Décomposition primaire

Passons maintenant au cas général. Dans ce qui suit, tous les anneaux sont commutatifs. Soit A un anneau et ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ un idéal de A. On dira comme plus haut que ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ est primaire s'il a la propriété suivante: si ${\displaystyle r,s\in A}$ sont tels que ${\displaystyle rs\in {\mathfrak {q}}}$, et si ${\displaystyle r\notin {\mathfrak {q}}}$, alors il existe un entier ${\displaystyle m>0}$ tel que ${\displaystyle s^{m}\in {\mathfrak {q}}.}$

• Par exemple, les idéaux primaires dans ℤ sont ${\displaystyle \left(0\right)}$ et ${\displaystyle \left(p^{m}\right)}$ où p est un nombre premier et ${\displaystyle m}$ est un entier strictement positif.

Le radical d'un idéal ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ de A est l'ensemble

${\displaystyle {\sqrt {\mathfrak {a}}}=\left\{x\in A|\exists m\in \mathbb {N} :x^{m}\in {\mathfrak {a}}\right\}}$

(où ℕ est l'ensemble des entiers strictement positifs). On montre que ${\displaystyle {\sqrt {\mathfrak {a}}}}$ est un idéal, et plus précisément qu'il s'agit de l'intersection de tous les idéaux premiers contenant ${\displaystyle {\mathfrak {a}}.}$[10] En particulier, le radical de l'idéal primaire ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ est le plus petit idéal premier contenant ${\displaystyle {\mathfrak {q}}.}$. (On voit apparaître ici une première différence avec le cas particulier ${\displaystyle A=\mathbb {Z} }$ : un idéal premier différent de ${\displaystyle \left\{0\right\}}$ n'est plus nécessairement maximal, et il peut donc exister des idéaux premiers ${\displaystyle {\mathfrak {p}},{\mathfrak {p}}^{\prime }}$ tels que ${\displaystyle \left\{0\right\}\subsetneqq {\mathfrak {p}}\subsetneqq {\mathfrak {p}}^{\prime }}$.) On notera que si ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ est un idéal premier, l'idéal ${\displaystyle {\mathfrak {p}}^{m}}$ engendré par les produits ${\displaystyle x_{1}...x_{m}}$ (où ${\displaystyle x_{i}\in {\mathfrak {p}}}$ et ${\displaystyle m}$ est un entier ${\displaystyle \geq 2}$) n'est pas nécessairement un idéal primaire, bien que son radical soit ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$; et réciproquement, un idéal primaire ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ de radical ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ n'est pas nécessairement une puissance de ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$. En revanche, les puissances d'un idéal maximal ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ sont ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$-primaires[11].

Soit A un anneau et ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ un idéal de A. Une décomposition primaire de ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ est une expression

${\displaystyle {\mathfrak {a}}=\bigcap \limits _{1\leq i\leq k}{\mathfrak {q}}_{i}}$

où les idéaux ${\displaystyle {\mathfrak {q}}_{i}}$ sont primaires. Si ces idéaux sont tels que (i) les idéaux premiers ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}={\sqrt {{\mathfrak {q}}_{i}}}}$ sont distincts et (ii) ${\displaystyle {\mathfrak {q}}_{i}\nsupseteq \bigcap \nolimits _{j\neq i}{\mathfrak {q}}_{j}}$ ${\displaystyle \left(1\leq i\leq k\right)}$, cette décomposition primaire est dite réduite. Si ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ admet une décomposition primaire (auquel cas on dit que ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ est décomposable), on peut se ramener au cas où celle-ci est réduite en ignorant les termes redondants et en groupant les ${\displaystyle {\mathfrak {q}}_{i}}$ ayant même radical, du fait que si ${\displaystyle {\mathfrak {q}}_{1}}$ et ${\displaystyle {\mathfrak {q}}_{2}}$ sont deux idéaux primaires ayant même radical ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$, alors ${\displaystyle {\mathfrak {q}}_{1}\cap \mathbf {q} _{2}}$ est de nouveau ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$-primaire (démonstration facile).

Pour ${\displaystyle x\in A}$, notons ${\displaystyle \left({\mathfrak {a}}:x\right)}$ l'ensemble des ${\displaystyle y\in A}$ tels que ${\displaystyle xy\in {\mathfrak {a}}}$. Il est immédiat que ${\displaystyle \left({\mathfrak {a}}:x\right)}$ est un idéal et on a le résultat suivant[12]:

Comme dans l'introduction, on dira que les idéaux premiers ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$ sont associés à ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$. Un idéal ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ est primaire si, et seulement s'il a un seul idéal premier associé. Parmi ces idéaux premiers ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$ (${\displaystyle \left(1\leq i\leq k\right)}$), il en est de minimaux (on a vu, en effet qu'il peut donc exister des idéaux premiers ${\displaystyle {\mathfrak {p}},{\mathfrak {p}}^{\prime }}$ tels que ${\displaystyle \left\{0\right\}\subsetneqq {\mathfrak {p}}\subsetneqq {\mathfrak {p}}^{\prime }}$). On les appelle les idéaux premiers isolés, les autres étant appelés immergés.

On a le résultat suivant[13]:

Un anneau A est dit laskérien si tout idéal de A est décomposable[14].

La terminologie employée plus haut provient de la géométrie algébrique: soit k un corps commutatif algébriquement clos et ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ un idéal de ${\displaystyle A=k\left[X_{1},...,X_{n}\right]}$. Cet idéal est de type fini, car d'après le théorème de la base de Hilbert, l'anneau A est noethérien. L'ensemble des ${\displaystyle \left(x_{1},...,x_{n}\right)\in k^{n}}$ tels que ${\displaystyle f\left(x_{1},...,x_{n}\right)=0}$ pour tout polynôme ${\displaystyle f\in {\mathfrak {a}}}$ est un ensemble algébrique dans l'« espace affine » ${\displaystyle k^{n}}$; cet ensemble algébrique est dit associé à l'idéal ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$, et noté ${\displaystyle {\mathcal {Z}}\left({\mathfrak {a}}\right)}$. Le théorème des zéros de Hilbert montre que ${\displaystyle {\mathcal {Z}}\left({\mathfrak {a}}\right)={\mathcal {Z}}\left({\sqrt {\mathfrak {a}}}\right)}$, d'où l'importance des idéaux radiciels, à savoir ceux qui sont égaux à leur racine. Pour tout ensemble algébrique ${\displaystyle V}$, notons ${\displaystyle {\mathfrak {I}}\left(V\right)}$ l'idéal radiciel (déterminé de manière unique) ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ tel que ${\displaystyle {\mathcal {Z}}\left({\mathfrak {a}}\right)=V}$. (Pour préciser ce qui vient d'être dit, l'application ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\mapsto {\mathcal {Z}}\left({\mathfrak {a}}\right)}$ de l'ensemble des idéaux radiciels de A dans l'ensemble des sous-ensembles algébriques de ${\displaystyle k^{n}}$, ces ensembles étant ordonnés par l'inclusion, est une bijection décroissante dont la bijection réciproque est ${\displaystyle V\mapsto {\mathfrak {I}}\left(V\right)}$.) Un ensemble algébrique ${\displaystyle V\in k^{n}}$ est dit irréductible s'il est non vide et s'il n'est pas réunion de deux sous-ensembles algébriques ${\displaystyle V_{1}}$ et ${\displaystyle V_{2}}$ distincts de ${\displaystyle V}$. Un ensemble algébrique irréductible est appelé une variété algébrique[15]. Un ensemble algébrique ${\displaystyle V}$ peut être exprimé comme étant la réunion d'un nombre fini de variétés algébriques ${\displaystyle V_{1}}$, ..., ${\displaystyle V_{r}}$ déterminées de manière unique si l'on requiert la condition ${\displaystyle V_{i}\nsupseteq V_{j}}$ pour ${\displaystyle i\neq j}$[16]. Les ${\displaystyle V_{i}}$ sont alors appelées les composantes irréductibles de ${\displaystyle V}$. Un ensemble algébrique ${\displaystyle V={\mathcal {Z}}\left({\mathfrak {a}}\right)}$ est irréductible si, et seulement si l'idéal ${\displaystyle {\mathfrak {I}}\left(V\right)}$ est premier[17]. Les idéaux premiers isolés correspondent aux composantes irréductibles de ${\displaystyle V}$ tandis que les idéaux premiers immergés correspondent à des variétés immergées dans les composantes irréductibles. Soit ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$ (${\displaystyle 1\leq i\leq k'}$) les idéaux premiers isolés associés à l'idéal ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ; on a ${\displaystyle {\mathcal {Z}}\left({\mathfrak {a}}\right)=\bigcup \nolimits _{1\leq i\leq k^{\prime }}{\mathcal {Z}}\left({\mathfrak {p}}_{i}\right)}$ où les ${\displaystyle {\mathcal {Z}}\left({\mathfrak {p}}_{i}\right)}$ sont les composantes irréductibles de ${\displaystyle {\mathcal {Z}}\left({\mathfrak {a}}\right)}$.

• Exemple[18]: Soit ${\displaystyle A=k\left[X,Y\right]}$, ${\displaystyle {\mathfrak {a}}=\left(X^{2},XY\right)}$, ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{1}=\left(X\right)}$, ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{2}=\left(X,Y\right)}$. L'ensemble algébrique ${\displaystyle {\mathcal {Z}}\left({\mathfrak {a}}\right)}$ est la droite ${\displaystyle x=0}$; c'est une variété qui coïncide avec ${\displaystyle {\mathcal {Z}}\left({\mathfrak {p}}_{1}\right)}$, tandis que ${\displaystyle {\mathcal {Z}}\left({\mathfrak {p}}_{2}\right)}$ est l'ensemble ${\displaystyle x=0,y=0}$, c'est-à-dire l'origine. Tout ${\displaystyle f\in {\mathfrak {a}}}$ s'annule en ${\displaystyle x=0}$ avec une multiplicité ${\displaystyle \geq 2}$ à l'origine, et réciproquement tout ${\displaystyle f\in A}$ ayant cette propriété est un multiple ${\displaystyle gX}$, ${\displaystyle g\in {\mathfrak {p}}_{2}}$. On a les deux décompositions primaires réduites distinctes ${\displaystyle {\mathfrak {a}}={\mathfrak {p}}_{1}\cap {\mathfrak {p}}_{2}^{2}={\mathfrak {p}}_{1}\cap \left(X^{2},Y\right)}$, ce qui montre qu'il n'y a pas unicité de la décomposition primaire réduite. L'idéal premier ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{2}}$ est immergé, ce qui correspond au fait que ${\displaystyle {\mathcal {Z}}\left({\mathfrak {p}}_{2}\right)=\left(0,0\right)\varsubsetneq {\mathcal {Z}}\left({\mathfrak {p}}_{1}\right).}$ L'idéal premier ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{1}}$, en revanche, est isolé. Notons que, bien que l'idéal ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ne soit pas primaire, l'ensemble algébrique ${\displaystyle {\mathcal {Z}}\left({\mathfrak {a}}\right)}$ est une variété algébrique. Notons aussi que ${\displaystyle \left(X^{2},Y\right)}$ est un exemple d'idéal primaire qui n'est pas une puissance de son radical ${\displaystyle \left(X,Y\right)}$.

Soit X l'ensemble des idéaux premiers de A. Pour toute partie P de A, notons ${\displaystyle {\mathcal {V}}\left(P\right)}$ l'ensemble des idéaux premiers de A contenant P. Si ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ est l'idéal engendré par P, on a ${\displaystyle {\mathcal {V}}\left(P\right)={\mathcal {V}}\left({\mathfrak {a}}\right)}$, et cet ensemble est encore égal à ${\displaystyle {\mathcal {V}}\left({\sqrt {\mathfrak {a}}}\right)}$. L'application ${\displaystyle P\mapsto {\mathcal {V}}\left(P\right)}$ est décroissante pour les relations d'inclusion dans X et A. On a ${\displaystyle {\mathcal {V}}\left(0)\right)=X}$, ${\displaystyle {\mathcal {V}}\left(A\right)=0}$, et on montre facilement que les parties ${\displaystyle {\mathcal {V}}\left(P\right)}$ sont les ensembles fermés d'une topologie sur X, appelée topologie de Zariski[19].

Cet ensemble X, muni de la topologie de Zariski, est appelé les spectre premier de A et est noté ${\displaystyle Spec\left(A\right)}$.

Soit M un A-module et ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ un idéal premier de A.

L'ensemble ${\displaystyle S=A-{\mathfrak {p}}}$ est une partie multiplicative de A, à savoir que si ${\displaystyle s,t\in S}$, alors ${\displaystyle st\in S}$ (en effet, si ${\displaystyle st\in {\mathfrak {p}}}$, alors ${\displaystyle s\in {\mathfrak {p}}}$ ou ${\displaystyle t\in {\mathfrak {p}}}$, par définition d'un idéal premier). On peut donc former l'anneau des fractions ${\displaystyle S^{-1}A=A_{\mathfrak {p}}}$ formé des fractions ${\displaystyle x/s}$, ${\displaystyle x\in A}$, ${\displaystyle s\in S}$, c'est-à-dire l'anneau des fractions ${\displaystyle x/s}$, ${\displaystyle x\in A}$, ${\displaystyle s\notin {\mathfrak {p}}}$. Rappelons que ${\displaystyle x/s=0}$ si, et seulement s'il existe ${\displaystyle t\in A-{\mathfrak {p}}}$ tel que ${\displaystyle tx=0}$.

On note ${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}}$ le produit tensoriel ${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}\otimes M}$, qui se trouve canoniquement muni d'une structure de ${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}$-module[20]. Tout élément de ${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}}$ est de la forme ${\displaystyle m/s}$ ${\displaystyle \left(m\in M,s\in A-{\mathfrak {p}}\right)}$. Pour que ${\displaystyle m/s}$ soit nul, il faut et il suffit qu'il existe ${\displaystyle t\in A-{\mathfrak {p}}}$ tel que ${\displaystyle sm=0}$.

On appelle support de M, et on note ${\displaystyle Supp\left(M\right)}$, l'ensemble des idéaux premiers ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ de A tels que ${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}\neq 0}$.

Pour tout sous-module N de M, notons ${\displaystyle Ann\left(N\right)}$ l'annulateur de N, à savoir l'idéal constitué des éléments a de A tels que ${\displaystyle aN=0}$, et notons ${\displaystyle Ann\left(m\right)}$ l'annulateur de Am. Indiquons, sans être exhaustif, quelques propriétés du support:

• Exemple: En considérant l'anneau A en tant que module sur lui-même, on a ${\displaystyle Supp\left(A\right)=Spec\left(A\right)}$. Plus généralement, soit ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ un idéal de A; alors ${\displaystyle Supp\left(A/{\mathfrak {a}}\right)={\mathcal {V}}\left({\mathfrak {a}}\right)}$.

Soit A un anneau et M un A-module. On dit qu'un idéal premier ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ est associé à M s'il existe un élément m de M tel que ${\displaystyle {\mathfrak {p}}=Ann\left(m\right)}$. On note ${\displaystyle Ass\left(M\right)}$ l'ensemble des idéaux premiers associés à M.

• Exemple: Soit k un corps commutatif algébriquement clos, ${\displaystyle A=k\left[X_{1},...,X_{n}\right]}$, et ${\displaystyle V}$ un sous-ensemble algébrique de ${\displaystyle k^{n}}$ (voir supra). Une fonction ${\displaystyle f:V\rightarrow k}$ est dite régulière sur ${\displaystyle V}$ si elle est la restriction à ${\displaystyle V}$ d'une fonction polynomiale sur ${\displaystyle k^{n}}$[21]. Notons ${\displaystyle \mathbf {A} \left(V\right)}$ l'anneau des fonctions régulières sur ${\displaystyle V}$. Deux fonctions polynomiales ont même restriction à ${\displaystyle V}$ si, et seulement si leur différence appartient à ${\displaystyle {\mathfrak {a}}={\mathfrak {I}}\left(V\right)}$; par suite ${\displaystyle \mathbf {A} \left(V\right)}$ est isomorphe à l'algèbre ${\displaystyle A/{\mathfrak {a}}}$, et peut lui être identifié (cette algèbre est réduite, à savoir que son nilradical est réduit à ${\displaystyle \left\{0\right\}}$). Soit ${\displaystyle V_{1}}$, ..., ${\displaystyle V_{r}}$ les composantes irréductibles de ${\displaystyle V}$. Les idéaux premiers associés à ${\displaystyle A/{\mathfrak {a}}}$ sont les idéaux ${\displaystyle {\mathfrak {I}}\left(V_{1}\right)}$, ..., ${\displaystyle {\mathfrak {I}}\left(V_{r}\right)}$[22]. Ce sont donc les idéaux premiers isolés déjà mentionnés.

Si ${\displaystyle M=\left\{0\right\}}$, alors ${\displaystyle Ass\left(M\right)=\varnothing }$. Réciproquement, si A est noethérien et ${\displaystyle Ass\left(M\right)=\varnothing }$, alors ${\displaystyle M=\left\{0\right\}}$[22]. Si A est noethérien et M est de type fini, alors ${\displaystyle Ass\left(M\right)}$ est fini[23].

On montre ce qui suit[24]: Tout idéal premier ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ de A contenant un élément de ${\displaystyle Ass\left(M\right)}$ appartient à ${\displaystyle Supp\left(M\right)}$. Si A est noethérien, inversement, tout idéal ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in Supp\left(M\right)}$ contient un élément de ${\displaystyle Ass\left(M\right)}$. Dans ce cas, ${\displaystyle Ass\left(M\right)\subset Supp\left(M\right)}$, ces deux ensembles ont mêmes éléments minimaux, et ces derniers coïncident avec les éléments minimaux de l'ensemble des idéaux premiers qui contiennent ${\displaystyle Ann\left(M\right)}$.

Si A est noethérien et M est de type fini, on a[25]

${\displaystyle {\sqrt {Ann\left(M\right)}}=\bigcap \limits _{{\mathfrak {p}}\in Supp\left(M\right)}{\mathfrak {p}}=\bigcap \limits _{{\mathfrak {p}}\in Ass\left(M\right)}{\mathfrak {p}}.}$

Soit M un A-module et Q un sous-module propre de M (c'est-à-dire un sous-module de M différent de M). On dit que Q est ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$-primaire dans M si la condition suivante est satisfaite[26]: si ${\displaystyle a\in A}$ et ${\displaystyle m\in M}$ sont tels que ${\displaystyle am\in Q}$ et ${\displaystyle m\notin Q}$, alors ${\displaystyle a\in {\mathfrak {p}}.}$, où ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ est l'idéal premier ${\displaystyle {\sqrt {Ann\left(M/Q\right)}}}$. On dit alors que l'idéal premier ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ appartient au module primaire Q.

Notons que ${\displaystyle a\in {\mathfrak {p}}}$ si, et seulement s'il existe un entier s tel que ${\displaystyle a{^{s}}\in Ann(M/Q)}$, i.e. ${\displaystyle a{^{s}}M\subset Q}$. Si l'anneau A est noethérien, l'idéal ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ est de type fini, donc s peut être pris indépendant de a, et cette condition équivaut donc à ${\displaystyle {\mathfrak {p}}{^{s}}M\subset Q}$.

• Supposons A noethérien et M de type fini. Alors Q est ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$-primaire dans M si, et seulement si ${\displaystyle M/Q}$ est coprimaire[27], c'est-à-dire que ${\displaystyle Ass(M/Q)}$ est réduit à un seul élément, à savoir ${\displaystyle Ass\left(M/Q\right)=\left\{{\mathfrak {p}}\right\}}$.

• Soit M un module et ${\displaystyle Q_{1},...,Q_{r}}$ des sous-modules qui sont ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$-primaires (pour le même ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$). Alors ${\displaystyle Q_{1}\cap ...\cap Q_{r}}$ est ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$-primaire[28].

• On dit qu'un sous-module N de M est irréductible s'il ne peut pas s'écrire sous la forme ${\displaystyle N=N_{1}\cap N_{2}}$ avec ${\displaystyle N_{i}\neq N}$. Si A est un anneau noethérien, alors un sous-module irréductible de M est un sous-module primaire[29].

Soit M un module et N un sous-module de M. On dit que N admet une décomposition primaire dans M si N peut s'écrire comme une intersection finie de sous-modules primaires dans M:

${\displaystyle N=Q_{1}\cap ...\cap Q_{r}}$.

En utilisant la propriété mentionnée plus haut, on peut regrouper les ${\displaystyle Q_{i}}$ qui sont ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$-primaires pour le même ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$, et éliminer alors les éléments redondants, de façon à obtenir une décomposition primaire où les idéaux premiers appartenant aux différents ${\displaystyle Q_{i}}$ soient tous distincts. Une telle décomposition primaire est dite réduite. Soit ${\displaystyle N=Q_{1}\cap ...\cap Q_{r}}$ une décomposition primaire réduite, et soit ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$ l'idéal premier appartenant à ${\displaystyle Q_{i}.}$ Si ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}\nsupseteqq {\mathfrak {p}}_{j}}$ (${\displaystyle i\neq j}$), on dit que l'idéal premier ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$ est isolé (et qu'il est immergé dans le cas contraire). Le résultat qui suit généralise les deux théorèmes d'unicité énoncés plus haut[30]:

Un A-module M est dit laskérien s'il est de type fini et si tout sous-module de M admet une décomposition primaire[14].

Notons encore le point suivant[31]:

On a d'autre part le résultat ci-dessous, qui généralise le théorème de structure des groupes cycliques:

Terminons par une interprétation de la décomposition primaire d'un module à la lumière de la géométrie algébrique. Les notations sont les mêmes que dans la première interprétation donnée plus haut au sujet de la décomposition primaire d'un idéal. Soit M un A-module, N un sous-module de M, ${\displaystyle {\mathfrak {a}}=Ann\left(M/N\right)}$ et ${\displaystyle {\mathfrak {p}}={\sqrt {\mathfrak {a}}}}$. Soit alors ${\displaystyle V={\mathcal {Z}}\left({\mathfrak {p}}\right)}$ ; cet ensemble algébrique est dit associé au module ${\displaystyle M/N}$. En posant comme ci-dessus ${\displaystyle Ass\left(M/N\right)=\left\{{\mathfrak {p}}_{1},...,{\mathfrak {p}}_{r}\right\}}$, on a ${\displaystyle {\mathfrak {p}}=\bigcap \nolimits _{1\leq i\leq r}{\mathfrak {p}}_{i}}$ où ${\displaystyle Ass\left(M/Q_{i}\right)=\left\{{\mathfrak {p}}_{i}\right\}}$. Donc, en posant ${\displaystyle V_{i}={\mathcal {Z}}\left({\mathfrak {p_{i}}}\right)}$, on a

${\displaystyle V=\bigcup \nolimits _{1\leq i\leq r}V_{i}}$.

Si les idéaux premiers ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$ sont tous isolés, les variétés algébriques ${\displaystyle V_{i}}$ sont les composantes irréductibles de l'ensemble algébrique V. La dimension de l'ensemble algébrique V est définie comme étant sa dimension de Krull (en tant qu'espace topologique, quand elle est munie de la topologie de Zariski).

Si ${\displaystyle M=A}$ et ${\displaystyle N={\mathfrak {a}}}$, on a ${\displaystyle {\mathfrak {a}}=Ann\left(M/N\right)}$, par conséquent la seconde interprétation donnée ici généralise la première.

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