorsque toute antichaîne forte de E est au plus dénombrable.

En toute logique, on devrait dire « condition d'antichaîne dénombrable » pour éviter une certaine confusion avec de véritables notions^{[réf. nécessaire]} de chaînes comme noethérien ou artinien mais, comme souvent, on préfère garder^{[réf. nécessaire]} l'appellation historique.

On peut généraliser. Pour un cardinal κ donné, on dit que E vérifie la κ-condition de chaîne lorsque toute antichaîne forte de E est de cardinal strictement inférieur à κ. Ainsi, la condition de chaîne dénombrable correspond à la ℵ₁-condition de chaîne.

On dit qu'un espace topologique E vérifie la condition de chaîne dénombrable lorsque l'ensemble de ses ouverts non vides, ordonné par l'inclusion, vérifie la condition de chaîne dénombrable comme défini ci-dessus. Cela revient à dire que toute famille d'ouverts non vides de E deux à deux disjoints est au plus dénombrable. On dit alors que sa cellularité est au plus dénombrable.

Par exemple, la cellularité d'un espace discret est égale à son cardinal.

Si un espace est séparable alors il vérifie la condition de chaîne dénombrable[1].

La réciproque est vraie pour un espace métrisable mais fausse en général : par exemple {0, 1}^κ, comme tout produit d'espaces séparables, vérifie la condition de chaîne dénombrable[2] mais il n'est séparable que si κ ≤ ℭ[3].

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