Loi normale généralisée

La densité de probabilité des lois de cette famille est donnée par la formule :

${\displaystyle f(x)={\frac {\beta }{2\alpha \Gamma (1/\beta )}}\;e^{-\left({\frac {|x-\mu |}{\alpha }}\right)^{\beta }}}$

où ${\displaystyle \Gamma }$ est la fonction gamma, ${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }$ est un paramètre de position, ${\displaystyle \alpha \in ]0,\infty [}$ est un paramètre d'échelle et ${\displaystyle \beta \in ]0,\infty [}$ est un paramètre de forme.

Les lois de probabilité de cette famille sont également connues sous les termes loi de puissance exponentielle ou loi d'erreur généralisée. Ce sont des lois symétriques. La famille inclut les lois normale et de Laplace, et comme cas limites, elle contient la loi uniforme continue sur les intervalles.

• Lorsque ${\displaystyle \beta =2}$, la loi normale généralisée est la loi normale de moyenne ${\displaystyle \textstyle \mu }$ et de variance ${\displaystyle \textstyle {\frac {\alpha ^{2}}{2}}}$.
• Lorsque ${\displaystyle \textstyle \beta =1}$, la loi normale généralisée est la Loi de Laplace.
• Lorsque ${\displaystyle \textstyle \beta }$ tend vers l'infini, la densité converge (simplement) vers la densité de la loi uniforme continue sur ${\displaystyle \textstyle [\mu -\alpha ,\mu +\alpha ]}$.

Cette famille possède des lois dont la traîne (ou queue) est plus longue que celle de la loi normale, lorsque ${\displaystyle \beta <2}$. Elle possède également des lois dont la traîne est moins longue que celle de la loi normale, ${\displaystyle \beta >2}$.

Loi normale généralisée (version 2)
Densité de probabilité
Fonction de répartition
Paramètres	${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} }$ paramètre de position ${\displaystyle \alpha \in ]0,\infty [}$ paramètre d'échelle ${\displaystyle \kappa \in \mathbb {R} }$ paramètre de forme
Support	${\displaystyle x\in ]-\infty ,\xi +\alpha /\kappa [{\text{ si }}\kappa >0}$ ${\displaystyle x\in ]-\infty ,\infty [{\text{ si }}\kappa =0}$ ${\displaystyle x\in ]\xi +\alpha /\kappa$ ;+\infty [{\text{ si }}\kappa <0}
Densité de probabilité	${\displaystyle {\frac {\phi (y)}{\alpha -\kappa (x-\xi )}}}$, ou ${\displaystyle y={\begin{cases}-{\frac {1}{\kappa }}\log \left[1-{\frac {\kappa (x-\xi )}{\alpha }}\right]&{\text{si }}\kappa \neq 0\\{\frac {x-\xi }{\alpha }}&{\text{si }}\kappa =0\end{cases}}}$ ${\displaystyle \phi }$ est la densité de probabilité de la loi normale
Fonction de répartition	${\displaystyle \Phi (y)}$, où ${\displaystyle y={\begin{cases}-{\frac {1}{\kappa }}\log \left[1-{\frac {\kappa (x-\xi )}{\alpha }}\right]&{\text{si }}\kappa \neq 0\\{\frac {x-\xi }{\alpha }}&{\text{si }}\kappa =0\end{cases}}}$ ${\displaystyle \Phi }$ est la fonction de répartition de la loi normale
Espérance	${\displaystyle \xi -{\frac {\alpha }{\kappa }}\left(e^{\kappa ^{2}/2}-1\right)}$
Médiane	${\displaystyle \xi \,}$
Variance	${\displaystyle {\frac {\alpha ^{2}}{\kappa ^{2}}}e^{\kappa ^{2}}\left(e^{\kappa ^{2}}-1\right)}$
Asymétrie	${\displaystyle {\frac {3e^{\kappa ^{2}}-e^{3\kappa ^{2}}-2}{(e^{\kappa ^{2}}-1)^{3/2}}}{\text{ sign}}(\kappa )}$
Kurtosis normalisé	${\displaystyle e^{4\kappa ^{2}}+2e^{3\kappa ^{2}}+3e^{2\kappa ^{2}}-6}$

La densité de probabilité de la loi normale généralisée de version 2 est donnée par :

${\displaystyle {\frac {\phi (y)}{\alpha -\kappa (x-\xi )}}}$, où
${\displaystyle y={\begin{cases}-{\frac {1}{\kappa }}\log \left[1-{\frac {\kappa (x-\xi )}{\alpha }}\right]&{\text{si }}\kappa \neq 0\\{\frac {x-\xi }{\alpha }}&{\text{si }}\kappa =0\end{cases}}}$

où ${\displaystyle \phi }$ est la densité de probabilité de la loi normale.

C'est une famille de lois de probabilités à densité telle que le paramètre de forme ${\displaystyle \kappa \in \mathbb {R} }$ peut être utilisé pour introduire une asymétrie[8]^,[9].

• Lorsque ${\displaystyle \kappa =0}$, la loi normale généralisée est la loi normale. C'est la seule valeur de ce paramètre telle que le support de la loi est l'ensemble des réels tout entier.
• Lorsque ${\displaystyle \kappa >0}$, l'asymétrie est changée et la loi est renforcée sur la gauche et bornée sur la droite.
• Lorsque ${\displaystyle \kappa <0}$, l'asymétrie est changée et la loi est renforcée sur la droite et bornée sur la gauche.

Les deux généralisations de la loi normale décrites ici, ainsi que la Loi normale asymétrique sont des familles de lois qui étendent la loi normale en y ajoutant en paramètre de forme. Grâce au rôle central de la loi normale en théorie des probabilités et en statistique, beaucoup de lois peuvent être caractérisées par leur relation avec la loi normale. Par exemple, la loi log-normale, la loi normale repliée, ou la loi inverse-gaussienne sont définies comme des transformations de la loi normale standard. Cependant ces modifications ne contiennent pas la loi normale comme cas particulier, au contraire des lois normales généralisées et de la loi normale asymétrique.

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