Fonctionnelle de Minkowski

En géométrie, la notion de jauge généralise celle de semi-norme. À toute partie $C$ d'un ℝ-espace vectoriel $E$ on associe sa jauge, ou fonctionnelle de Minkowski $p C$ , qui est une application de $E$ dans $[0, +\infty]$ mesurant, pour chaque vecteur, par quel rapport il faut dilater $C$ pour englober ce vecteur. Dès que $C$ contient l'origine, $p C$ est positivement homogène ; si $C$ est étoilée par rapport à $0$ , $p C$ possède d'autres propriétés élémentaires. Si $C$ est convexe — cas le plus souvent étudié — $p C$ est même sous-linéaire, mais elle n'est pas nécessairement symétrique et elle peut prendre des valeurs infinies. Sous certaines hypothèses supplémentaires, $p C$ est une semi-norme dont $C$ est la boule unité.

Cette notion intervient en analyse fonctionnelle (démonstration de la forme analytique du théorème de Hahn-Banach), en optimisation (problème de recouvrement par jauge, optimisation conique), en apprentissage automatique, en géométrie des nombres (second théorème de Minkowski), etc.

Dans tout cet article, $E$ désigne un espace vectoriel réel, qu'on supposera topologique chaque fois que nécessaire.

Jauge d'une partie quelconque

Définition — La « jauge, ou fonctionnelle de Minkowski[1] » d'une partie $A$ de $E$ est l'application $p_{A}:E\to \left[0,+\infty \right]$ définie par :

\forall x\in E\quad p_{A}(x):=\inf {\{\lambda >0\mid x\in \lambda A\}}

[2].

Exemple: Soient $E=\mathbb {R}$ et $A\subset \mathbb {R} _{+}^{*}$ tel que $\sup(A)=1$ . Pour tout $x>0$ , $p_{A}(x)=x$ et pour tout $x\leq 0$ , $p_{A}(x)=$ $inf(\emptyset) = +\infty$ .

Premières remarques

$A\subset p_{A}^{-1}(\left[0,1\right])\subset \operatorname {dom} {p_{A}}=\cup _{\lambda >0}\,\lambda A$ [note 1]. En particulier, $p_{A}(0)=+\infty$ si $0\notin A$ , et l'on a :

Condition suffisante de finitude — Si $A$ est absorbante alors $p_{A}$ est à valeurs finies.

$A\mapsto p_{A}$ est décroissante : pour toutes parties $A$ et $B$ , $A\subset B\Rightarrow p_{A}\geq p_{B}$ .
Les ensembles de sous-niveau de $p_{A}$ sont homothétiques : $\forall t>0\quad p_{A}^{-1}(\left[0,t\right])=t\,p_{A}^{-1}(\left[0,1\right])$ ou, ce qui est équivalent : pour tout vecteur $x$ , $\forall t>0\quad p_{A}(tx)=t\,p_{A}(x)$ .
Par conséquent, $p_{A}$ $\text{[math]}$ est :
- « fermée » (c'est-à-dire semi-continue inférieurement) si et seulement si $p_{A}^{-1}(\left[0,1\right])$ est fermé,
- semi-continue supérieurement si et seulement si $p_{A}^{-1}(\left[0,1\right[)$ est ouvert.
$p_{-A}(x)=p_{A}(-x)$ (donc si $A$ est symétrique par rapport à $0$ alors $\forall t\in \mathbb {R} ^{*}\quad p_{A}(tx)=|t|\,p_{A}(x)$ ).
$\forall t>0\quad p_{tA}=t^{-1}\,p_{A}$ .
Si $0\in A$ alors $p_{A}(0)=0$ donc $p_{A}$ est positivement homogène, c'est-à-dire que l'équation fonctionnelle précédente est vérifiée non seulement pour $t>0$ mais aussi pour $t=0$ [note 2] :
$\forall t\geq 0\quad \forall x\in E\qquad p_{A}(tx)=t\,p_{A}(x)$ .

La section suivante montre que réciproquement, toute fonction positivement homogène de $E$ dans $\left[0,+\infty \right]$ est une jauge (c'est-à-dire : est la jauge d'une partie de $E$ [note 3]).

Jauge d'une partie étoilée

Avant d'affiner l'étude dans le cas particulier plus utile d'un convexe contenant $0$ , considérons[3] une partie étoilée (par rapport à $0$ , ce qui sera désormais implicite), c'est-à-dire une partie $S\subset E$ contenant $0$ et telle que

\forall x\in S\quad \left[0,x\right]\subset S

.

Propriétés algébriques

On sait déjà que $S\subset p_{S}^{-1}(\left[0,1\right])$ et que $p_{S}$ est positivement homogène. La nouvelle hypothèse permet de préciser la situation :

Caractérisation — La jauge d'une partie étoilée

S

vérifie :

\{x\in E\mid p_{S}(x)<1\}\subset S\subset \{x\in E\mid p_{S}(x)\leq 1\}

.

Réciproquement, pour toute fonction $p:E\to \left[0,+\infty \right]$ positivement homogène (au sens défini ci-dessus), les parties étoilées de jauge $p$ sont les ensembles compris entre $p^{-1}(\left[0,1\right[)$ et $p^{-1}(\left[0,1\right])$ .

En outre :

pour toutes parties étoilées $S_{1}$ et $S_{2}$ , $p_{S_{1}\cap S_{2}}(x)=\max {\left(p_{S_{1}}(x),p_{S_{2}}(x)\right)}$ (ce qui est plus précis que la simple décroissance de $S\mapsto p_{S}$ ) ;
$p_{S}^{-1}(\{0\})=\cap _{\varepsilon >0}\varepsilon S$ [note 4] donc $p_{S}(x)=0\Leftrightarrow \mathbb {R} _{+}x\subset S$ , ce qui fournit la première des deux équivalences ci-dessous ;
la condition suffisante de finitude trouvée précédemment pour une partie quelconque devient nécessaire (seconde équivalence).

Conditions nécessaires et suffisantes de non dégénérescence et de finitude — Soit $S$ une partie étoilée.

$p_{S}$ ne s'annule qu'en $0$ si et seulement si $S$ ne contient aucune demi-droite issue de l'origine.
$p_{S}$ est à valeurs finies si et seulement si $S$ est absorbante.

Ces deux conditions seront reformulées plus loin, dans le cas d'un convexe en dimension finie.

Propriétés topologiques

L'une des deux inclusions de la caractérisation ci-dessus est parfois une égalité :

si $S$ est ouvert alors $S=p_{S}^{-1}(\left[0,1\right[)$ ;
si $S$ est fermé alors $S=p_{S}^{-1}(\left[0,1\right])$ .

Jauge d'un convexe

Si une jauge $p$ nulle en $0$ est convexe alors les deux ensembles $p^{-1}(\left[0,1\right])$ et $p^{-1}(\left[0,1\right[)$ sont non seulement étoilés mais convexes, et $p$ est la jauge de ces deux convexes. Les jauges de ce type sont caractérisées par la propriété suivante.

Une application $p:E\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}$ est dite sous-linéaire si elle est :

positivement homogène (voir supra) et

sous-additive : $\forall x,y\in E\quad p(x+y)\leq p(x)+p(y)$ .

Toute application sous-linéaire est convexe et pour une jauge nulle en $0$ , ces deux notions sont équivalentes :

Jauge d'un convexe — Si une partie contenant $0$ est convexe alors sa jauge est sous-linéaire[4].

Démonstration

L'homogénéité positive est immédiate et pour la sous-additivité, il suffit de remarquer que si $p_{C}(x)<a$ et $p_{C}(y)<b$ alors $p_{C}(x+y)\leq a+b$ , car ${\frac {x+y}{a+b}}={\frac {a{\frac {x}{a}}+b{\frac {y}{b}}}{a+b}}$ appartient au convexe $C$ , comme combinaison convexe de deux éléments de $C$ .

La réciproque est fausse, comme le montre l'exemple suivant.

Exemple

La fonction sous-linéaire $p$ sur $\mathbb {R} ^{2}$ qui, en $(x_{1},x_{2})\neq (0,0)$ , vaut $x_{2}$ si $x_{2}>0$ et $+\infty$ si $x_{2}\leq 0$ , est la jauge des deux convexes $p^{-1}(\left[0,1\right[)=\left(\mathbb {R} \times \left]0,1\right[\right)\cup \{(0,0)\}$ et $p^{-1}(\left[0,1\right])=\left(\mathbb {R} \times \left]0,1\right]\right)\cup \{(0,0)\}$ , ainsi que de tous les ensembles intermédiaires (tous étoilés, mais pas tous convexes).

Jauges sous-linéaires ne prenant pas la valeur $+\infty$

On a déjà remarqué que la jauge d'une partie étoilée $S$ est à valeurs finies si et seulement si $S$ est absorbante.

Tout voisinage de 0 est absorbant ; en dimension finie, on vérifie facilement que réciproquement, tout convexe absorbant $C$ est un voisinage de 0 — on peut le faire assez élégamment en remarquant qu'en tant que fonction convexe à valeurs finies et définie partout, $p_{C}$ est alors continue, et que l'ensemble $\{x\in E\mid p_{C}(x)<1\}$ (contenant $0$ et inclus dans $C$ ) est donc ouvert. En résumé :

Proposition — Soit $C$ un convexe contenant $0$ dans un espace de dimension finie. Alors, sa jauge est à valeurs finies si et seulement si $0$ est intérieur à $C$ .

Lorsque $0$ est intérieur à $C$ , on peut se faire une image mentale simple de la jauge via ses surfaces de niveau : l'ensemble des points où elle prend la valeur $1$ est exactement la frontière du convexe ; les surfaces de niveau pour les autres valeurs strictement positives sont les homothétiques de cette frontière ; en les éventuels points restant non couverts par la réunion de ces surfaces de niveau, la jauge prend la valeur 0.

On peut enfin remarquer que (pour un espace vectoriel réel), si $C$ est symétrique par rapport à 0 avec une jauge évitant la valeur $+\infty$ , la jauge est alors une semi-norme ; il en est de même pour un espace vectoriel complexe si l'on exige une version améliorée de la symétrie, à savoir l'invariance sous multiplication par n'importe quel complexe de module $1$ .

Jauges sous-linéaires ne s'annulant qu'en l'origine

On a déjà remarqué que la jauge d'une partie étoilée $S$ ne s'annule qu'en l'origine si et seulement si $S$ ne contient aucune demi-droite issue de l'origine.

Si $S$ est bornée (dans un espace vectoriel normé ou plus généralement, dans un espace vectoriel topologique séparé) alors elle ne contient aucune telle demi-droite.

La réciproque est vraie pour un convexe fermé en dimension finie, et se démontrerait en exploitant la compacité de la sphère de rayon 1 (la seule hypothèse « convexe » ne suffit pas ici : cf. § « Exemple » ci-dessus) :

Proposition — Soit $C$ un convexe fermé contenant $0$ dans un espace de dimension finie. Alors, sa jauge ne s'annule qu'en l'origine si et seulement si $C$ est borné.

Exemples d'utilisation

Dans la théorie des espaces vectoriels topologiques, c'est par l'introduction d'une collection appropriée de jauges qu'on peut caractériser les espaces localement convexes en termes de semi-normes[5].
En géométrie des convexes, la jauge est un outil intéressant pour ramener un problème purement géométrique (recherche d'un hyperplan) à un problème analytique (recherche d'une équation de l'hyperplan). Ainsi dans la preuve de la « forme géométrique » du théorème de Hahn-Banach — fondement de toute la théorie de la séparation des convexes et des hyperplans d'appui —, un pas essentiel est la constatation qu'exiger de l'hyperplan d'équation $f (x) = 1$ qu'il évite un convexe donné $C$ (ouvert et contenant 0), c'est la même chose que de demander à $f$ de majorer $p C$ .

Aspects calculatoires

Dans cette section[6], il s'agira exclusivement de jauges sous-linéaires sur un espace euclidien $E$ , dont le produit scalaire est noté $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ .

Pour une telle jauge $p$ , nous noterons $C_{p}$ son ensemble de sous-niveau $1$ :

C_{p}:=\{x\in E\mid p(x)\leq 1\}

.

Rappelons que l'adhérence d'une partie $P$ de $E$ est notée ${\overline {P}}$ et que le polaire de $P$ est le convexe fermé contenant l'origine, noté et défini par

P^{\circ }:=\{y\in E\mid \forall x\in P\quad \langle y,x\rangle \leq 1\}.

On peut donner une autre expression du polaire de $C_{p}$ :

{C_{p}}^{\circ }=\{y\in E\mid \forall x\in E\quad \langle y,x\rangle \leq p(x)\}

.

Adhérence

L'adhérence ou la fermeture de $p$ est la jauge ${\overline {p}}$ telle que $C_{\overline {p}}={\overline {C_{p}}}$ .

Par conséquent :

${\overline {p}}$ est la plus grande jauge fermée minorant $p$ ;
les épigraphes de $p$ et ${\overline {p}}$ sont reliés par $\operatorname {epi} ({\overline {p}})={\overline {\operatorname {epi} p}}$ .

Polaire

La polaire de $p$ est la jauge $p^{\circ }$ telle que $C_{p^{\circ }}={C_{p}}^{\circ }$ .

Propriétés

$p^{\circ }$ est fermée.
$\forall y\in E\quad p^{\circ }(y)=\inf {\{s>0\mid \forall x\in E\quad \langle x,y\rangle \leq s\,p(x)\}}$ [7].
La bipolaire de $p$ est égale à son adhérence : $p^{\circ \circ }={\overline {p}}$ (car ${C_{p}}^{\circ \circ }={\overline {C_{p}}}$ , d'après les propriétés de l'ensemble bipolaire).
La polaire de $p_{C}$ est égale à la fonction d'appui[note 5] $\sigma _{C}$ de $C$ , donc à la conjuguée[note 6] de la fonction indicatrice[note 7] de $C$ .
Si $p$ est une norme, $p^{\circ }$ est sa norme duale[note 8] (en particulier si $p$ est la norme euclidienne, $p^{\circ }=p$ ).
Inégalité de Cauchy-Schwarz généralisée : $\forall x\in \operatorname {dom} p\quad \forall y\in \operatorname {dom} p^{\circ }\quad \langle x,y\rangle \leq p(x)p^{\circ }(y)$ [note 1]^,[8] donc (en remplaçant $p$ par $p^{\circ }$ ) $\forall x\in \operatorname {dom} p^{\circ \circ }\quad \forall y\in \operatorname {dom} p^{\circ }\quad \langle x,y\rangle \leq p^{\circ \circ }(x)p^{\circ }(y)$ ,ce qui renforce l'inégalité précédente puisque $p^{\circ \circ }={\overline {p}}\leq p$ .

Sous-différentiel

Le sous-différentiel $\partial p(x)$ de $p$ en un point $x\in E$ vérifie

\partial p(x)=\{y\in {C_{p}}^{\circ }\mid \langle y,x\rangle =p(x)\}

(en particulier, $\partial p(0)={C_{p}}^{\circ }$ et si $p(x)=+\infty$ , $\partial p(x)=\varnothing$ ).

On en déduit :

\partial p(x)\subset

argmax

{}_{y\in {C_{p}}^{\circ }}\langle y,x\rangle

, avec égalité si

p

est fermée.

Quelques remarques sur le résultat ci-dessus.

Il existe des jauges $p$ et des points $x$ pour lesquels l'inclusion ci-dessus est stricte.
C'est le cas, dans le plan euclidien, pour la jauge $p$ du § « Exemple » ci-dessus et le point $x:=(1,0)$ : $\partial p(x)=\varnothing$ , tandis que ${C_{p}}^{\circ }=\left(\mathbb {R} \times \left]0,1\right]\right)^{\circ }=\{0\}\times \left]-\infty ,1\right]$ donc $\operatorname {argmax} _{y\in {C_{p}}^{\circ }}\langle y,x\rangle ={C_{p}}^{\circ }$ .
$p$ est sous-différentiable[note 9] en tout point de $E$ si, et seulement si, $0$ est intérieur à $C_{p}$ .
En effet (voir supra) $0$ est intérieur à $C_{p}$ si et seulement si $p$ ne prend que des valeurs finies. Or si $p$ ne prend que des valeurs finies alors elle est sous-différentiable en tout point (puisqu'elle est convexe), et réciproquement (puisque $\partial p(x)\neq \varnothing \Rightarrow p(x)\neq +\infty$ ).

Notes et références

Cet article est partiellement ou en totalité issu de l'article intitulé « Jauge (analyse convexe) » (voir la liste des auteurs).

Notes

Le domaine effectif $\operatorname {dom} p$ d'une fonction $p$ à valeurs dans ℝ est l'ensemble des points où elle ne prend pas la valeur $+\infty$ .
Par convention, $0\times \infty =0$ (cf. par exemple Rockafellar 1970, p. 24 ou Schechter 1997, p. 313).
Cette précision, redondante dans cet article, sera dorénavant implicite. Noter cependant que (en) H. G. Eggleston, Convexity, Cambridge University Press, 1958 (lire en ligne), p. 47 appelait « fonctions jauges » les applications sous-linéaires (à valeurs dans $p:E\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}$ ) ; (en) A. Wayne Roberts et Dale E. Varberg, Convex Functions, Academic Press, 1974 (lire en ligne), p. 216, nommaient ainsi celles à valeurs dans $\mathbb {R}$ ; et Rockafellar 1970, p. 128, celles à valeurs dans $\left[0,+\infty \right]$ , car il excluait de son étude les jauges d'ensembles non convexes.
Ce cône est noté $S^{\infty }(0)$ dans l'article « Cône asymptotique », où $S$ est supposé convexe.
La fonction d'appui d'une partie $P$ de $E$ est définie par $\forall y\in E\quad \sigma _{P}(y):=\sup {\{\langle y,x\rangle \mid x\in P\}}$ .
La conjuguée $f^{*}$ d'une fonction $f:E\to {\overline {\mathbb {R} }}$ est définie par $\forall y\in E\quad f^{*}(y):=\sup {\{\langle y,x\rangle -f(x)\mid x\in E\}}$ .
En analyse convexe, la fonction indicatrice d'une partie d'une partie $P$ de $E$ est la fonction qui s'annule sur $P$ et prend la valeur $+\infty$ sur le complémentaire de $P$ .
Pour le voir, on peut par exemple utiliser la relation $p^{\circ }=\sigma _{C_{p}}$ précédente.
On dit que $p$ est sous-différentiable en $x$ si $\partial p(x)\neq \varnothing$ .

Références

Aliprantis et Border 2006. De nombreux auteurs ne la définissent que pour un convexe contenant 0 :
- Claude Berge, Espaces topologiques : fonctions multivoques, Dunod, 1959, chap. VII, § 5 ;
- Laurent Schwartz, Analyse hilbertienne, Hermann, 1979, p. 44 ;
- A. Badrikian, « Remarques sur les théorèmes de Bochner et P. Lévy », dans Symposium on Probability Methods in Analysis, Springer, coll. « Lecture Notes in Math. » (n^o 31), 1967, p. 1-19, p. 3 : « V un voisinage de zéro convexe équilibré ouvert et P_V sa jauge (ou « fonctionnelle de Minkowski ») » ;
- Gilbert Demengel et Françoise Demengel, Espaces fonctionnels : Utilisation dans la résolution des équations aux dérivées partielles, EDP Sciences (lire en ligne), p. 51, exercice 1. 7 : « un ensemble convexe, équilibré et absorbant d'un espace vectoriel topologique X, contenant 0. On définit la fonctionnelle de Minkowski p, ou encore jauge du convexe » ;
- etc.
Dans le cas d'une partie $S$ étoilée par rapport à $0$ , ceci équivaut à la définition par Schechter 1997 de sa « fonctionnelle de Minkowski » : $p_{S}(x)$ est la borne inférieure de l'intervalle $\{\lambda \in \left]0,+\infty \right]\mid \lambda ^{-1}x\in S\}$ , qui contient $+\infty$ .
Schechter 1997, Aliprantis et Border 2006.
Nawfal El Hage Hassan, Topologie générale et espaces normés, Dunod, 2018 (1^re éd. 2011) (lire en ligne), p. 428.
Cédric Villani, « Analyse II : cours donné à l'École normale supérieure de Lyon », 2003-2004, § I.2.
Les résultats de cette section sont repris de Rockafellar 1970, Hiriart-Urruty et Lemaréchal 2004, Friedlander, Macêdo et Pong 2014 et Gilbert 2016.
Cette propriété tient lieu de définition de $p^{\circ }$ dans Rockafellar 1970, p. 128.
Rockafellar 1970, p. 130.

Bibliographie

(en) Charalambos D. Aliprantis et Kim C. Border, Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide, Springer, 2006, 3^e éd. (1^re éd. 1994) (lire en ligne), chap. 5.8 (« Sublinear functions and gauges »), p. 190-194
(en) M. Friedlander, I. Macêdo et T. K. Pong, « Gauge optimization and duality », SIAM Journal on Optimization, vol. 24, n^o 4,‎ 2014, p. 1999-2022 (DOI 10.1137/130940785, arXiv 1310.2639)
(en) J. Ch. Gilbert, « On the solution uniqueness characterization in the L1 norm and polyhedral gauge recovery », Journal of Optimization Theory and Applications, vol. 1, n^o 1,‎ 2016, p. 1-32 (DOI 10.1007/s10957-016-1004-0)
(en) Jean-Baptiste Hiriart-Urruty et Claude Lemaréchal, Fundamentals of Convex Analysis, Berlin Heidelberg New York, Springer, coll. « Grundlehren Text », 2004 (1^re éd. 2001) (lire en ligne), p. 128-130
(en) R. Tyrrell Rockafellar, Convex Analysis, Princeton, New Jersey, Princeton University Press, coll. « Princeton Mathematical Series » (n^o 28), 1970 (lire en ligne)
(en) Eric Schechter, Handbook of Analysis and Its Foundations, Academic Press, 1997 (lire en ligne), « Minkowski Functionals », p. 315-317

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[Domaine-3] Le domaine effectif $\operatorname {dom} p$ d'une fonction $p$ à valeurs dans ℝ est l'ensemble des points où elle ne prend pas la valeur $+\infty$ .

[4] Par convention, $0\times \infty =0$ (cf. par exemple Rockafellar 1970, p. 24 ou Schechter 1997, p. 313).

[5] Cette précision, redondante dans cet article, sera dorénavant implicite. Noter cependant que (en) H. G. Eggleston, Convexity, Cambridge University Press, 1958 (lire en ligne), p. 47 appelait « fonctions jauges » les applications sous-linéaires (à valeurs dans $p:E\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}$ ) ; (en) A. Wayne Roberts et Dale E. Varberg, Convex Functions, Academic Press, 1974 (lire en ligne), p. 216, nommaient ainsi celles à valeurs dans $\mathbb {R}$ ; et Rockafellar 1970, p. 128, celles à valeurs dans $\left[0,+\infty \right]$ , car il excluait de son étude les jauges d'ensembles non convexes.

[7] Ce cône est noté $S^{\infty }(0)$ dans l'article « Cône asymptotique », où $S$ est supposé convexe.

[12] La fonction d'appui d'une partie $P$ de $E$ est définie par $\forall y\in E\quad \sigma _{P}(y):=\sup {\{\langle y,x\rangle \mid x\in P\}}$ .

[13] La conjuguée $f^{*}$ d'une fonction $f:E\to {\overline {\mathbb {R} }}$ est définie par $\forall y\in E\quad f^{*}(y):=\sup {\{\langle y,x\rangle -f(x)\mid x\in E\}}$ .

[14] En analyse convexe, la fonction indicatrice d'une partie d'une partie $P$ de $E$ est la fonction qui s'annule sur $P$ et prend la valeur $+\infty$ sur le complémentaire de $P$ .

[15] Pour le voir, on peut par exemple utiliser la relation $p^{\circ }=\sigma _{C_{p}}$ précédente.

[17] On dit que $p$ est sous-différentiable en $x$ si $\partial p(x)\neq \varnothing$ .

[1] Aliprantis et Border 2006. De nombreux auteurs ne la définissent que pour un convexe contenant $0$ :
Claude Berge, Espaces topologiques : fonctions multivoques, Dunod, 1959, chap. VII, § 5 ;

Laurent Schwartz, Analyse hilbertienne, Hermann, 1979, p. 44 ;

A. Badrikian, « Remarques sur les théorèmes de Bochner et P. Lévy », dans Symposium on Probability Methods in Analysis, Springer, coll. « Lecture Notes in Math. » (n^o 31), 1967, p. 1-19, p. 3 : « V un voisinage de zéro convexe équilibré ouvert et P_V sa jauge (ou « fonctionnelle de Minkowski ») » ;

Gilbert Demengel et Françoise Demengel, Espaces fonctionnels : Utilisation dans la résolution des équations aux dérivées partielles, EDP Sciences (lire en ligne), p. 51, exercice 1. 7 : « un ensemble convexe, équilibré et absorbant d'un espace vectoriel topologique X, contenant 0. On définit la fonctionnelle de Minkowski p, ou encore jauge du convexe » ;

etc.

[11] Claude Berge, Espaces topologiques : fonctions multivoques, Dunod, 1959, chap. VII, § 5 ;

[12] Laurent Schwartz, Analyse hilbertienne, Hermann, 1979, p. 44 ;

[13] A. Badrikian, « Remarques sur les théorèmes de Bochner et P. Lévy », dans Symposium on Probability Methods in Analysis, Springer, coll. « Lecture Notes in Math. » (n^o 31), 1967, p. 1-19, p. 3 : « V un voisinage de zéro convexe équilibré ouvert et P_V sa jauge (ou « fonctionnelle de Minkowski ») » ;

[14] Gilbert Demengel et Françoise Demengel, Espaces fonctionnels : Utilisation dans la résolution des équations aux dérivées partielles, EDP Sciences (lire en ligne), p. 51, exercice 1. 7 : « un ensemble convexe, équilibré et absorbant d'un espace vectoriel topologique X, contenant 0. On définit la fonctionnelle de Minkowski p, ou encore jauge du convexe » ;

[15] tc.

[2] Dans le cas d'une partie $S$ étoilée par rapport à $0$ , ceci équivaut à la définition par Schechter 1997 de sa « fonctionnelle de Minkowski » : $p_{S}(x)$ est la borne inférieure de l'intervalle $\{\lambda \in \left]0,+\infty \right]\mid \lambda ^{-1}x\in S\}$ , qui contient $+\infty$ .

[Schechter-6] Schechter 1997, Aliprantis et Border 2006.

[8] Nawfal El Hage Hassan, Topologie générale et espaces normés, Dunod, 2018 (1^re éd. 2011) (lire en ligne), p. 428.

[9] Cédric Villani, « Analyse II : cours donné à l'École normale supérieure de Lyon », 2003-2004, § I.2.

[10] Les résultats de cette section sont repris de Rockafellar 1970, Hiriart-Urruty et Lemaréchal 2004, Friedlander, Macêdo et Pong 2014 et Gilbert 2016.

[11] Cette propriété tient lieu de définition de $p^{\circ }$ dans Rockafellar 1970, p. 128.

[16] Rockafellar 1970, p. 130.