Mesure secondaire

Sous certaines hypothèses que nous préciserons plus loin, il est possible d'obtenir l'existence d'une telle mesure et même de l'exprimer :

Par exemple si on travaille dans l'espace de Hilbert ${\displaystyle L^{2}([0,1],\mathbb {R} ,\rho )}$

${\displaystyle \forall x\in [0,1],\;\mu \left(x\right)={\frac {\rho \left(x\right)}{{\frac {\varphi ^{2}\left(x\right)}{4}}+\pi ^{2}\rho ^{2}\left(x\right)}}}$

avec dans le cas général :

${\displaystyle \varphi \left(x\right)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}2\int _{0}^{1}{\frac {\left(x-t\right)\rho \left(t\right)}{\left(x-t\right)^{2}+\varepsilon ^{2}}}\mathrm {d} t.}$

Dans le cas où ρ est lipschitzienne :

${\displaystyle \varphi \left(x\right)=2\rho \left(x\right){\text{ln}}\left({\frac {x}{1-x}}\right)-2\int _{0}^{1}{\frac {\rho \left(t\right)-\rho \left(x\right)}{t-x}}\mathrm {d} t.}$

Cette application φ est dite « réductrice » de ρ.

Dans un cadre plus général, μ et ρ sont reliées via leurs transformées de Stieltjes par la formule suivante :

${\displaystyle S_{\mu }\left(z\right)=z-c_{1}-{\frac {1}{S_{\rho }\left(z\right)}}}$

où c₁ est le moment d'ordre 1 de la mesure ρ.

Ces mesures secondaires, et la théorie qui les entoure, conduisent à quelques résultats surprenants, et permettent de retrouver de façon élégante un bon nombre de formules classiques d'analyse, principalement autour des fonctions Γ d'Euler, ζ de Riemann, et de la constante d'Euler-Mascheroni. Elles permettent aussi l'explicitation d'intégrales et de séries a priori difficiles avec une efficacité redoutable. Enfin elles permettent de résoudre des équations intégrales de la forme :

${\displaystyle f\left(x\right)=\int _{0}^{1}{\frac {g\left(t\right)-g\left(x\right)}{t-x}}\rho \left(t\right)\mathrm {d} t}$

où g est la fonction inconnue, et conduisent à des théorèmes de convergence vers les mesures de Tchebychev et Dirac.

Soit un espace mesuré par une mesure de densité positive ρ sur un intervalle I et admettant des moments de tout ordre. On peut construire une famille ${\displaystyle (P_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ des polynômes orthogonaux pour la structure préhilbertienne induite par ρ. Soit ${\displaystyle (Q_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ la famille des polynômes secondaires de la famille P. Sous certaines conditions il existe une mesure μ pour laquelle la famille Q est orthogonale. Cette mesure, que l'on peut expliciter en fonction de ρ est appelée mesure secondaire associée à la mesure initiale ρ.

Lorsque ρ est une densité de probabilité, une condition suffisante pour que μ admettant des moments de tout ordre soit secondaire associée à ρ est que sa transformée de Stieltjes soit donnée par une égalité du type :

${\displaystyle S_{\mu }(z)=a\left(z-c_{1}-{\frac {1}{S_{\rho }(z)}}\right)}$

avec a constante arbitraire et c₁ désignant le moment d'ordre 1 de ρ.

Pour ${\displaystyle a=1}$ on obtient la mesure dite secondaire, remarquable au sens que pour ${\displaystyle n\geq 1}$ la norme du polynôme P_n pour ρ coïncide exactement avec la norme du polynôme secondaire associé Q_n au sens de la mesure μ. Dans ce cas primordial, et si l'espace engendré par les polynômes orthogonaux est dense dans ${\displaystyle L^{2}\left(I,\mathbb {R} ,\rho \right)}$, l'opérateur T_ρ défini par ${\displaystyle f(x)\mapsto \int _{I}{\frac {f(t)-f(x)}{t-x}}\rho (t){\rm {d}}t}$ créant les polynômes secondaires peut se prolonger en une application linéaire reliant l'espace ${\displaystyle L^{2}\left(I,\mathbb {R} ,\rho \right)}$ à ${\displaystyle L^{2}\left(I,\mathbb {R} ,\mu \right)}$ et devient une isométrie si on la restreint à l'hyperplan H_ρ des fonctions orthogonales à P₀ = 1.

Pour des fonctions quelconques de carré intégrables pour ρ, on obtient la formule plus générale de covariance :

${\displaystyle \langle f/g\rangle _{\rho }-\langle f/1\rangle _{\rho }\times \langle g/1\rangle _{\rho }=\langle T_{\rho }\left(f\right)/T_{\rho }\left(g\right)\rangle _{\mu }}$

La théorie se poursuit en introduisant la notion de mesure réductible, au sens que le quotient ρ/μ est élément de ${\displaystyle L^{2}\left(I,\mathbb {R} ,\mu \right)}$. On établit alors les résultats suivants :

• La réductrice φ de ρ est un antécédent de ρ/μ pour l'opérateur T_ρ. (En fait le seul antécédent élément de H_ρ).
• Pour toute fonction de carré intégrable pour ρ, on a la formule dite de réduction : ${\displaystyle \langle f/\varphi \rangle _{\rho }=\langle T_{\rho }(f)/1\rangle _{\rho }}$.

L'opérateur ${\displaystyle f\mapsto {\varphi \times f-T_{\rho }(f)}}$ défini sur les polynômes, se prolonge en une isométrie S_ρ reliant l'adhérence de l'espace de ces polynômes dans ${\displaystyle L^{2}\left(I,\mathbb {R} ,{\frac {\rho ^{2}}{\mu }}\right)}$ à l'hyperplan H_ρ muni de la norme induite par ρ. Sous certaines conditions restrictives l'opérateur S_ρ agît comme adjoint de T_ρ pour le produit scalaire induit par ρ.

Enfin, les deux opérateurs sont reliés aussi, sous réserve que les images en question soient définies, par la formule fondamentale de composition :

${\displaystyle T_{\rho }\circ S_{\rho }(f)={\frac {\rho }{\mu }}\times (f)}$

La mesure secondaire μ associée à une densité de probabilité ρ a son moment d'ordre 0 égal à ${\displaystyle d_{0}=c_{2}-(c_{1})^{2}}$ (c₁ et c₂ désignant les moments respectifs d'ordre 1 et 2 de ρ).

Pour pouvoir itérer le procédé on normalise alors μ en définissant ${\displaystyle \rho _{1}={\frac {\mu }{d_{0}}}}$ qui devient à son tour une densité de probabilité appelée naturellement mesure secondaire normalisée associée à ρ.

On peut alors définir de proche en proche à partir de ρ₀ = ρ la suite ${\displaystyle n\mapsto \rho _{n}}$,chaque terme étant la mesure secondaire normalisée du précédent.

Il est possible d'expliciter la densité ρ_n en utilisant les polynômes orthogonaux P_n pour ρ, les polynômes secondaires Q_n et la réductrice associée φ. Cela donne la formule :

${\displaystyle \rho _{n}\left(x\right)={\frac {1}{d_{0}^{n-1}}}{\frac {\rho (x)}{\left(P_{n-1}(x){\frac {\varphi (x)}{2}}-Q_{n-1}(x)\right)^{2}+\pi ^{2}\rho ^{2}(x)P_{n-1}^{2}(x)}}}$

Le coefficient ${\displaystyle d_{0}^{n-1}}$ s'obtient facilement à partir des coefficients dominants des polynômes P_n–1 et P_n. On peut également expliciter la réductrice ϕ_n${\displaystyle \varphi _{n}}$ associée à ρ, ainsi que les polynômes orthogonaux correspondant à ρ_n.

Un très beau résultat concerne l'évolution de ces densités lorsque l'indice tend vers l'infini et que le support des mesures est l'intervalle standard [0, 1].

Soit la relation de récurrence à trois termes : ${\displaystyle xP_{n}(x)=t_{n}P_{n+1}(x)+s_{n}P_{n}(x)+t_{n-1}P_{n-1}(x)}$.

Si ${\displaystyle \lim _{n\mapsto \infty }t_{n}={\frac {1}{4}}}$ et ${\displaystyle \lim _{n\mapsto \infty }s_{n}={\frac {1}{2}}}$, alors la suite ${\displaystyle n\mapsto \rho _{n}}$ converge complètement vers la densité de Tchebychev de deuxième forme ${\displaystyle \rho _{tch}(x)={\frac {8}{\pi }}{\sqrt {x(1-x)}}}$.

Ces conditions limites sont vérifiées par une très large classe de densités classiques.

${\displaystyle \forall p>1\qquad {\frac {1}{\ln(p)}}={\frac {1}{p-1}}+\int _{0}^{+\infty }{\frac {{\rm {d}}x}{(x+p)(\ln ^{2}(x)+\pi ^{2})}}.}$

${\displaystyle \gamma =\int _{0}^{+\infty }{\frac {\ln(1+{\frac {1}{x}}){\rm {d}}x}{\ln ^{2}(x)+\pi ^{2}}}}$ (avec γ constante d'Euler-Mascheroni).

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{2}}+\int _{0}^{+\infty }{\frac {{\overline {(x+1)\cos(\pi x)}}{\rm {d}}x}{x+1}}.}$

(la fonction ${\displaystyle x\mapsto {\overline {(x+1)\cos(\pi x)}}}$ désignant celle de période 2 coïncidant avec ${\displaystyle x\mapsto (x+1)\cos(\pi x)}$ sur [–1, 1[).

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{2}}+\sum _{k=1}^{n}{\frac {\beta _{2k}}{2k}}-{\frac {\beta _{2n}}{\zeta (2n)}}\int _{1}^{+\infty }{\frac {E(t)\cos(2\pi t){\rm {d}}t}{t^{2n+1}}}}$

(avec E fonction partie entière et β_2n nombre de Bernoulli d'ordre 2n).

${\displaystyle \beta _{k}={\frac {(-1)^{k}k!}{\pi }}\Im \left(\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{x}{\rm {d}}x}{(1+e^{x})(x-i\pi )^{k}}}\right).}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}\ln ^{2n}\left({\frac {x}{1-x}}\right){\rm {d}}x=(-1)^{n+1}2(2^{2n-1}-1)\beta _{2n}\pi ^{2n}.}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\cdots \int _{0}^{1}\left(\sum _{k=1}^{2n}{\frac {\ln(t_{k})}{\prod _{i\not =k}(t_{k}-t_{i})}}\right){\rm {d}}t_{1}{\rm {d}}t_{2}\cdots {\rm {d}}t_{2n}={\frac {(-1)^{n+1}(2\pi )^{2n}\beta _{2n}}{2}}.}$

${\displaystyle \qquad \int _{0}^{+\infty }{\frac {e^{-\alpha x}{\rm {d}}x}{\Gamma (x+1)}}=e^{e^{-\alpha }}-1+\int _{0}^{+\infty }{\frac {1-e^{-x}}{\left[(\ln(x)+\alpha )^{2}+\pi ^{2}\right]}}{\frac {{\rm {d}}x}{x}}}$ (pour tout réel α).

${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }\left({\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {1}{\binom {n-1}{k}}}\right)^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{9}}=\int _{0}^{+\infty }4[\mathrm {Ei} (1,-x)+i\pi ]^{2}e^{-3x}{\rm {d}}x}$ (Ei désigne ici la fonction exponentielle intégrale).

${\displaystyle {\frac {23}{15}}-\ln(2)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {1575}{2(n+1)(2n+1)(4n-3)(4n-1)(4n+1)(4n+5)(4n+7)(4n+9)}}}$

${\displaystyle K=\sum _{k=0}^{+\infty }{\frac {(-1)^{k}}{4^{k+1}}}\left({\frac {1}{(4k+3)^{2}}}+{\frac {2}{(4k+2)^{2}}}+{\frac {2}{(4k+1)^{2}}}\right)+{\frac {\pi \ln(2)}{8}}}$

${\displaystyle K={\frac {\pi \ln(2)}{8}}+\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {H_{2n+1}}{2n+1}}}$

(K désigne la constante de Catalan est définie comme ${\displaystyle \sum _{n=0}^{n=\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}}$ et ${\displaystyle H_{2n+1}=\sum _{k=1}^{k=2n+1}{\frac {1}{k}}}$ nombre harmonique d'ordre 2n + 1).

Si la mesure ρ est réductible de réductrice associée φ, on a l'égalité :

${\displaystyle \int _{I}\varphi ^{2}(x)\rho (x){\rm {d}}x={\frac {4\pi ^{2}}{3}}\int _{I}\rho ^{3}(x){\rm {d}}x.}$

Si la mesure ρ est réductible de mesure secondaire associée μ, alors si f est de carré intégrable pour μ, et si g est de carré intégrable pour ρ et orthogonale à P₀ = 1 on a l'équivalence :

${\displaystyle f(x)=\int _{I}{\frac {g(t)-g(x)}{t-x}}\rho (t){\rm {d}}t\Leftrightarrow g(x)=(x-c_{1})f(x)-T_{\mu }(f(x))={\frac {\varphi (x)\mu (x)}{\rho (x)}}f(x)-T_{\rho }\left({\frac {\mu (x)}{\rho (x)}}f(x)\right)}$

(c₁ désigne le moment d'ordre 1 de ρ et T_ρ l'opérateur ${\displaystyle g(x)\mapsto \int _{I}{\frac {g(t)-g(x)}{t-x}}\rho (t){\rm {d}}t}$).