Application lipschitzienne

Une fonction réelle est k-lipschitzienne si le double cône blanc peut se déplacer le long de son graphe sans que jamais la courbe de la fonction passe à l'intérieur. Plus k est petit, plus le cône blanc s'élargit et moins la fonction peut être abrupte.

Soient E une partie de ℝ, ${\displaystyle f:E\to \mathbb {R} }$ une application et k un réel positif.

On dit que f est k-lipschitzienne si

${\displaystyle \forall (x,y)\in E^{2},~|f(x)-f(y)|\leq k~|x-y|.}$

Soient ${\displaystyle (E,d_{E})}$ et ${\displaystyle (F,d_{F})}$ des espaces métriques, ${\displaystyle f:E\to F}$ une application et k un réel positif.

On dit que f est k-lipschitzienne si[1]

${\displaystyle \forall (x,y)\in E^{2},~d_{F}\left(f(x),f(y)\right)\leq k~d_{E}(x,y).}$

• f est dite lipschitzienne s'il existe k ≥ 0 tel que f soit k-lipschitzienne[2].
• S'il existe de tels k alors le plus petit d'entre eux existe et est appelé la constante de Lipschitz de f.
• Notons Lip (f) cette constante : on a ${\displaystyle {\text{Lip}}(f)=\sup _{x\neq {y}}\left({\frac {d{\bigl (}f(x),f(y){\bigr )}}{d(x,y)}}\right)}$[3]
• f est dite contractante s'il existe un ${\displaystyle k\in [0,1[}$ tel que f soit k-lipschitzienne, autrement dit si Lip (f) < 1.
• f est dite localement lipschitzienne si pour tout point x de E, il existe un voisinage V de x tel que la restriction de f à V soit lipschitzienne (pour une certaine constante k qui peut dépendre de V, donc de x).

Une fonction f dérivable sur un intervalle réel est lipschitzienne si et seulement si sa dérivée est bornée[4].

Corollaires

• Toute fonction réelle continûment dérivable sur un intervalle réel fermé borné est lipschitzienne[4].
• Par conséquent, toute fonction continûment dérivable sur un intervalle est localement lipschitzienne.

• Toute fonction lipschitzienne est uniformément continue et toute fonction localement lipschitzienne est continue. En effet, les fonctions lipschitziennes sont exactement les fonctions 1-höldériennes, or toute fonction höldérienne est uniformément continue.
• Si une fonction f définie sur un produit de deux espaces métriques (E₁, d₁) et (E₂, d₂) est k₁-lipschitzienne par rapport à la première variable et k₂-lipschitzienne par rapport à la seconde, alors elle est (k₁ + k₂)-lipschitzienne, sur ce produit E = E₁×E₂ muni de la distance d_E définie par d_E(x, y) = max(d₁(x₁, y₁), d₂(x₂, y₂)). En effet, on a alors :d_F(f(x), f(y)) ≤ d_F(f(x₁, x₂), f(y₁, x₂)) + d_F(f(y₁, x₂), f(y₁, y₂)) ≤ k₁d₁(x₁, y₁) + k₂d₂(x₂, y₂) ≤ (k₁ + k₂)d_E(x, y).
• Sur un espace compact, toute fonction localement lipschitzienne est lipschitzienne.
• Toute fonction réelle lipschitzienne est (absolument continue donc à variation bornée donc) dérivable presque partout pour la mesure de Lebesgue et sa dérivée est essentiellement bornée.
• D'après un théorème de Rademacher, toute fonction lipschitzienne définie sur ℝⁿ est encore dérivable Lebesgue-presque partout. Cela rend les fonctions lipschitziennes très utiles dans diverses branches des mathématiques, par exemple en théorie géométrique de la mesure où la différentiabilité presque partout est largement suffisante.
• Toute limite simple f de fonctions k-lipschitziennes f_n : E → F est k-lipschitzienne. À vrai dire, une limite simple sur un compact est automatiquement uniforme (la lipschitzianité uniforme implique l'équicontinuité qui implique la convergence uniforme sur tout compact). Soit ε > 0 ; on va montrer que f est (k+ε)-lipschitzienne. Pour tous points x et y de E on a l'existence d'un N tel que pour n≥N on ait d_F(f(x), f_n(x)) ≤ δ (en prenant astucieusement δ = d_E(x, y) ε/2 ) et similairement pour y (quitte à prendre le plus grand entre le N_x et le N_y) :
  d_F(f(x), f(y)) ≤ d_F(f_n(x), f_n(y)) + 2 δ ≤ k d_E(x, y) + ε d_E(x, y) f étant (k+ε)-lipschitzienne pour tout ε, il en découle le fait que f est k-lipscitzienne.
• Le théorème de Kirszbraun (en) (démontré pour deux espaces euclidiens par Mojżesz David Kirszbraun puis généralisé par Frederick Valentine) assure que pour deux espaces de Hilbert H₁, H₂, une fonction lipschitzienne sur une partie de H₁ et à valeurs dans H₂ peut se prolonger en une fonction lipschitzienne de H₁ tout entier dans H₂, avec la même constante de Lipschitz.