Construction de l'anneau des polynômes

L'idée d'associer une lettre à un ensemble de nombres date du III^e siècle. Diophante définit la lettre S (la lettre grecque sigma) ainsi : « Le nombre qui possède une quantité indéterminée d’unités s’appelle l’arithme, et sa marque distinctive est S »[1]. Il ne travaille que sur les nombres entiers et les rationnels. Il définit les règles d'addition et de multiplication : « L'inverse de l'arithme multiplié par le bicarré de l'arithme donne le cube de l'arithme »[2], ce qui signifie que S⁴ est divisible par S et que le résultat vaut S³. Cette idée est petit à petit généralisée aux nombres irrationnels par la civilisation arabe, à l'origine de notre choix[3] de la lettre X. Si la construction est rudimentaire, elle permet aux mathématiciens de la Renaissance de résoudre toutes les équations jusqu'au degré 4, mais nous sommes cependant encore loin d'une construction rigoureuse, au sens de cet article. Au XVI^e siècle, Viète utilise pour la première fois le terme de polynôme, au sens décrit dans l'introduction[4].

Au XVII^e siècle apparaît un premier formalisme, celui des fonctions[5]. La variable x remplace la lettre X et le polynôme devient une fonction. Cet apport se traduit en résultats concrets, il permet de montrer le théorème de d'Alembert-Gauss qui assure l'existence d'autant de racines que le degré du polynôme, dans l'ensemble des nombres complexes.

Une question de Vandermonde, un mathématicien du XVIII^e siècle, finit par remettre à l'honneur le concept de polynôme formel, qui fait usage d'une lettre X qui s'additionne et se multiplie, mais qui n'est pas une fonction. Il cherche sans succès à résoudre l'équation cyclotomique à l'aide de radicaux[6], c'est-à-dire de nombres rationnels, de l'unité imaginaire i, des quatre opérations adjointes et des fonctions racine n^ièmes. C'est finalement Gauss qui y parvient[7] à l'aube du XIX^e siècle. Pour cela il considère les polynômes, non comme des fonctions, mais comme des équivalents de nombres entiers, avec une division euclidienne, l'équivalent des nombres premiers et une décomposition unique en facteurs premiers. Il utilise pour cela des polynômes à coefficients dans les congruences, issues de l'arithmétique modulaire. Si les coefficients du polynôme sont choisis dans les congruences, les fonctions polynomiales et les polynômes formels diffèrent. Et seul l'aspect formel permet de conclure dans ce cas particulier.

Ce n'est qu'au XX^e siècle que le besoin de rigueur fait apparaître la construction présentée dans cet article.

Polynôme représenté par un tableau par Al-Samaw'al

Il existe différentes méthodes pour représenter un polynôme[8], la plus classique est la suivante, illustrée sur deux polynômes exemples P et Q :

${\displaystyle P=X^{5}+X^{3}+X^{2}+1,\quad Q=9X^{2}+5X+1.}$

Cette écriture peut être rapprochée de celle de l'écriture décimale positionnelle des nombres 101101 et 951, qui peuvent se voir comme[9] :

${\displaystyle 101101=10^{5}+10^{3}+10^{2}+1,\quad 951=9.10^{2}+5.10^{1}+1.}$

Comme l'addition et la multiplication des polynômes suivent presque les mêmes lois que celles des nombres, il peut être pratique, pour additionner et multiplier P et Q de faire usage d'un tableau. C'est ainsi qu'al-Samaw'al, un mathématicien arabe du XII^e siècle, représente les polynômes, comme illustré sur la figure de gauche[10]. Sous forme de tableaux, et en utilisant les méthodes classiques d'addition et de multiplication sur les nombres, on obtient :

Les lois de l'addition et de la multiplication sont presque les mêmes, la seule différence réside dans les retenues, qui n'existent pas avec les polynômes. Cette manière de voir un polynôme amène à l'usage d'une écriture condensée. Sous cette forme, un polynôme peut être vu comme une suite. Pour des raisons de commodité, il est plus simple de noter la suite à l'envers, c'est-à-dire en commençant par le coefficient de 1, puis celui de X etc. Avec ce système de notation :

${\displaystyle P=(1,0,1,1,0,1,0,0,\dots ),\quad Q=(1,5,9,0,0\dots ).}$

Ce système est à l'origine de la construction formelle des polynômes exposée ici.

Avec la logique du préambule, un polynôme est défini de la manière suivante :

Un polynôme P est ainsi, dans le cas général, une suite (p₀, p₁, p₂,..., p_k...) d'éléments de A, que l'on note aussi (p_k). Nulle à partir d'un certain rang signifie qu'il existe un entier N tel que si n est plus grand que N, alors p_n est égal à 0.

L'ensemble de tous les polynômes ainsi défini est alors noté A[X].

On dispose d'une première propriété, correspondant à une tautologie de la définition :

La suite nulle est appelée polynôme nul.

Un monôme est un polynôme dont tous les coefficients sont nuls, sauf, au plus, l'un d'entre eux. Un monôme non nul, correspondant à la suite nulle (0,0,...) sauf en un unique indice k, est appelé « monôme de degré k ». Cette seule valeur non nulle de la suite est appelée le coefficient du monôme.

Le monôme (0, 0, 0, ... , p_k, 0, 0, ...) est appelé monôme de degré k du polynôme (p₀, p₁, p₂, ... , p_k, ...). Le monôme non nul et de plus grand degré d'un polynôme est appelé monôme dominant et si le monôme dominant possède un coefficient égal à 1, le polynôme est dit unitaire.

À l'image des ensembles de nombres, l'intérêt des polynômes réside dans l'existence d'une addition et d'une multiplication. Ces opérations correspondent à la description du préambule. De manière formelle, l'addition se définit par :

Addition des polynômes[12] — La somme de deux polynômes est égale à la suite dont la valeur indexée par k est la somme des deux coefficients des deux polynômes indexés par k.

${\displaystyle \forall P,Q\in A[X]\quad P=(p_{0},p_{1},p_{2},\dots ,p_{k},\dots ),\;Q=(q_{0},q_{1},q_{2},\dots ,q_{k},\dots ),}$ ${\displaystyle P+Q=(p_{0}+q_{0},\quad p_{1}+q_{1},\quad p_{2}+q_{2},\quad \dots ,\quad p_{k}+q_{k},\dots ).}$

Pour vérifier que la somme est bien définie, il faut s'assurer que la suite P + Q est bien nulle à partir d'un certain rang. Si la suite définissant P est nulle à partir du rang m et si celle définissant Q est nulle à partir du rang n, on remarque bien que la suite définissant P + Q est nulle à partir du rang égal au maximum de m et de n.

Il existe deux multiplications, la première est dite externe et correspond à la multiplication d'un nombre élément de A et d'un polynôme. C'est un exemple de multiplication d'un vecteur par un scalaire.

Multiplication scalaire[13] — La multiplication scalaire d'un élément a de A par un polynôme est la suite dont valeur indexée par k est le produit de a par le coefficient du polynôme indexé par k.

${\displaystyle \forall a\in A\quad aP=(ap_{0},ap_{1},\dots ,ap_{k},\dots ).}$

De même que l'addition des polynômes correspond à l'addition des suites, la multiplication scalaire correspond à la multiplication scalaire des suites. Il est une fois encore aisé de vérifier que le résultat est encore une suite nulle, à partir d'un certain rang.

La deuxième multiplication correspond au produit de deux polynômes. Elle est calquée sur le produit décrit dans le préambule :

Produit de polynômes[14] — Soient P égal à (p _k) et Q égal à (q _l) deux polynômes à coefficients dans A, le produit PQ est le polynôme défini par :

${\displaystyle PQ=(p_{0}q_{0},\quad p_{1}q_{0}+p_{0}q_{1},\quad p_{2}q_{0}+p_{1}q_{1}+p_{0}q_{2},\dots )=\left(\sum _{m=0}^{n}p_{m}q_{n-m}\right)_{n\in \mathbb {N} }.}$

Cette définition correspond exactement au calcul du préambule. Le coefficient d'indice 0 de PQ est le produit des coefficients d'indice 0 de P et de Q. Le coefficient d'indice 1 de PQ est la somme de deux termes : le produit du coefficient d'indice 0 de P et du coefficient d'indice 1 de Q pour le premier, le produit du coefficient d'indice 1 de P et du coefficient d'indice 0 de Q pour le second. Une fois encore les deux définition concordent. Il en est de même pour tous les coefficients.

Vérifier que le produit est bien une suite nulle à partir d'un certain rang n'est pas très difficile. Si la suite P est nulle à partir du rang p, que la suite Q est nul à partir du rang q et que r est un entier plus grand que p + q, le coefficient d'indice r dans la suite PQ est une somme de produits dont un (au moins) des facteurs est toujours nul, ce qui montre que le polynôme PQ est une suite nulle à partir de l'indice p + q.

La notation (1) n'est pas totalement usuelle. En général, on ne trouve pas le facteur X⁰ dans l'expression d'un polynôme[17]. Pour comprendre pourquoi il peut être omis, il est nécessaire d'étudier l'application φ de A dans A[X], qui à « a » associe le polynôme « aX⁰ ». Un peu de vocabulaire est utile :

L'application φ est ainsi une application de A dans l'ensemble des polynômes constants de A[X]. Elle possède de nombreuses propriétés, tout d'abord c'est une bijection, c'est-à-dire qu'à un élément de A est associé un unique polynôme constant par φ et pour tout polynôme constant, il existe un unique élément de A d'image ce polynôme constant. Au sens ensembliste, A et les polynômes constants sont deux ensembles copie l'un de l'autre.

L'ensemble des polynômes constants muni de l'addition et de la multiplication des polynômes est un sous-anneau (unitaire) de l'anneau des polynômes. L'addition de A est transportée par l'application φ, c'est-à-dire :

${\displaystyle \forall a,b\in A\quad \varphi (a+b)=(a+b)X^{0}=aX^{0}+bX^{0}=\varphi (a)+\varphi (b).}$

Il en est de même pour la multiplication, ainsi les structures (A, +, .) et l'ensemble des polynômes constants muni des mêmes opérations, sont des copies l'une de l'autre. L'unité 1 de A est envoyée sur l'unité 1X⁰. On parle d'isomorphisme d'anneaux.

L'élément neutre 0 pour l'addition de A est aussi l'élément neutre de A[X] pour l'addition des polynômes, il en est de même pour l'élément neutre 1 de la multiplication de A. Enfin, la multiplication externe de a par un polynôme P donne le même résultat que le produit de aX⁰ par le polynôme P.

Ces différentes raisons autorisent à « identifier » A avec l'ensemble des polynômes constants. Cela revient à considérer que A[X] contient l'ensemble de nombres A et l'ensemble de nombres A est vu comme constitué des polynômes constants. Cette identification revient à dire que le polynôme X⁰ est égal à 1. On trouve maintenant exactement la notation habituelle :

${\displaystyle P=p_{0}+p_{1}X+p_{2}X^{2}+\dots +p_{n}X^{n}.}$

L'ensemble des polynômes A[X] correspond bien à celui décrit dans l'introduction.

L'addition des polynômes possède les propriétés suivantes :

Ces propriétés sont simples à établir. En fait, tout ensemble de suites à valeurs dans un groupe abélien possède une structure de groupe abélien.

La multiplication est un peu moins riche :

La multiplication est un peu moins riche car tout élément non nul ne possède pas nécessairement un inverse, ainsi le polynôme X ne possède pas d'inverse. Ces différentes propriétés permettent d'établir :

Un indicateur important du polynôme est son degré :

Degré d'un polynôme[20] — Le degré d'un polynôme est le degré de son monôme dominant si le polynôme est non nul et moins l'infini sinon. Autrement dit, si le polynôme P (p₀, p₁, p₂, ..., p_k...) n'est pas nul, le degré est égal à l'entier n tel que p_n soit le coefficient non nul d'indice le plus élevé :

${\displaystyle \deg P=n\quad {\text{ si }}\quad P=p_{0}+p_{1}X+\dots +p_{n}X^{n}\quad {\text{et}}\quad p_{n}\neq 0.}$

Si le polynôme est nul, on pose ${\displaystyle \deg \,0=-\infty }$[21]. Parfois, on ne définit pas le degré du polynôme nul[22].

La définition de la somme et du produit des polynômes montre que :

On remarque par exemple que le coefficients du monôme dominant du produit de deux polynômes non nuls est le produit des deux coefficients des monômes dominants des deux polynômes. Ce qui montre que si P et Q sont deux polynômes non nuls, PQ est encore un polynôme non nul, autrement dit l'anneau A[X] est intègre. On remarque encore que le produit d'un polynôme non nul par X est toujours un polynôme de degré au moins 1, le polynôme X n'est donc pas inversible.

Valuation d'un polynôme[23] — La valuation d'un polynôme est le degré de son monôme non nul de plus petit degré, si le polynôme est non nul, et plus l'infini sinon. Autrement dit, si le polynôme P (p₀, p₁, p₂,..., p_k,...) n'est pas nul, la valuation est égale à l'entier m tel que p_m soit le coefficient non nul d'indice le moins élevé :

${\displaystyle {\text{val }}P=m\quad {\text{ si }}\quad P=p_{m}X^{m}+p_{m+1}X^{m+1}+\dots +p_{n}X^{n}\quad {\text{et}}\quad p_{m}\neq 0.}$

Si le polynôme est nul, on pose val ${\displaystyle P=+\infty }$.

On dispose de propriétés équivalentes pour les valuations :

Il existe en algèbre une définition de la valuation un peu différente et plus générale. La valuation spécifique définie dans ce paragraphe devient avec l'autre définition une valuation particulière.

Une des conséquences de ces deux applications, degré et valuation, est l'existence de deux divisions dans l'anneau des polynômes à coefficients dans un corps (c'est-à-dire si tous les éléments non nuls de A sont inversibles). L'une est dite « euclidienne » et l'autre « selon les puissances croissantes ». Elles sont traitées dans l'article « Division d'un polynôme ».

• Ouvrages
  • A. Dahan-Dalmedico et J. Peiffer, Une histoire des mathématiques : Routes et dédales, 1986 [détail des éditions]
  • Serge Lang, Algèbre [détail des éditions]
• Liens externes
  • J.-M. Sarlat, « Introduction aux polynômes », 2001
  • M. Bercovier, « Polynômes », sur université de Jussieu

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