Théorème des suites adjacentes

Deux suites réelles (a_n) et (b_n) sont dites adjacentes si l'une des suites est croissante (au sens large), l'autre suite décroissante (au sens large) et si la différence des deux converge vers 0.

On supposera par la suite que (a_n) est croissante et (b_n) est décroissante.

Remarque

On a alors[1] : pour tous entiers p et q, a_p ≤ b_q ; en particulier, pour tout entier n, a_n ≤ b_n.

Ce théorème se déduit[1] du fait que dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$, toute suite croissante majorée converge, lui-même conséquence de la propriété de la borne supérieure : tout ensemble de réels non vide et majoré possède une borne supérieure. Ce théorème n'est donc pas valable si l'on travaille dans l'ensemble des rationnels et que l'on cherche une limite rationnelle.

On démontre même que cette propriété est équivalente à celle de la borne supérieure (voir l'article Construction des nombres réels). Elle offre l'avantage, par rapport à la propriété des suites croissantes majorées, de faire plus que prouver la convergence d'une suite. Elle en donne un encadrement aussi fin qu'on le souhaite.

On rencontre le théorème des suites adjacentes dans tous les problèmes utilisant la méthode de dichotomie, dans le développement décimal d'un réel, dans l'écriture en fraction continue ainsi que dans de nombreux problèmes de quadrature (quadrature du cercle, de la parabole).

Deux suites (a_n) et (b_n) sont adjacentes si et seulement si la suite (u_n) définie par u_2k = b_k – a_k et u_2k+1 = b_k+1 – a_k est de signe constant, de valeur absolue décroissante et de limite nulle, autrement dit si la série de terme général (–1)ⁿu_n vérifie le critère de convergence des séries alternées. Le théorème de Leibniz énonçant la convergence de ce type particulier de série alternée est donc équivalent au théorème des suites adjacentes.

Théorème des segments emboîtés

• Portail de l'analyse