Plan de Mysior

Le plan de Mysior est un espace topologique construit en 1981 par le mathématicien polonais Adam Mysior[1] et vérifiant des propriétés de séparation particulières : c'est un espace régulier non complètement régulier, plus simple que les contre-exemples antérieurs[2].

Définition

L'ensemble sous-jacent à cet espace est le demi-plan supérieur auquel on ajoute un point P, choisi par exemple égal à (0, –1) :

On définit pour chaque point (x, y) de X une base de voisinages :

  • si y > 0, le singleton {(x, y)} est un voisinage de (x, y), c'est-à-dire que tous les points du demi-plan ouvert sont isolés ;
  • chaque voisinage de base d'un point (x, 0) de l'axe horizontal est constitué de ce point et de tous les points de Rx sauf un nombre fini, où Rx est la réunion de l'intervalle vertical Vx := {(x, t) | 0 ≤ t < 2} et de l'intervalle oblique Ox := {(x + t, t) | 0 ≤ t < 2} ;
  • les voisinages de base du point P sont les ensembles Un := {P} ∪ {(s, t) | s > n, t ≥ 0}, pour n = 1, 2, …

Ces bases de voisinages définissent une topologie τ sur X. L'espace topologique (X, τ) est appelé le plan de Mysior[3],[4].

Propriétés

Le point P est limite de toute suite (xn, yn) dans X telle que xn → +∞.

L'espace (X, τ) est séparé. Il est même régulier, car tout point possède une base de voisinages fermés : pour les points autres que P, les voisinages ci-dessus sont fermés et pour le point P, il suffit de remarquer que l'adhérence de Un + 2 est incluse dans Un (c'est la réunion de Un + 2 et de l'intervalle horizontal {(s, 0) | n < s ≤ n + 2}).

Il n'est pas complètement régulier car toute application continue f de X dans ℝ nulle sur le fermé {(s, 0) | s ≤ 1} est nulle en P.

Démonstration

Il suffit de montrer que pour tout entier n ≥ 1, l'ensemble Kn des points de la forme (x, 0) avec n – 1 ≤ x ≤ n en lesquels f s'annule est infini. Procédons par récurrence. L'initialisation est immédiate. Pour l'hérédité, soit C un ensemble infini dénombrable inclus dans Kn. Pour tout point (c, 0) de C, f s'annule sur tout l'intervalle oblique Oc privé d'un sous-ensemble au plus dénombrable Dc. La réunion de ces ensembles Dc est alors au plus dénombrable donc sa projection P sur l'axe horizontal y = 0 aussi, si bien que l'ensemble des points (x, 0) ∉ P tels que n ≤ x ≤ n + 1 est infini. On conclut en remarquant que cet ensemble est inclus dans Kn + 1, c'est-à-dire que f s'annule en chacun de ces (x, 0), puisqu'elle s'annule en une infinité de points de l'intervalle vertical Vx (chaque point d'intersection de Vx avec un Oc, quand (c, 0) parcourt C).

Notes et références
  1. (en) A. Mysior, « A regular space which is not completely regular », Proc. Amer. Math. Soc., vol. 81, no 4,‎ , p. 652-653 (lire en ligne).
  2. Cf. exemples 90, 91, 92 et 94 de Counterexamples in Topology : Tychonoff corkscrew, Deleted Tychonoff corkscrew, Hewitt's condensed corkscrew, Thomas's corkscrew.
  3. (de) Jürgen Heine, Topologie und Funktionalanalysis : Grundlagen der abstrakten Analysis mit Anwendungen, Oldenbourg, , 745 p. (ISBN 978-3-486-24914-9), Beispiel 2.5,4.
  4. (en) Jun-iti Nagata, Modern General Topology, Amsterdam/New York/New York, NY, U.S.A., Elsevier, , 3e éd., 522 p. (ISBN 978-0-444-87655-3), Example III.2.
(de) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en allemand intitulé « Mysior-Ebene » (voir la liste des auteurs).
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