Loi de composition interne

• un élément ${\displaystyle c\,}$ est dit carré si :   ${\displaystyle \exists \ x\in E,\ x*x=c\,}$

En sens inverse, tout élément x a un carré unique, noté habituellement « x² ».

Si la loi est notée additivement, le terme de double sera employé de préférence à celui de carré.

Exemple : dans ℤ, le double de 3 (pour l'addition) est 6, et son carré (pour la multiplication) est 9.

• un élément ${\displaystyle s\,}$ est dit idempotent (d'ordre 2) ou projecteur si :   ${\displaystyle s*s=s\,}$

En d’autres termes, cet élément est son propre carré.

Exemples :

• tout élément neutre d'une loi est idempotent pour cette loi ;
• dans tout ensemble numérique les contenant, 0 et 1 sont les seuls éléments idempotents pour la multiplication.

Un élément ${\displaystyle e}$ est dit :

• neutre à gauche si ${\displaystyle \forall x\in E\quad e*x=x}$ ;
• neutre à droite si ${\displaystyle \forall x\in E\quad x*e=x}$ ;
• neutre lorsqu’il est neutre à droite et à gauche.

Exemples

• Dans ℝ, l'élément neutre de l'addition est 0, et celui de la multiplication est 1.
• Dans l'ensemble des parties d'un ensemble X, l'ensemble vide est neutre pour l'union et l'ensemble X est neutre pour l'intersection.

Tout élément neutre à gauche ou à droite est idempotent.

S'il existe un élément neutre à gauche et un élément neutre à droite, alors la loi admet un unique élément neutre, et tout élément neutre à gauche ou à droite lui est égal.

Lorsqu'il existe un élément neutre ${\displaystyle e}$ :

• un élément ${\displaystyle s}$ est dit involutif si ${\displaystyle s*s=e}$.

  Le seul élément involutif et idempotent est l'élément neutre ;

• un élément ${\displaystyle a}$ est dit symétrique à gauche de l'élément ${\displaystyle b}$ si ${\displaystyle a*b=e}$. L'élément ${\displaystyle b}$ est alors symétrique à droite de l'élément ${\displaystyle a}$.

Un élément ${\displaystyle a}$ est dit :

• absorbant à gauche si : ${\displaystyle \forall x\in E\quad a*x=a}$ ;
• absorbant à droite si : ${\displaystyle \forall x\in E\quad x*a=a}$ ;
• absorbant s'il est absorbant à droite et à gauche.

Exemples

• Dans ℝ, 0 est absorbant pour la multiplication.
• Dans l'ensemble des parties d'un ensemble X, l'ensemble vide est absorbant pour l'intersection et l'ensemble X est absorbant pour l'union.

Tout élément absorbant à gauche ou à droite est idempotent.

S'il existe un élément absorbant à gauche et un élément absorbant à droite, alors la loi admet un unique élément absorbant, et tout élément absorbant à gauche ou à droite lui est égal.

Lorsque la loi admet un élément absorbant ${\displaystyle 0}$, un élément ${\displaystyle x}$ est dit nilpotent (d'ordre 2) si ${\displaystyle x*x=0}$.

Un élément ${\displaystyle c}$ est dit central si ${\displaystyle \forall x\in E\quad x*c=c*x}$.

Les éléments neutre et absorbant bilatères sont centraux.

On appelle centre de E, et on note Z(E), l’ensemble des éléments centraux de E.

Un élément ${\displaystyle s\in E}$ est dit

• régulier à gauche ou simplifiable à gauche si :

${\displaystyle \forall \ (x,y)\in E^{2}\ (s*x=s*y\Rightarrow x=y)}$ ;

• régulier à droite ou simplifiable à droite si :

${\displaystyle \forall \ (x,y)\in E^{2}\ (x*s=y*s\Rightarrow x=y)}$;

• régulier ou simplifiable lorsqu’il est régulier à droite et à gauche ;
• diviseur de zéro à gauche s'il existe un élément absorbant ${\displaystyle a}$ (évidemment unique), différent de ${\displaystyle s}$, et si :${\displaystyle \exists \ r\in E\ (r\neq a\wedge s*r=a)}$;
• diviseur de zéro à droite s'il existe un élément absorbant ${\displaystyle a}$, différent de ${\displaystyle s}$, et si : ${\displaystyle \exists \ r\in E\ (r\neq a\wedge r*s=a)}$.

Les diviseurs de zéro sont irréguliers. Les éléments nilpotents autres que l’élément absorbant sont des diviseurs de zéro.

Des paires d’éléments peuvent aussi présenter des propriétés particulières :

• deux éléments ${\displaystyle r\,}$et ${\displaystyle s\,}$seront dits permutables ou commutants si : ${\displaystyle r*s=s*r\,}$
• deux éléments permutables ${\displaystyle r\,}$et ${\displaystyle s\,}$seront dits symétriques ou inversibles si :
  • il existe un élément neutre ${\displaystyle e\,}$,
  • et : ${\displaystyle r*s=e}$;
• deux éléments permutables ${\displaystyle r\,}$et ${\displaystyle s\,}$seront dits diviseurs de zéro ou désintégrants si :
  • il existe un élément absorbant ${\displaystyle a\,}$,
  • et aucun des deux éléments n’est égal à ${\displaystyle a\,}$,
  • et : ${\displaystyle r*s=a}$;

Exemple : pour les entiers relatifs, 0 est neutre pour l’addition, absorbant pour la multiplication, et neutre à droite pour la soustraction.

Une loi est dite

• unifère à gauche s’il existe un élément neutre à gauche. Une loi peut présenter plusieurs éléments neutres à gauche, à condition qu’elle ne présente pas d’élément neutre à droite ;
• unifère à droite s’il existe un élément neutre à droite. Une loi peut présenter plusieurs éléments neutres à droite, à condition qu’elle ne présente pas d’élément neutre à gauche ;
• unifère (parfois unitaire) s’il existe un élément neutre (qui est alors unique).

• ${\displaystyle *\,}$ est dite régulière à gauche ou simplifiable à gauche si tous les éléments de E sont réguliers à gauche, c'est-à-dire si :

${\displaystyle \forall \ (x,y,z)\in E^{3},\ (x*y=x*z)\Rightarrow (y=z)\,}$

• ${\displaystyle *\,}$ est dite régulière à droite ou simplifiable à droite si tous les éléments de E sont réguliers à droite, c'est-à-dire si :

${\displaystyle \forall \ (x,y,z)\in E^{3},\ (y*x=z*x)\Rightarrow (y=z)\,}$

• ${\displaystyle *\,}$ est dite régulière ou simplifiable si tous les éléments de E sont réguliers, c’est-à-dire si :

${\displaystyle \forall \ (x,y,z)\in E^{3},\ [\ (x*y=x*z)\lor (y*x=z*x)\ ]\Rightarrow (y=z)\,}$

Une loi est régulière si et seulement si elle est régulière à gauche et régulière à droite.

Une loi ${\displaystyle *}$ est dite :

• associative si :

  ${\displaystyle \forall \left(x,y,z\right)\in E^{3}\quad x*(y*z)=(x*y)*z}$.

  L’associativité d’une loi permet de se passer des parenthèses quand on répète la loi ; la plupart des lois intéressantes sont associatives (exemples : l’addition, la multiplication, la composition des relations binaires…) ;

• alternative si :

  ${\displaystyle \forall \left(x,y\right)\in E^{2}\quad \left[x*(x*y)=(x*x)*y\quad {\text{et}}\quad (x*y)*y=x*(y*y)\right]}$.

  Cette propriété est moins forte que l'associativité ;

• associative des puissances si, lorsqu'un élément est composé par lui-même plusieurs fois, l'ordre dans lequel sont effectuées ces compositions n'influe pas sur le résultat (ce qui implique en particulier : ${\displaystyle x*(x*x)=(x*x)*x}$).

  Quand cette propriété est vérifiée, il est possible d’introduire la notion de puissance d’un élément (d’où le nom de la propriété) :

  • la puissance n-ième d’un élément x, notée habituellement xⁿ, est égale au résultat de la composition de x selon ${\displaystyle *}$, (n – 1) fois avec lui-même ; ainsi, x¹ = x, x² = x ${\displaystyle *}$ x, x³ = x ${\displaystyle *}$ x ${\displaystyle *}$ x, etc.
  • si de plus la loi ${\displaystyle *}$ présente un élément neutre e, on pose x⁰ = e
  • si en outre l'élément x est inversible (voir infra), on pose x^–n = (xⁿ)⁻¹.

Une loi ${\displaystyle *}$ est dite

• intègre si elle admet un élément absorbant et si aucun élément n’est diviseur de zéro ;
• commutative si ${\displaystyle \forall \ (x,y)\in E^{2}\quad x*y=y*x}$.

La liste de propriétés ci-dessus n’est pas exhaustive, loin de là. Toutefois, nous n'aborderons dans ce paragraphe qu’un seul autre cas : dans des structures algébriques comportant plusieurs lois, certaines de ces lois ont des propriétés relatives à d’autres lois. La plus importante de ces lois relatives est la distributivité.

• Une loi ${\displaystyle *}$ est distributive à gauche par rapport à une autre loi ${\displaystyle \bot }$ si : ${\displaystyle \forall \ (x,y,z)\in E^{3}\quad x*(y\bot z)=(x*y)\bot (x*z)\,}$
• Une loi ${\displaystyle *}$ est distributive à droite par rapport à une autre loi ${\displaystyle \bot }$ si : ${\displaystyle \forall \ (x,y,z)\in E^{3}\quad (x\bot y)*z=(x*z)\bot (y*z)\,}$
• Une loi ${\displaystyle *}$ est distributive par rapport à une autre loi ${\displaystyle \bot }$ si elle est à la fois distributive à droite et à gauche par rapport à ${\displaystyle \bot }$

Par exemple, la multiplication est distributive par rapport à l’addition.

Remarque : si de plus ${\displaystyle \bot }$ est régulière et unifère, alors son élément neutre est nécessairement absorbant pour la loi ${\displaystyle *}$. Cela explique entre autres pourquoi, dans un corps commutatif, l'élément neutre de la première loi n'a pas de symétrique par la deuxième loi.