Densité d'énergie

Densités d'énergie volumique et massique brutes de quelques carburants.

Dans les applications de stockage de l'énergie, la densité énergétique fait référence soit à la densité d'énergie massique, soit à la densité d'énergie volumique. Plus la densité d'énergie est élevée, plus il y a d'énergie pouvant être stockée ou transportée pour un volume ou une masse donné. Ceci est particulièrement important dans le domaine des transports (automobile, avion, fusée…). On notera que le choix d'un carburant pour un moyen de transport, outre les aspects économiques, tient compte du rendement du groupe motopropulseur.

En termes d'analyse dimensionnelle, la pression correspond à une densité d'énergie. Ce fait possède, en théorie cinétique des gaz, une interprétation simple : la pression est une mesure de l'énergie cinétique microscopique (c'est-à-dire due à l'agitation thermique) des particules composant le gaz. En notant T la température, m la masse des molécules, n la densité de particules et v la norme de la vitesse de chaque particule, on montre en effet que la pression p est liée à l'énergie cinétique moyenne par :

${\displaystyle {\frac {1}{2}}m\langle v^{2}\rangle ={\frac {3}{2}}{\frac {p}{n}}}$.

Cette expression se réécrit de façon plus explicite selon

${\displaystyle 3p=nm\langle v^{2}\rangle }$,

ou bien

${\displaystyle p=nm\langle {v_{x}}^{2}\rangle }$,

c'est-à-dire que la pression est donnée par le flux de quantité de mouvement selon une direction donnée (noté x ici), c'est-à-dire le produit ${\displaystyle nmv_{x}}$ par la vitesse ${\displaystyle v_{x}}$. De fait, un tel flux de quantité de mouvement est égal à un facteur près à la densité d'énergie cinétique, et donc une densité d'énergie.

En électromagnétisme, on peut définir la densité d'énergie électrostatique et la densité d'énergie magnétostatique par les formules, données ici dans le vide :

${\displaystyle \rho _{\rm {es}}={\frac {1}{2}}\epsilon _{0}E^{2}}$,

${\displaystyle \rho _{\rm {ms}}={\frac {B^{2}}{2\mu _{0}}}}$,

où E et B représentent respectivement le module du champ électrique et du champ magnétique, et ε₀ et μ₀ la permittivité et la perméabilité du vide. En référence à la mécanique des milieux continus, ces densités d'énergie sont parfois appelées « pression électrostatique » et « pression magnétostatique ». Ces formules peuvent être combinées sous la forme

${\displaystyle \rho _{\rm {EM}}={\frac {1}{2}}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)}$.

En présence d'ondes électromagnétiques, ces formules peuvent être utilisées pour calculer la densité d'énergie associée à ces ondes. Ceci peut alors de fait donner la densité d'énergie d'un gaz de photons. En particulier, la densité d'énergie associée à un corps noir de température T donnée peut se calculer, et est égale à :

${\displaystyle \rho _{\rm {CN}}={\frac {\pi ^{2}}{15}}{\frac {(k_{\rm {B}}T)^{4}}{(\hbar c)^{3}}}}$,

où k_B, ${\displaystyle \hbar }$ et c représentent respectivement la constante de Boltzmann, la constante de Planck réduite et la vitesse de la lumière.

Dans ce contexte, la pression de radiation s'interprète de façon microscopique comme la poussée exercée par un gaz de photons sur un objet du fait du transfert d'impulsion entre celui-ci et ces derniers.

En physique théorique, on peut associer à un objet appelé champ scalaire une densité d'énergie. La densité d'énergie associée à un champ φ s'écrit

${\displaystyle \rho _{\phi }={\frac {1}{2}}{\dot {\phi }}^{2}+{\frac {1}{2}}(\nabla \phi )^{2}+V(\phi )}$,

où le point désigne une dérivée par rapport au temps. La densité d'énergie présente donc un terme cinétique (${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\dot {\phi }}^{2}}$), un terme d'interaction (${\displaystyle {\frac {1}{2}}(\nabla \phi )^{2}}$) et un terme potentiel (${\displaystyle V(\phi )}$). La formule ci-dessus est donnée en unité dites « relativistes », où la constante de Planck réduite et la vitesse de la lumière valent 1 et où toutes les grandeurs physiques sont ramenées à des puissances d'une énergie. Dans un système d'unités tel le Système international d'unités, en supposant que l'on est dans un espace-temps à quatre dimensions et qu'un champ scalaire a la dimension d'une énergie, alors la densité d'énergie devient, en tenant compte de toutes le constantes fondamentales,

${\displaystyle \rho _{\phi }={\frac {1}{2}}{\frac {1}{\hbar c^{3}}}{\dot {\phi }}^{2}+{\frac {1}{2}}{\frac {1}{\hbar c}}(\nabla \phi )^{2}+{\frac {1}{\hbar c^{3}}}V(\phi )}$,

où il a été supposé (de façon quelque peu arbitraire) que la normalisation du terme de potentiel suivait celle de la mécanique du point, où la relation entre accélération et potentiel était de la forme ${\displaystyle {\mathbf {a} }=-\nabla V}$, ce qui équivaut ici à considérer que dimensionnellement, le potentiel est homogène au carré d'une énergie divisé par un temps.

En relativité générale, les équations déterminant le champ gravitationnel se déduisent par un analogue de l'équation de Poisson en gravitation universelle, à savoir :

${\displaystyle \Delta \Phi =4\pi G\mu \,}$,

où Δ représente l'opérateur laplacien, Φ le potentiel gravitationnel, G la constante de gravitation et μ la densité de masse (ou masse volumique). En relativité générale, cette équation est remplacée par un jeu d'équations plus complexes : les équations d'Einstein. Dans ce contexte, une version simplifiée de ces équations révèle que le potentiel gravitationnel Φ est remplacé par la quantité sans dimension Φ/c² et la masse volumique par la densité d'énergie. Ainsi, la nouvelle équation de Poisson est-elle de la forme :

${\displaystyle \Delta {\frac {\Phi }{c^{2}}}={\frac {1}{2}}\kappa \left(\rho +3P\right)}$,

où la quantité κ est appelée constante d'Einstein et vaut :

${\displaystyle \kappa ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}}$ = 2,076 10^-43 m/J

ρ et P correspondant respectivement à la densité d'énergie (= μ c²) et à la pression. Cela indique que c'est l'énergie et non la masse qui produit le champ gravitationnel, conformément à la célèbre relation E = mc² découverte par Albert Einstein en 1905. Parmi les conséquences de cette relation, un corps chaud (contenant des photons et donc une densité d'énergie électromagnétique non nulle) génère un champ gravitationnel plus important qu'un corps identique de température moindre.

Cela signifie que l'on peut, dans une interprétation newtonienne, associer une certaine masse à une région dont la densité d'énergie est non nulle, même si cette densité d'énergie provient d'objets de masse nulle. Ainsi, un gaz de photons à température ambiante (environ 300 kelvins) « pèse »-t-il dans les 6,81 10^-23 kg·m^-3, ce qui reste une densité totalement négligeable par rapport à celle de l'air. Dans des cas extrêmes, la densité d'énergie d'un champ électromagnétique peut être néanmoins considérable. Ainsi, à la surface d'une étoile à neutrons à très fort champ magnétique (un pulsar X anormal), qui peut atteindre 10⁸ teslas, la densité de masse associée atteint-elle des valeurs de l'ordre de plusieurs dizaines de tonnes par mètre cube. Ces densités restent cependant faibles, dans le contexte d'une étoile à neutrons, dont la densité centrale est supposée être de l'ordre de 10¹⁴ tonnes par mètre cube.

Le concept de densité d'énergie est crucial en cosmologie, car il existe une relation entre une quantité décrivant la géométrie de l'espace (la courbure spatiale), la densité d'énergie totale, et le taux d'expansion de l'univers.

La densité d'énergie d'une espèce évolue au cours du temps différemment selon ses caractéristiques. L'évolution temporelle de la densité d'énergie est décrite par une équation improprement appelée équation de conservation. Dans un univers homogène et isotrope, elle s'écrit

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-3H(P+\rho )}$,

P étant la pression de l'espèce considérée et H le taux d'expansion de l'univers.

Souvent on note par w le rapport de la pression à la densité d'énergie, ce qui permet de réécrire l'équation de conservation ci-dessus comme

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-3(1+w)H\rho }$.

Cette dernière équation permet alors de déterminer comment évolue la densité d'énergie en fonction de l'indication de distance entre deux objets lointains, le facteur d'échelle (que l'on notera a par la suite). On obtient immédiatement

${\displaystyle \rho \propto a^{-3(1+w)}}$.

La densité d'énergie varie donc en fonction de la pression de l'espèce considérée. Pour de la matière non relativiste, pour laquelle la pression est négligeable devant la densité d'énergie (correspondant presque entièrement à la densité d'énergie de masse), on a

${\displaystyle \rho _{\rm {NR}}\propto a^{-3}}$.

Ce résultat ne fait rien d'autre qu'indiquer que la densité de particules décroît du fait de la dilution due à l'expansion. Pour une espèce relativiste, pour laquelle la quantité w tend vers 1/3, on a

${\displaystyle \rho _{\rm {UR}}\propto a^{-4}}$.

Ici, à l'effet de dilution évoqué ci-dessus, se superpose le fait que les particules considérées voient leur énergie décroître inversement proportionnellement à l'allongement des distances. C'est en réalité le phénomène de décalage vers le rouge bien connu en cosmologie.

Il est important de connaître toutes les contributions possibles à la densité d'énergie totale de l'univers. Ainsi, dans le modèle standard de la cosmologie est-on amené à évaluer les contributions des différentes formes d'énergie existant dans l'univers. l'on sait qu'il existe au moins quatre formes d'énergie distinctes, à savoir les photons, dont le gros de l'énergie est sous la forme du fond diffus cosmologique, les neutrinos, dont le gros de l'énergie est issue du fond cosmologique de neutrinos, la matière baryonique, c'est-à-dire la matière composants les noyaux atomiques (protons, neutrons)[alpha 2], et la matière noire. À cela s'ajoute l'énergie noire, dont l'existence est le plus directement mise en évidence par le phénomène d'accélération de l'expansion de l'univers. La donnée des valeurs absolues des densités d'énergie n'est pas très intéressante en cosmologie. Ce qui importe le plus est leur valeur en unités que l'on peut qualifier de « naturelles », c'est-à-dire par rapport à une quantité homogène à une densité d'énergie que l'on appelle densité critique. Dans l'hypothèse où la géométrie de l'univers est « plate » (c'est-à-dire que la courbure spatiale à grande échelle est nulle), alors la densité d'énergie totale doit être égale à la densité critique. Il est donc relativement naturel d'exprimer les différentes densités d'énergie en termes de la densité critique. On définit ainsi le paramètre de densité d'une forme d'énergie par le rapport de sa densité d'énergie à la densité critique.