Système de numération

Ces systèmes utilisent des chiffres pour représenter les puissances de la base, et éventuellement des sous-multiples de ces puissances. Les autres nombres s'obtiennent par juxtaposition de ces symboles. Le lecteur a alors la charge d'additionner les valeurs des symboles pour connaitre le nombre. C'est le cas des systèmes de numération égyptien, grec, romain, gotique, ou plus simplement du système unaire ou de la numération forestière.

Il existe également des systèmes à la fois additifs et soustractifs. Ainsi, la numération romaine, additive, connait une variante additive et soustractive plus tardive.

Ces systèmes utilisent des chiffres pour les unités et pour les puissances de la base. Les chiffres représentant une puissance de la base utilisés sont, au besoin, combinés avec un chiffre représentant une unité, et les nombres sont ainsi représentés par addition de multiples de puissances de la base. C'est le cas des systèmes de numération chinois et japonais. On peut remarquer qu'un tel système de notation comporte une forte analogie avec le système d'énonciation des nombres dans une majorité de langues. (Par exemple, en français, le nombre deux-mille-huit-cent-dix-sept, est aussi formé par addition de multiples de puissances de la base 10 : 2×10³+8×10²+1×10¹+7.)

Ces systèmes utilisent des chiffres, dont la place dans l'écriture du nombre indique le poids qui leur est affecté (poids n⁰=1, poids n¹=n, poids n², … pour une base n). C'est le cas des systèmes de numération maya et babylonien, ainsi que les systèmes de numération indien et arabe à l'origine des mathématiques modernes. Ces dernières permettent désormais d'écrire les nombres simplement quelle qu'en soit la base, à l'aide du zéro positionnel.

Dans un tel système, une base β nécessite β chiffres pour représenter tous les entiers. Typiquement, la valeur de ces chiffres va de 0 à β-1 ; mais il existe aussi des types de représentations non standard :

• des systèmes k-adiques, sans 0, utilisant, pour une base β, des chiffres de 1 à β (ce sont des systèmes bijectifs) ;
• des systèmes balancés utilisant, pour une base β impaire, des chiffres de -(β-1)/2 à (β-1)/2 ;
• des systèmes redondants, utilisant pour une base β un nombre de chiffres strictement supérieur à β.

Certains systèmes sont incomplets, car ils ne permettent pas de représenter tous les nombres. C'est le cas, par exemple, des systèmes de base β utilisant un nombre de chiffres strictement inférieur à β.

Plusieurs systèmes connaissent des applications en électronique et en informatique. Ces systèmes ont la particularité de représenter les nombres sur un nombre défini de positions, et ne peuvent donc représenter les entiers que jusqu’à une certaine borne. Par exemple,

• en binaire : système négabinaire ;
• en ternaire : système ternaire balancé ;
• en base β : système d'Avizienis.

Il existe aussi des systèmes alternatifs de représentations des nombres, soit dérivés du système positionnel, soit indépendant du concept de base tel qu'il a été défini plus haut. En voici quelques exemples,

• en mathématiques (voir la section suivante correspondante) : le développement en fraction continue, le développement en série de Engel, le développement de Hensel, le système modulaire de représentation ;
• en électronique et en informatique : le binaire réfléchi (ou code de Gray), le complément à un, le complément à deux, le décimal codé binaire.

• Un système de numération est[8] un triplet (X, I, ϕ), où X est l'ensemble à énumérer, I est un ensemble fini ou dénombrable de chiffres et ϕ est une application injective dans les suites de chiffres ${\displaystyle \Phi :X\hookrightarrow I^{\mathbb {N} }}$, ${\displaystyle x\mapsto (\epsilon _{n}(x))_{n\geq 1}}$.
  En notation décimale, X est l'ensemble des entiers naturels, ${\displaystyle I=\{0,\,1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7,\,8,\,9\}}$ est l'ensemble des chiffres décimaux et la suite associée à un nombre entier est la suite de ses chiffres décimaux.
  L’application ϕ est appelée application de représentation, et ϕ(x) est la représentation de x∈X.
  Les suites admissibles sont définies comme les représentations images ϕ(x), pour x∈X.
• Georg Cantor[9] définit un système de numération comme la donnée d'une suite d'entiers naturels a_n rangés par ordre croissant (dans le cas du système décimal : a_n = 10ⁿ) et pour chacun, d'une valeur maximum m_n du coefficient par lequel on s'autorise à le multiplier (dans le cas du système décimal : m_n = 9). Il appelle représentation d'un entier naturel N toute suite finie de coefficients c_k, chaque c_k étant un entier naturel au plus égal à m_k, telle que la somme des c_ka_k soit égale à N. Il démontre qu'un tel système est « simple », c'est-à-dire représente chaque entier N de façon unique, si et seulement si a₀ = 1 et pour tout n, a_n+1 = (1 + m_n)a_n, puis étend dans ce cas les représentations d'entiers en des représentations de réels (positifs), en leur ajoutant des séries infinies de la forme${\displaystyle \sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {d_{k}}{a_{k}}},\quad d_{k}\in \{0,1,\ldots ,m_{k-1}\}.}$
• Aviezri S. Fraenkel[10] donne une définition générale de système de numération et décrit des cas d'unicité et de complétude : un système de numération est complet s'il permet de représenter tous les entiers.
• L'étude systématique a été reprise dans le cadre des langages formels et la combinatoire par Michel Rigo[8].
• Le problème de la propagation du report[11] a été étudié part Valérie Berthé, Christiane Frougny, Michel Rigo et Jacques Sakarovitch.

• La représentation q-adique, ou écriture en base q: tout entier naturel s'écrit de manière unique comme ${\displaystyle n=\sum _{i=0}^{N}\epsilon _{i}(n)q^{i}}$, avec les chiffres ${\displaystyle 0\leq \epsilon _{i}(n)<q}$ et ${\displaystyle \epsilon _{N}(n)\not =0}$ où ${\displaystyle N=\left\lfloor {\frac {\log(n)}{\log(q)}}\right\rfloor +1}$ est le nombre de chiffres de n en base q. De même, tout réel peut s'écrire, de manière unique si son développement est propre (pas de suite infinie de q-1 comme 0,999...=1), comme ${\displaystyle n=\sum _{i=-\infty }^{N}\epsilon _{i}(n)q^{i}}$.
• La représentation de Zeckendorf : les nombres de Fibonacci ${\displaystyle F_{0}=1}$, ${\displaystyle F_{1}=2}$, ${\displaystyle F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}}$ permettent d'écrire tout entier naturel de manière unique comme ${\displaystyle n=\sum _{i=0}^{N}\epsilon _{i}(n)F_{i}}$, avec les chiffres ${\displaystyle \epsilon _{i}(n)\in \{0,1\}}$ et ${\displaystyle \epsilon _{N}(n)\not =0}$.
• La représentation en fractions continues : tout nombre réel peut s'écrire (de manière unique si le développement est propre) ${\displaystyle x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\frac {1}{a_{3}+\dots }}}}}}}$ avec ${\displaystyle a_{0}\in \mathbb {Z} }$ et ${\displaystyle a_{k}\in \mathbb {N} ^{*}}$ pour k>0.
• Les systèmes de numération en base non entière[12] : la base d'or en est un exemple.
• La décomposition en nombres premiers est un système de numération, notamment utilisé par les calculateurs quantiques[13], ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ^{*},\exists$ !(\alpha _{p})_{p\in {\mathcal {P}}}\in \mathbb {N} ^{({\mathcal {P}})}:n=\prod _{p\in {\mathcal {P}}}p^{\alpha _{p}}} .

• Le système modulaire de représentation (RNS) permet, à l'aide d'une base ${\displaystyle \{m_{1},m_{2},\ldots ,m_{n}\}}$ de modules mutuellement premiers entre eux, d'énumérer tous les nombres entiers ${\displaystyle 0\leq x<M}$ jusqu'à ${\displaystyle M=\prod _{i=1}^{n}m_{i}}$ par leur suite de restes ${\displaystyle (x{\pmod {m_{i}}})_{1\leq i\leq n}}$ en utilisant le théorème des restes chinois.
• La numération factorielle (en)[14], dans laquelle une suite finie d'entiers ${\displaystyle (x_{n},\ldots ,x_{1})}$ avec ${\displaystyle 0\leq x_{k}\leq k}$ représente l'entier ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}x_{k}.k!}$.

Les chiffres proviennent d'une transformation non injective ${\displaystyle T:X\to X}$

• En représentation q-adique, le "chiffre des unités" est donné par ${\displaystyle \epsilon (n)=n\,({\text{mod}}\,q)}$ et la suite des chiffres par ${\displaystyle \epsilon _{k}(n)=\epsilon (T^{k}(n))}$ où T est l'application ${\displaystyle T(n)=({n-\epsilon (n)})/q}$.
• La suite des chiffres de la représentation en fractions continues provient de ${\displaystyle \epsilon (x)=\lfloor 1/x\rfloor }$ et l'application de Gauss ${\displaystyle T(x)=1/x-\epsilon (x)}$.

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• NOMBRES: curiosités, théorie et usages sur le site de Gérard Villemin (bases de numération)
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• Convertisseuse de base sur le site de l'université Nice-Sophia-Antipolis
• Logiciel pour découvrir des systèmes de numération sur le site de Michel Ramus

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