Représentation de Heisenberg

Donnons nous un espace de Hilbert ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$, un état quantique normé ${\displaystyle |\psi \rangle \in {\mathcal {H}}}$, une observable quantique ${\displaystyle {\hat {A}}\in \mathrm {End} ({\mathcal {H}})}$ ainsi qu'un opérateur hamiltonien ${\displaystyle {\hat {H}}\in \mathrm {End} ({\mathcal {H}})}$. À l'opérateur ${\displaystyle {\hat {A}}}$ correspond une base de vecteurs propres orthonormés ${\displaystyle |a_{i}\rangle }$ de valeurs propres ${\displaystyle a_{i}}$ :

${\displaystyle {\hat {A}}|a_{i}\rangle =a_{i}|a_{i}\rangle }$

${\displaystyle \langle a_{i}|a_{j}\rangle =\delta _{ij}}$

Dans cette base, le vecteur d'état quantique ${\displaystyle |\psi \rangle }$ et l'opérateur quantique ${\displaystyle {\hat {A}}}$ se décomposent comme :

${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i}\psi (a_{i})|a_{i}\rangle }$

${\displaystyle {\hat {A}}=\sum _{i}a_{i}|a_{i}\rangle \langle a_{i}|}$

où ${\displaystyle \psi (a_{i}):=\langle a_{i}|\psi \rangle }$. La probabilité qu'un état propre ${\displaystyle \left|a_{i}\right\rangle }$ soit le résultat de la mesure par ${\displaystyle {\hat {A}}}$ d'un état quantique ${\displaystyle |\psi \rangle }$ est ${\displaystyle P(a_{i})=|\psi (a_{i})|^{2}}$.

Supposons maintenant que le système évolue dans le temps. Plus précisément, supposons que les ${\displaystyle \psi (a_{i})}$ évoluent dans le temps. L'équation ${\displaystyle \psi (a_{i})=\langle a_{i}|\psi \rangle }$ indique qu'il y a deux manières équivalentes de décrire l'évolution temporelle du système quantique. Soit on fait évoluer ${\displaystyle \langle a_{i}|}$ soit on fait évoluer ${\displaystyle |\psi \rangle }$. C'est-à-dire, soit on fait évoluer l'observable ${\displaystyle {\hat {A}}}$ (et donc sa base de vecteurs propres) soit on fait évoluer le vecteur d'état ${\displaystyle |\psi \rangle }$. Ces deux manières équivalentes de décrire l'évolution temporelle sont respectivement la représentation de Heisenberg et la représentation de Schrödinger.

Dans la représentation de Heisenberg :

• L'état ${\displaystyle |\psi \rangle }$ est constant dans le temps
• L'observable ${\displaystyle {\hat {A}}}$ évolue dans le temps selon l'équation de Heisenberg :

${\displaystyle {\frac {d{\hat {A}}}{dt}}={\frac {i}{\hbar }}\left[{\hat {H}},{\hat {A}}\right]+{\frac {\partial {\hat {A}}}{\partial t}}}$

Dans la représentation de Schrödinger :

• L'état ${\displaystyle |\psi \rangle }$ évolue dans le temps selon l'équation de Schrödinger :

${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}\vert \psi (t)\rangle ={\hat {H}}\vert \psi (t)\rangle }$

• L'observable ${\displaystyle {\hat {A}}}$ peut dépendre explicitement du temps (e.g. un champ magnétique externe dépendant du temps) mais une telle éventuelle dépendance au temps n'a rien à voir avec l'évolution temporelle dictée par l'hamiltonien.

Dénotons respectivement par ${\displaystyle \cdot _{H}}$ et ${\displaystyle \cdot _{S}}$ les représentations de Heisenberg et de Schrödinger. L'évolution temporelle du vecteur d'état quantique ${\displaystyle |\psi (t)\rangle _{S}}$ dans la représentation de Schrödinger est décrite par l'équation de Schrödinger :

${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}\vert \psi (t)\rangle _{S}={\hat {H}}_{S}(t)\vert \psi (t)\rangle _{S}}$

Ici, ${\displaystyle {\hat {H}}_{S}(t)}$ dénote l'opérateur hamiltonien possiblement non-autonome (i.e. admettant une possible dépendance explicite en temps) dans la représentation de Schrödinger. De manière équivalente, cette évolution temporelle peut s'écrire comme :

${\displaystyle |\psi (t)\rangle _{S}=U(t,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle _{S}}$

où ${\displaystyle U(t,t_{0})}$ est l'opérateur d'évolution temporelle unitaire correspondant à l'hamiltonien ${\displaystyle {\hat {H}}_{S}(t)}$. C'est-à-dire :

${\displaystyle {\hat {H}}_{S}(t)=i\hbar {\frac {dU(t,t_{0})}{dt}}\circ U(t,t_{0})^{-1}}$

Supposons qu'au temps ${\displaystyle t_{0}}$ le vecteur d'état des deux représentations concorde :

${\displaystyle |\psi \rangle _{H}=|\psi (t_{0})\rangle _{S}}$

L'espérance quantique au temps ${\displaystyle t}$ d'une observable quantique ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ne dépend pas de la représentation mathématique choisie. Ce faisant :

${\displaystyle \langle {\hat {A}}\rangle (t)=\langle \psi |_{H}{\hat {A}}_{H}(t)|\psi \rangle _{H}=\langle \psi (t)|_{S}{\hat {A}}_{S}(t)|\psi (t)\rangle _{S}}$

On en déduit que la relation entre l'observable ${\displaystyle {\hat {A}}_{H}(t)}$ et l'observable ${\displaystyle {\hat {A}}_{S}(t)}$ est :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {A}}_{H}(t)&=U(t,t_{0})^{\dagger }{\hat {A}}_{S}(t)U(t,t_{0})\\&=U(t,t_{0})^{-1}{\hat {A}}_{S}(t)U(t,t_{0})\end{aligned}}}$

Ensuite, un calcul direct montre que :

${\displaystyle {\frac {d{\hat {A}}_{H}(t)}{dt}}={\frac {i}{\hbar }}\left[{\hat {H}}_{H}(t),{\hat {A}}_{H}(t)\right]+\left({\frac {\partial {\hat {A}}_{S}(t)}{\partial t}}\right)_{H}}$

Remarque : Une autre manière équivalente utile d'écrire l'équation de Heisenberg est :

${\displaystyle {\frac {d{\hat {A}}_{H}(t)}{dt}}=\left({\frac {i}{\hbar }}\left[{\hat {H}}_{S}(t),{\hat {A}}_{S}(t)\right]+{\frac {\partial {\hat {A}}_{S}(t)}{\partial t}}\right)_{H}}$

Cette égalité découle du fait que ${\displaystyle [{\hat {H}}_{S}(t),{\hat {A}}_{S}(t)]_{H}=[{\hat {H}}_{H}(t),{\hat {A}}_{H}(t)]}$, i.e. les relations de commutations sont les mêmes dans la représentation de Heisenberg et celle de Schrödinger.

Cas particulier : Lorsque ${\displaystyle {\hat {H}}_{S}(t)}$ est indépendant du temps, on peut écrire plus simplement ${\displaystyle {\hat {H}}_{S}(t)={\hat {H}}_{S}}$. Dans ce cas, l'opérateur d'évolution unitaire temporel est simplement :

${\displaystyle U(t,t_{0})=e^{-i(t-t_{0}){\hat {H}}_{S}/\hbar }}$

Dans ce cas, ${\displaystyle U(t,t_{0})}$ commute avec ${\displaystyle {\hat {H}}_{S}}$ et donc ${\displaystyle {\hat {H}}_{S}={\hat {H}}_{H}}$. On écrit alors plus simplement ${\displaystyle {\hat {H}}_{S}={\hat {H}}_{H}={\hat {H}}}$. Ce faisant :

${\displaystyle U(t,t_{0})=e^{-i(t-t_{0}){\hat {H}}/\hbar }}$

Ainsi, on écrit plus simplement l'équation de Heisenberg comme :

${\displaystyle {\frac {d{\hat {A}}_{H}(t)}{dt}}={\frac {i}{\hbar }}\left[{\hat {H}},{\hat {A}}_{H}(t)\right]+\left({\frac {\partial {\hat {A}}_{S}(t)}{\partial t}}\right)_{H}}$

L'équation d'Heisenberg décrivant l'évolution temporelle d'une observable quantique est :

${\displaystyle {\frac {d{\hat {A}}}{dt}}={\frac {i}{\hbar }}\left[{\hat {H}},{\hat {A}}\right]+{\frac {\partial {\hat {A}}}{\partial t}}}$

L'équation d'Hamilton décrivant l'évolution temporelle d'une observable classique ${\displaystyle f}$ en mécanique classique est donné, dans la convention de signe du crochet de Poisson de Landau et Lifschitz [1], par :

${\displaystyle {\frac {df}{dt}}=\{H,f\}+{\frac {\partial f}{\partial t}}}$

En comparant ces deux équations, on obtient une correspondance entre le commutateur quantique d'observables quantiques ${\displaystyle {\hat {f}}_{1},{\hat {f}}_{2}}$ et le crochet de Poisson d'observables classiques ${\displaystyle f_{1},f_{2}}$ :

${\displaystyle {\frac {i}{\hbar }}\left[{\hat {f}}_{1},{\hat {f}}_{2}\right]={\widehat {\{f_{1},f_{2}\}}}}$

Cette relation, due à Dirac en 1925[2], joue un rôle primordial dans les méthodes de quantifications, par exemple en quantification géométrique initié par Jean-Marie Souriau ou encore en quantification par déformation de Maxime Kontsevitch[3]. Remarquons au passage que dans le papier original de Dirac en 1925 il utilisait une convention de signe opposée à celle de Landau et Lifschitz pour le crochet de Poisson de sorte qu'il avait plutôt ceci:

${\displaystyle {\frac {1}{i\hbar }}\left[{\hat {f}}_{1},{\hat {f}}_{2}\right]={\widehat {\{f_{1},f_{2}\}}}}$

Exemple 1 : (mécanique newtonnienne) Dans la représentation de Schrödinger, considérons l'opérateur impulsion ${\displaystyle {\hat {p}}_{S}}$ et l'opérateur position ${\displaystyle {\hat {q}}_{S}}$. Ces deux opérateurs ne dépendent pas explicitement du temps, i.e. ${\displaystyle \partial {\hat {p}}_{S}/\partial t=0}$ et ${\displaystyle \partial {\hat {q}}_{S}/\partial t=0}$. En se donnant un opérateur hamiltonien ${\displaystyle {\hat {H}}_{S}(t)}$, on obtient un opérateur d'évolution temporelle ${\displaystyle U(t,t_{0})}$. Les opérateurs impulsion et position sont donnés au temps ${\displaystyle t}$ dans la représentation d'Heisenberg comme :

${\displaystyle {\hat {p}}_{H}(t)=U(t,t_{0})^{-1}{\hat {p}}_{S}U(t,t_{0})}$

${\displaystyle {\hat {q}}_{H}(t)=U(t,t_{0})^{-1}{\hat {q}}_{S}U(t,t_{0})}$

L'évolution temporelle de ${\displaystyle {\hat {p}}_{H}(t)}$ et de ${\displaystyle {\hat {q}}_{H}(t)}$ est donc décrite par l'équation de Heisenberg :

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\hat {p}}_{H}(t)={\frac {i}{\hbar }}\left[{\hat {H}}_{H}(t),{\hat {p}}_{H}(t)\right]}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\hat {q}}_{H}(t)={\frac {i}{\hbar }}\left[{\hat {H}}_{H}(t),{\hat {q}}_{H}(t)\right]}$

Ces deux équations sont l'analogue quantique des équations d'Hamilton en mécanique classique :

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}p=\{H,p\}=-{\frac {\partial H}{\partial q}}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}q=\{H,q\}={\frac {\partial H}{\partial p}}}$

On peut pousser l'analogie encore plus loin avec la mécanique classique en définissant respectivement un opérateur de force ainsi qu'un opérateur de vitesse :

${\displaystyle {\hat {F}}_{H}(t):={\frac {d}{dt}}{\hat {p}}_{H}(t)={\frac {i}{\hbar }}\left[{\hat {H}}_{H}(t),{\hat {p}}_{H}(t)\right]}$

${\displaystyle {\hat {v}}_{H}(t):={\frac {d}{dt}}{\hat {q}}_{H}(t)={\frac {i}{\hbar }}\left[{\hat {H}}_{H}(t),{\hat {q}}_{H}(t)\right]}$

Considérons ${\displaystyle {\hat {q}}_{S}=q}$ et ${\displaystyle {\hat {p}}_{S}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial q}}}$ et l'opérateur hamiltonien usuel suivant :

${\displaystyle {\hat {H}}_{S}(t)={\hat {p}}_{S}^{2}/2m+V({\hat {q}}_{S},t)=-(\hbar ^{2}/2m)\Delta +V(q,t)}$

Les relations de commutations sont :

${\displaystyle [{\hat {q}}_{S},{\hat {p}}_{S}]=i\hbar }$

${\displaystyle [{\hat {H}}_{S},{\hat {q}}_{S}]=-i\hbar {\hat {p}}_{S}/m}$

${\displaystyle [{\hat {H}}_{S},{\hat {p}}_{S}]=i\hbar {\frac {\partial V}{\partial q}}({\hat {q}}_{S},t)}$

on obtient l'analogue quantique de la mécanique newtonnienne classique :

${\displaystyle {\hat {F}}_{H}(t)=-{\frac {\partial V}{\partial q}}({\hat {q}}_{H}(t),t)}$

${\displaystyle {\hat {v}}_{H}(t)={\hat {p}}_{H}(t)/m}$

Exemple 2 : (oscillateur harmonique) Considérons l'hamiltonien décrivant un oscillateur harmonique quantique dans la représentation de Schrödinger :

${\displaystyle {\hat {H}}_{S}={\hat {p}}_{S}^{2}/2m+(m\omega ^{2}/2){\hat {q}}_{S}^{2}}$

Ici, il est question d'un cas particulier de l'exemple 1 où ${\displaystyle V(q)=(m\omega ^{2}/2)q^{2}}$. Il suit que :

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\hat {p}}_{H}(t)={\hat {F}}_{H}(t)=-{\frac {\partial V}{\partial q}}({\hat {q}}_{H}(t),t)=-m\omega ^{2}{\hat {q}}_{H}(t)}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\hat {q}}_{H}(t)={\hat {v}}_{H}(t)={\hat {p}}_{H}(t)/m}$

Pour alléger la notation, écrivons plus simplement ${\displaystyle p(t)={\hat {p}}_{H}(t)}$ et ${\displaystyle q(t)={\hat {q}}_{H}(t)}$ de sorte qu'on se retrouve avec un oscillateur harmonique classique :

${\displaystyle {\dot {p}}(t)=-m\omega ^{2}q(t)}$

${\displaystyle {\dot {q}}(t)=p(t)/m}$

La solution de cette équation différentielle ordinaire est donnée par :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}p(t)/m\omega \\q(t)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos(\omega (t-t_{0}))&-\sin(\omega (t-t_{0}))\\\sin(\omega (t-t_{0}))&\cos(\omega (t-t_{0}))\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p(t_{0})/m\omega \\q(t_{0})\\\end{bmatrix}}}$

C'est ainsi que les opérateurs ${\displaystyle p(t)}$ et ${\displaystyle q(t)}$ tournent de manière déterministe sous l'influence de ${\displaystyle {\hat {H}}}$ en l'espace des endomorphismes ${\displaystyle \mathrm {End} ({\mathcal {H}})}$. Si le système quantique est dans un état ${\displaystyle |\psi \rangle \in {\mathcal {H}}}$ donné, alors les espérances quantiques ${\displaystyle \langle p(t)\rangle _{\psi }={\frac {\langle \psi |p(t)|\psi \rangle }{\langle \psi |\psi \rangle }}}$ et ${\displaystyle \langle q(t)\rangle _{\psi }={\frac {\langle \psi |q(t)|\psi \rangle }{\langle \psi |\psi \rangle }}}$ tournent aussi dans le temps :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\langle p(t)\rangle _{\psi }/m\omega \\\langle q(t)\rangle _{\psi }\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos(\omega (t-t_{0}))&-\sin(\omega (t-t_{0}))\\\sin(\omega (t-t_{0}))&\cos(\omega (t-t_{0}))\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\langle p(t_{0})\rangle _{\psi }/m\omega \\\langle q(t_{0})\rangle _{\psi }\\\end{bmatrix}}}$

Exemple 3 : (zitterbewegung) En considérant l'opérateur hamiltonien de l'équation de Dirac :

${\displaystyle {\hat {H}}=mc^{2}\alpha _{0}+c\sum _{j=1}^{3}\alpha _{j}{\hat {p}}_{j}}$

on trouve le fameux zitterbewegung découvert par Schrödinger en 1930. Les relations de commutations sont :

${\displaystyle [{\hat {q}}_{j},{\hat {p}}_{k}]=i\hbar \delta _{jk}}$

${\displaystyle [{\hat {H}},{\hat {p}}_{j}]=0}$

${\displaystyle [{\hat {H}},{\hat {q}}_{j}]=-i\hbar c\alpha _{j}}$

En utilisant l'équation de Heisenberg, les opérateurs impulsion ${\displaystyle p_{j}(t):=({\hat {p}}_{j})_{H}}$, position ${\displaystyle q_{j}(t):=({\hat {q}}_{j})_{H}}$ et l'hamiltonien ${\displaystyle H(t)={\hat {H}}_{H}(t)}$ dans la représentation de Heisenberg évoluent comme :

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}p_{j}(t)={\frac {i}{\hbar }}[{\hat {H}},{\hat {p}}_{j}]_{H}=0}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}q_{j}(t)={\frac {i}{\hbar }}[{\hat {H}},{\hat {q}}_{j}]_{H}=(c\alpha _{j})_{H}=c\alpha _{j}(t)}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}H(t)=0}$

où :

${\displaystyle \alpha _{j}(t):=(\alpha _{j})_{H}=U(t,t_{0})^{-1}\alpha _{j}U(t,t_{0})=e^{i(t-t_{0}){\hat {H}}/\hbar }\alpha _{j}e^{-i(t-t_{0}){\hat {H}}/\hbar }}$

${\displaystyle \alpha _{j}(t)=\alpha _{j}}$

La dérivée temporelle de ${\displaystyle \alpha _{j}(t)}$ est donnée par l'équation de Heisenberg :

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\alpha _{j}(t)={\frac {i}{\hbar }}[{\hat {H}},\alpha _{j}]_{H}={\frac {2i}{\hbar }}(cp_{j}(t)-\alpha _{j}(t)H(t))}$

Puisque ${\displaystyle p_{j}=p_{j}(t)}$ et ${\displaystyle H=H(t)}$ sont constants, on a :

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\alpha _{j}(t)={\frac {2i}{\hbar }}(cp_{j}-\alpha _{j}(t)H)}$

En intégrant ${\displaystyle \alpha _{j}(t)}$ on trouve :

${\displaystyle \alpha _{j}(t)=cp_{j}H^{-1}+\left(\alpha _{j}-cp_{j}H^{-1}\right)e^{-2i(t-t_{0})H/\hbar }}$

où ${\displaystyle \alpha _{j}=\alpha _{j}(t_{0})}$. L'opérateur vitesse devient donc :

${\displaystyle v_{j}(t)={\frac {d}{dt}}q_{j}(t)=c\alpha _{j}(t)=c^{2}p_{j}H^{-1}+c\left(\alpha _{j}-cp_{j}H^{-1}\right)e^{-2i(t-t_{0})H/\hbar }}$

En intégrant ${\displaystyle v_{j}(t)}$ on trouve :

${\displaystyle q_{j}(t)=q_{j}(t_{0})+(t-t_{0})c^{2}p_{j}H^{-1}+{\frac {i\hbar c}{2}}\left(\alpha _{j}-cp_{j}H^{-1}\right)H^{-1}\left(e^{-2i(t-t_{0})H/\hbar }-1\right)}$

Pour un hamiltonien ${\displaystyle {\hat {H}}}$ qui ne dépend pas explicitement du temps, on a :

Représentation :

	Heisenberg	Interaction	Schrödinger
Ket	constant	${\displaystyle |\Psi (t)\rangle _{I}=U_{0}^{-1}|\Psi (t)\rangle _{S}}$	${\displaystyle |\Psi (t)\rangle _{S}=U|\Psi (t_{0})\rangle _{S}}$
Observable	${\displaystyle A_{H}(t)=U^{-1}A_{S}U}$	${\displaystyle A_{I}(t)=U_{0}^{-1}A_{S}U_{0}}$	constant
Opérateur d'évolution	${\displaystyle {\hat {H}}={\hat {H}}_{0}+{\hat {V}}(t)}$	${\displaystyle U(t,t_{0})=e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}(t-t_{0})}}$ ${\displaystyle U_{0}(t,t_{0})=e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}_{0}(t-t_{0})}}$
Mécanique quantique : Théorème d'Ehrenfest Équation de Schrödinger Propagateur

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