Mesure de Carleson

Fenêtre de Carleson S(z)

On note :

• ${\displaystyle \mathbb {D} =\{z\in \mathbb {C} \mid |z|<1\}}$ le disque unité de ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ;
• ${\displaystyle \mathbb {T} =\{z\in \mathbb {C} \mid |z|=1\}=\partial \mathbb {D} }$ le cercle unité.

Pour ${\displaystyle z=r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }\in \mathbb {D} }$, on définit les ensembles ${\displaystyle S(z)\subset \mathbb {D} }$ et ${\displaystyle I(z)\subset \mathbb {T} }$ par

${\displaystyle S(z)=\lbrace \rho \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \gamma }\in \mathbb {D} \mid r\leq \rho <1,|\gamma -\theta |\leq 1-r\rbrace }$

${\displaystyle I(z)=\lbrace \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \gamma }\in \mathbb {D} \mid |\gamma -\theta |\leq 1-r\rbrace .}$

Soit ${\displaystyle \mu }$ une mesure positive sur ${\displaystyle \mathbb {D} }$. On dit que ${\displaystyle \mu }$ est une mesure de Carleson si ${\displaystyle \mu (S(z))=O(|I(z)|)}$ quand ${\displaystyle |z|\rightarrow 1}$, où ${\displaystyle |I(z)|}$ désigne la longueur d'arc de l'intervalle ${\displaystyle I(z)}$.

En d'autres termes, ${\displaystyle \mu }$ est une mesure de Carleson si elle satisfait la condition suivante :

${\displaystyle \exists C>0\quad \forall z\in \mathbb {D} \quad \mu (S(z))\leq C(1-|z|).}$

• On dit que ${\displaystyle \mu }$ est une mesure de Carleson évanescente si ${\displaystyle \mu (S(z))=o(|I(z)|)}$ quand ${\displaystyle |z|\rightarrow 1}$, c'est-à-dire :

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists \eta >0\quad \forall z\in \mathbb {D} \quad |z|\geq 1-\eta \Rightarrow \mu (S(z))\leq \varepsilon (1-|z|).}$

Soit ${\displaystyle p\in [1,+\infty [}$, soit ${\displaystyle H^{p}(\mathbb {D} )}$ l'espace de Hardy et ${\displaystyle \mu }$ une mesure positive sur ${\displaystyle \mathbb {D} }$. Alors ${\displaystyle \mu }$ est une mesure de Carleson si et seulement si l'opérateur de plongement ${\displaystyle i:{\begin{cases}H^{p}&\to &L^{p}(\mu )\\f&\mapsto &f\end{cases}}}$ est borné (ou encore : continu)[1], c'est-à-dire qu'il existe une constante ${\displaystyle C}$ telle que pour toute fonction ${\displaystyle f}$ polynomiale sur ${\displaystyle \mathbb {D} }$ on a l'inégalité suivante :

${\displaystyle \int _{\mathbb {D} }|f|^{p}d\mu \leq C\sup \limits _{r<1}\int _{0}^{2\pi }|f(r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t})|^{p}{\frac {\mathrm {d} t}{2\pi }}\cdot }$

Par densité des polynômes dans ${\displaystyle H^{p}}$, l'identité est donc vérifiée pour toute fonction ${\displaystyle f\in H^{p}}$.

L'opérateur d'inclusion ${\displaystyle i:H^{p}\rightarrow L^{p}(\mu )}$ est compact si et seulement si ${\displaystyle \mu }$ est une mesure de Carleson évanescente[2].

• Soit ${\displaystyle 1\leq p<q<+\infty }$ et ${\displaystyle \mu }$ une mesure positive sur ${\displaystyle \mathbb {D} }$. L'inclusion ${\displaystyle i_{\mu }:H^{p}\rightarrow L^{q}(\mu )}$ est bornée si et seulement si ${\displaystyle \mu }$ satisfait :${\displaystyle \exists C>0\quad \mu (S(z))\leq C|I(z)|^{\frac {q}{p}}.}$
• Soit ${\displaystyle \mu }$ une mesure positive sur ${\displaystyle {\overline {\mathbb {D} }}=\mathbb {D} \cup \mathbb {T} }$. Toute fonction ${\displaystyle f\in H^{p}}$ se prolonge en une fonction ${\displaystyle f^{\ast }(\xi )}$ définie pour presque tout ${\displaystyle \xi \in \mathbb {T} }$ par la formule :${\displaystyle f^{\ast }(\xi )=\lim \limits _{r\rightarrow 1}f(r\xi )}$Alors on peut définir ${\displaystyle \int _{\overline {\mathbb {D} }}|f|^{p}d\mu$ :=\max \left(\int _{\mathbb {D} }|f|^{p}d\mu _{\vert _{\mathbb {D} }},\int _{\mathbb {T} }|f^{\ast }(\xi )|^{p}d\mu _{\vert _{\mathbb {T} }}(\xi )\right).} Alors on a le théorème suivant :
  L'inclusion ${\displaystyle i_{\mu }:H^{p}\rightarrow L^{p}(\mu )}$ est bornée si et seulement si ${\displaystyle \mu _{\vert _{\mathbb {D} }}}$ est une mesure de Carleson sur ${\displaystyle \mathbb {D} }$ et ${\displaystyle \mu _{\vert _{\mathbb {T} }}}$ est absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue ${\displaystyle m}$ de ${\displaystyle \mathbb {T} }$, et sa densité ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mu _{\vert _{\mathbb {T} }}}{\mathrm {d} m}}}$ est essentiellement bornée[3].

• La mesure de Lebesque ${\displaystyle \mu ={\frac {\lambda }{2\pi }}}$ (${\displaystyle 1}$-dimensionnelle) du cercle unité ${\displaystyle \mathbb {T} }$ est une mesure de Carleson. Les généralisations du théorème de Carleson impliquent que l'inclusion ${\displaystyle i:H^{p}\rightarrow L^{p}(\mathbb {T} )}$ est un opérateur borné. D'autre part, on peut montrer que cette inclusion est une isométrie, non surjective.
• La mesure d'aire ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ du disque est une mesure de Carleson évanescente. En effet, elle satisfait :${\displaystyle {\mathcal {A}}(S(z))\leq \pi (1-|z|)^{2}=o(1-|z|)}$ quand ${\displaystyle |z|\rightarrow 1.}$On note ${\displaystyle A^{p}}$ l'espace de Bergman défini comme l'espace des fonctions holomorphes sur ${\displaystyle \mathbb {D} }$ telles que ${\displaystyle \int _{\mathbb {D} }|f(z)|^{p}d{\mathcal {A}}(z)<+\infty .}$
  En appliquant le théorème de compacité de Carleson on obtient que l'inclusion formelle ${\displaystyle i:H^{p}\rightarrow A^{p}}$ est un opérateur compact (donc borné).
• Si le support de ${\displaystyle \mu }$ est inclus dans un compact de ${\displaystyle \mathbb {D} }$, alors c'est une mesure de Carleson évanescente.