Nombre hypercomplexe

Les nombres hypercomplexes sont obtenus en généralisant plus avant la construction des nombres complexes à partir des nombres réels par la construction de Cayley-Dickson.

Celle-ci permet d’étendre les nombres complexes en algèbres de dimension ${\displaystyle 2^{n}\,}$ (${\displaystyle n\in \{2,3,4,...\}\,}$). Les plus connues sont l'algèbre des quaternions (de dimension 4), celle des octonions (de dimension 8) et celle des sédénions (de dimension 16).

Augmenter la dimension introduit des complications algébriques : la multiplication des quaternions n’est plus commutative, la multiplication des octonions est, de plus, non associative et la norme sur les sédénions n'est pas multiplicative.

Dans la définition de Kantor et Solodovnikov, ces nombres correspondent aux bases anti-commutatives de type ${\displaystyle i_{m}^{2}=-1\,}$ (avec ${\displaystyle m\in \{1,...,2^{n}-1\}\,}$).

Puisque les quaternions et les octonions offrent une norme (multiplicative) similaire aux longueurs des espaces vectoriels euclidiens de dimensions quatre et huit respectivement, ils peuvent être associés à des points dans certains espaces euclidiens de dimensions plus élevées. Au-delà des octonions, par contre, cette analogie tombe puisque ces constructions ne sont plus normées.

On peut créer une infinité d’algèbres du même type en appliquant la construction de Cayley-Dickson à l’algèbre de rang inférieur. Quelques propriétés intéressantes sont à noter :

• à chaque rang, la dimension de l'algèbre est doublée ;
• à chaque rang, une propriété supplémentaire est perdue.

n	2n	nom	limite
0	1	réels	-
1	2	complexes	perte de la comparaison
2	4	quaternions	perte de la commutativité
3	8	octonions	perte de l'associativité
4	16	sédénions	perte de l'alternativité et de l'intégrité
n>4	${\displaystyle 2^{n}}$	${\displaystyle 2^{n}ions}$	mêmes propriétés que les sédénions

Après les octonions, les algèbres contiennent des diviseurs de zéro (x · y = 0 n'implique plus x = 0 ou y = 0), ce qui implique que leurs multiplications ne conservent plus les normes.

Les nombres duaux sont de bases ${\displaystyle \{1,\varepsilon \}\,}$ avec l'élément nilpotent ${\displaystyle \varepsilon ^{2}=0\,}$.

Les nombres complexes déployés sont de bases ${\displaystyle \{1,i\}\,}$ avec ${\displaystyle i^{2}=+1\,}$ une racine non réelle de 1. Ils contiennent les éléments idempotents ${\displaystyle {\frac {1}{2}}(1\pm i)\,}$ et des diviseurs de zéro ${\displaystyle (1+i)(1-i)=0\,}$.

Une construction de Cayley-Dickson modifiée conduit aux coquaternions (quaternions déployés, c’est-à-dire de bases ${\displaystyle \{1,i_{1},i_{2},i_{3}\}\,}$ avec ${\displaystyle i_{1}^{2}=i_{2}^{2}=+1\,}$, ${\displaystyle i_{3}^{2}=-1\,}$) et aux octonions déployés (c'est-à-dire de bases ${\displaystyle \{1,i_{1},...,i_{7}\}\,}$ avec ${\displaystyle i_{1}^{2}=i_{2}^{2}=i_{3}^{2}=-1\,}$, ${\displaystyle i_{4}^{2}=...=i_{7}^{2}=+1\,}$). Les coquaternions contiennent des éléments nilpotents et ont une multiplication non commutative. Les octonions déployés sont aussi non associatifs.

Toutes les bases non réelles d'algèbres complexes déployées sont anti-commutatives.

Une algèbre de Clifford est une algèbre unitaire, associative sur les espaces vectoriels réels, complexes ou quaternionique muni d'une forme quadratique. Alors que les constructions de Cayley-Dickson et complexes déployées avec huit ou plus de dimensions ne sont plus associatives pour la multiplication, les algèbres de Clifford conservent l’associativité pour toute dimensionnalité.

Tandis que pour les constructions de Cayley-Dickson, l’algèbre complexe déployée et l’algèbre de Clifford, toutes de bases non réelles sont anti-commutatives, l’utilisation d’une base imaginaire commutative conduit aux tessarines à quatre dimensions et aux biquaternions à huit dimensions.

Les tessarines offrent une multiplication commutative et associative, les biquaternions sont associatifs mais non commutatifs et les sédénions coniques sont non associatifs et non commutatifs. Ils contiennent tous des éléments idempotents et des diviseurs de zéro, sont tous non normés, mais offrent un module multiplicatif. Les biquaternions contiennent des éléments nilpotents.

Compte tenu de l’exception de leurs éléments idempotents, des diviseurs de zéro et des éléments nilpotents, l’arithmétique de ces nombres est close pour la multiplication, pour la division, pour l’exponentiation et pour les logarithmes (voir les quaternions coniques, qui sont isomorphes aux tessarines).

Les quaternions hyperboliques d’Alexander Macfarlane (en) ont une multiplication non associative et non commutative. Néanmoins, ils offrent une structure d’anneau plus riche que l’espace de Minkowski de la relativité restreinte. Toutes les bases sont des racines de 1, c’est-à-dire ${\displaystyle i_{n}^{2}=+1\,}$ pour ${\displaystyle n\in \{1,2,3\}\,}$.

Les nombres multicomplexes sont une algèbre à n dimensions commutative engendrée par un élément ${\displaystyle e\,}$ qui satisfait ${\displaystyle e^{n}=-1\,}$. Les nombres bicomplexes sont un cas particulier, ils sont isomorphes aux tessarines et sont aussi contenus dans la définition des « nombres hypercomplexes » par Kantor et Solodovnikov.

• nombre complexe déployé
• Quaternion
  • Tessarine
  • Coquaternion
  • Quaternion hyperbolique
• Octonion
  • Biquaternion
  • Octonion déployé
• Sédénion
• Une utilisation curieuse des hypercomplexes est la formation d'un Mandelbulb.

• Arithmétique et théorie des nombres