Gaz parfait relativiste

Le gaz parfait relativiste est un modèle de théorie cinétique des gaz qui considère un gaz composé de particules relativistes n'interagissant pas entre elles. Contrairement au gaz parfait « classique » qu'il généralise, il prend en compte les particules animées de vitesses proches de celle de la lumière.

Gaz non quantique

La fonction de partition du gaz parfait relativiste monoatomique (particules sans degrés de liberté internes comme la rotation ou vibration des particules) est :

Z={\frac {1}{N!}}\left\{4\pi V\left({\frac {mc}{h}}\right)^{3}\exp(u){\frac {K_{2}(u)}{u}}\right\}^{N}

,

où :

u={\frac {\,mc^{2}}{kT}}

,

K_{n}(x)={\frac {2^{n}x^{n}\Gamma (n+1/2)}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{+\infty }{\frac {\cos \zeta \,{\text{d}}\zeta }{(\zeta ^{2}+x^{2})^{n+1/2}}}

avec

Démonstration[2]

La fonction de partition dans l'ensemble canonique d'un gaz parfait relativiste à 1 particule est :

Z(T,V,1)={\frac {1}{h^{3}}}\int _{V}\int _{\mathbb {R} ^{3}}\exp -{\frac {E}{kT}}\,{\text{d}}^{3}q\,{\text{d}}^{3}p

où

E=mc^{2}\left\{{\sqrt {1+\left({\frac {p}{mc}}\right)^{2}}}-1\right\}

est l'énergie cinétique de la particule. En séparant les variables, on obtient

Z(T,V,1)={\frac {4\pi V}{h^{3}}}\exp u\int _{0}^{+\infty }\exp \left[-u{\sqrt {1+\left({\frac {p}{mc}}\right)^{2}}}\right]p^{2}\,{\text{d}}p

,

en posant $u=mc^{2}/kT$ . Le changement de variable

\zeta ={\sqrt {1+\left({\frac {p}{mc}}\right)^{2}}}

donne

Z(T,V,1)=4\pi V\left({\frac {mc}{h}}\right)^{3}\underbrace {\int _{1}^{+\infty }\zeta {\sqrt {\zeta ^{2}-1}}\exp(-u\zeta )} _{=I}\,{\text{d}}\zeta

.

Par parties[3]

I=\underbrace {{\frac {2}{3}}{\Big [}(\zeta ^{2}-1)^{3/2}\exp(-u\zeta ){\Big ]}_{1}^{+\infty }} _{=0}+{\frac {2}{3}}\underbrace {\int _{1}^{+\infty }\left(\zeta ^{2}-1\right)^{3/2}\exp(-u\zeta )\,{\text{d}}\zeta } _{={\frac {3}{2}}K_{2}(u)}

.

Le résultat se trouve en utilisant l'absence d'interaction entre particules :

Z(T,V,N)={\frac {Z(T,V,1)^{N}}{N!}}

*Variables thermodynamiques, dans l'approximation d'un grand nombre de particules.*
Variable	Expression générale	Limite classique	Limite ultra-relativiste
énergie interne U[4]	$Nmc^{2}\left[{\frac {K_{1}(u)}{K_{2}(u)}}+{\frac {3}{u}}-1\right]$	${\frac {3}{2}}NkT$	$3NkT\,$
énergie libre F[4]	$-NkT\left\{\log \left[{\frac {4\pi V}{N}}\left({\frac {mc}{h}}\right)^{3}{\frac {K_{2}(u)}{u}}\right]+1\right\}-Nmc^{2}$
enthalpie H	$Nmc^{2}\left[{\frac {K_{1}(u)}{K_{2}(u)}}+{\frac {4}{u}}-1\right]$	${\frac {5}{2}}NkT$	$4NkT\,$
enthalpie libre G	$-NkT\log \left[{\frac {4\pi V}{N}}\left({\frac {mc}{h}}\right)^{3}{\frac {K_{2}(u)}{u}}\right]-Nmc^{2}$
capacité calorifique C_V[4]	$Nku\left\{u+{\frac {3}{u}}-{\frac {K_{1}(u)}{K_{2}(u)}}\left[3+u{\frac {K_{1}(u)}{K_{2}(u)}}\right]\right\}$	${\frac {3}{2}}Nk$	$3Nk\,$
capacité calorifique C_P	$Nku\left\{u+{\frac {4}{u}}-{\frac {K_{1}(u)}{K_{2}(u)}}\left[3+u{\frac {K_{1}(u)}{K_{2}(u)}}\right]\right\}$	${\frac {5}{2}}Nk$	$4Nk\,$
potentiel chimique μ[4]	$-kT\log \left[{\frac {4\pi V}{N}}\left({\frac {mc}{h}}\right)^{3}{\frac {K_{2}(u)}{u}}\right]-mc^{2}$
entropie S[4]	$Nk\left\{\log \left[{\frac {4\pi V}{N}}\left({\frac {mc}{h}}\right)^{3}{\frac {K_{2}(u)}{u}}\right]+u{\frac {K_{3}(u)}{K_{2}(u)}}\right\}$
pression P[4]	${\frac {NkT}{V}}$	${\frac {NkT}{V}}$	${\frac {NkT}{V}}$

Walter Greiner, Ludwig Neise, Horst Stöcker, Hubert Curien, H. Aksas (trad. de l'allemand), Thermodynamique et mécanique statistique, Berlin/Heidelberg/Paris etc., Springer, 1999, 532 p. (ISBN 3-540-66166-2)

Greiner et al. (1999), p. 269-271
Les grandes lignes suivent Greiner et al. (1999), p. 269-271. L'intégration finale utilise un autre changement de variables.
(en) Le lien entre l'intégrale et la fonction de Bessel K_n est donné par « Modified Bessel Function of the Second Kind », sur MathWorld, Equation 7
Expressions générales données par Greiner et al. (1999), p. 271-273

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