Champ tensoriel

Sur un ouvert U de l'espace euclidien ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$, un champ tensoriel de type (p,q) est une application de U dans l'espace vectoriel des tenseurs de ce type, supposée suffisamment régulière (on demande en général ${\displaystyle {\cal {C}}^{\infty }}$). On peut aussi le voir comme un tenseur dont les composantes sont des fonctions de la position dans le domaine U. Les opérations usuelles telles que produit tensoriel ou contraction peuvent être étendues puisque tout calcul se fait composante par composante dans la base de référence.

Un changement de bases global se fait à l'aide de la matrice de passage A et de son inverse (en fonction de la variance ou de la contravariance), exactement comme pour les tenseurs ordinaires :

${\displaystyle {(T')^{k_{1},\dots k_{p}}}_{\ell _{1}\dots \ell _{q}}(x)=\left(A^{-1}\right)_{i_{1}}^{k_{1}}\cdots \left(A^{-1}\right)_{i_{p}}^{k_{p}}\,\,{T^{i_{1},\ldots ,i_{p}}}_{j_{1},\ldots ,j_{q}}(x)\,\,A_{\ell _{1}}^{j_{1}}\cdots A_{\ell _{q}}^{j_{q}}\qquad A=P_{B\rightarrow B'}.}$

Plus généralement, un changement de système de coordonnées (curvilignes) y=f(x) donne une formule analogue en prenant pour ${\displaystyle A^{-1}}$ la matrice jacobienne de l'application f

${\displaystyle {(T')^{k_{1},\dots k_{p}}}_{\ell _{1}\dots \ell _{q}}(f(x))={(T')^{k_{1},\dots k_{p}}}_{\ell _{1}\dots \ell _{q}}(y)={\frac {\partial y_{k_{1}}}{\partial x_{i_{1}}}}(x)\cdots {\frac {\partial y_{k_{p}}}{\partial x_{i_{p}}}}(x)\,\,{T^{i_{1},\ldots ,i_{p}}}_{j_{1},\ldots ,j_{q}}(x)\,\,{\frac {\partial x_{j_{1}}}{\partial y_{\ell _{1}}}}(y)\cdots {\frac {\partial x_{j_{q}}}{\partial y_{\ell _{q}}}}(y).}$

Formule qui jouera un rôle central pour passer au cadre des variétés et dans laquelle on note que seules les valeurs du tenseur et des dérivées des applications de coordonnées au point courant interviennent.

Il existe plusieurs approches pour définir un champ de tenseurs. Une approche souvent utilisée en mathématiques, consiste à définir l'ensemble de tous les tenseurs à partir de celui des vecteurs et « covecteurs » par les opérations de l'algèbre multilinéaire. Formellement cela conduit à construire, à partir des fibrés tangent et cotangent les différents produits tensoriels ou l'algèbre extérieure qui forment eux-mêmes des fibrés. Les différents champs de tenseurs apparaissent alors comme des sections de ces fibrés : un tenseur d'ordre (p,q) est une section (sous-entendu ${\displaystyle {\cal {C}}^{\infty }}$) du produit tensoriel de p copies du fibré tangent et de q copies du fibré cotangent[1] :

${\displaystyle \bigotimes ^{q}T^{\ast }M\otimes \bigotimes ^{p}TM}$

On peut également définir un champ de tenseurs individuel T en en donnant des descriptions en composantes dans des cartes locales. Concrètement, sur un ouvert de carte ${\displaystyle U\subset {\mathbb {R} }^{n}}$, le tenseur se développe à l'aide des vecteurs et 1-formes de base[1]

${\displaystyle T|_{U}(x)={T_{j_{1},\dots ,j_{q}}}^{i_{1},\dots ,i_{p}}(x)\,\,{\frac {\partial }{\partial x^{i_{1}}}}\otimes \dots \otimes {\frac {\partial }{\partial x^{i_{p}}}}\otimes {\mathrm {d} }x^{j_{q}}\otimes \dots \otimes {\mathrm {d} }x^{j_{1}}.}$

Pour garantir le caractère intrinsèque de la définition, il faut s'assurer du type de transformation subie par les fonctions composantes lors des changements de cartes, qui doit être compatible avec les degrés d'invariance et contravariance. On retrouve la formule faisant apparaître les dérivées partielles de l'application de changement de cartes f (on sous-entend les points d'application ici)

${\displaystyle {(T')^{k_{1},\dots k_{p}}}_{\ell _{1}\dots \ell _{q}}={\frac {\partial y_{k_{1}}}{\partial x_{i_{1}}}}\cdots {\frac {\partial y_{k_{p}}}{\partial x_{i_{p}}}}\,\,{T^{i_{1},\ldots ,i_{p}}}_{j_{1},\ldots ,j_{q}}\,\,{\frac {\partial x_{j_{1}}}{\partial y_{\ell _{1}}}}\cdots {\frac {\partial x_{j_{q}}}{\partial y_{\ell _{q}}}}.}$

Cette approche est assez systématique en physique, et en particulier en relativité générale, en mécanique générale et en mécanique des milieux continus, où c'est souvent l'expression des lois de transformation par changement de carte qui permet de constater que les objets introduits sont des tenseurs d'un certain type.

Un certain nombre de constructions peuvent être proposées avec des champs de tenseurs qui conduisent à des objets bien définis sans être pour autant eux-mêmes des tenseurs. Concrètement, l'expression dans les cartes locales, même si elle est compatible avec le recollement, suit d'autres lois de transformation. C'est le cas par exemple des symboles de Christoffel en géométrie riemannienne. Mais il existe des critères pour identifier le caractère tensoriel sans revenir au calcul en composantes, basés sur une propriété de ${\displaystyle {\cal {C}}^{\infty }(M)}$-linéarité.

On observe en effet qu'on peut multiplier (points par point) un champ de vecteurs X ou un champ de covecteurs (formes linéaires) L par une fonction numérique ${\displaystyle f\in {\cal {C}}^{\infty }(M)}$. Il apparaît que les opérations ${\displaystyle f\mapsto f.X,\,\,f\mapsto f.L}$ sont linéaires et compatibles avec le crochet de dualité :

${\displaystyle <L,f.X>|_{x}=L_{x}(f(x)X(x))=f(x).L_{x}(X(x))=<f.L,X>|_{x}}$

En termes abstraits, cette linéarité montre que l'ensemble ${\displaystyle \Gamma (TM)}$ des sections fibré tangent est un module sur l'anneau des fonctions ${\displaystyle {\cal {C}}^{\infty }}$. La même propriété est vraie pour les sections du fibré cotangent, mais ${\displaystyle \Gamma (T^{\ast }M)}$ apparaît aussi comme le dual de ${\displaystyle \Gamma (TM)}$, l'ensemble des applications ${\displaystyle f\in {\cal {C}}^{\infty }(M)}$-linéaires sur ${\displaystyle \Gamma (TM)}$ (et réciproquement). L'ensemble des champs tensoriels de type (p,q) s'obtient par produit tensoriel de ces modules.

${\displaystyle \Gamma \left(\bigotimes ^{q}T^{\ast }M\otimes \bigotimes ^{p}TM\right)\sim \bigotimes ^{q}\Gamma (T^{\ast }M)\otimes \bigotimes ^{p}\Gamma (TM)}$

Ces considérations rendent possible une définition progressive des tenseurs à partir des fibrés tangents et cotangents : un champ de tenseurs d'ordre (p,q+1) s'identifie à une application ${\displaystyle {\cal {C}}^{\infty }(M)}$-linéaire qui à un champ de vecteurs associe un champ de tenseurs d'ordre (p,q). Ou encore, une application q-linéaire (toujours au sens ${\displaystyle {\cal {C}}^{\infty }(M)}$) sur les champs de vecteurs à valeurs tensorielles d'ordre (p,0) donne un tenseur d'ordre (p,q) [2] ^,[3]. Cela permet également de distinguer les constructions qui ont un caractère tensoriel, comme cela apparaîtra ci-dessous pour la dérivée covariante.

Ainsi, lorsqu'on dispose d'un difféomorphisme, on peut « transporter » le tenseur par ce difféomorphisme par les mêmes formules que lors d'un changement de cartes. Cela définit les notions d'image réciproque (ou pullback) ${\displaystyle \psi ^{\ast }T}$ et d'image directe (pushforward) ${\displaystyle \psi _{\ast }T}$ qui permettent de comparer les valeurs de T aux points correspondants par ψ.

Pour généraliser on peut s'appuyer sur un champ de vecteurs X  : le flot associé donne un sous-groupe à un paramètre de difféomorphismes locaux. Il est dès lors possible de calculer la « dérivée de T le long du flot »

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}T=\lim _{t=0}{\frac {{\psi }_{t}^{*}T-T}{t}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}_{|_{t=0}}\psi _{t}^{*}T.}$

qui porte le nom de dérivée de Lie de T selon X et constitue à son tour un tenseur, de même type que T [4]. Dans une carte locale, cette dérivée s'exprime (pour un champ de tenseurs de type r,s) par une formule où apparaissent les valeurs et les dérivées de T mais aussi de X au point d'étude[5] :

${\displaystyle {\begin{aligned}({\mathcal {L}}_{X}T)^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}=&X^{c}(\partial _{c}T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}})\\&-(\partial _{c}X^{a_{1}})T^{ca_{2}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}-\ldots -(\partial _{c}X^{a_{r}})T^{a_{1}\ldots a_{r-1}c}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}\\&+(\partial _{b_{1}}X^{c})T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{cb_{2}\ldots b_{s}}+\ldots +(\partial _{b_{s}}X^{c})T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s-1}c}.\end{aligned}}}$

Lorsqu'on effectue des dérivées de Lie successives, on voit apparaître un terme de commutation, lié au crochet de Lie[6]

${\displaystyle {\cal {L}}_{X}\circ {\cal {L}}_{Y}-{\cal {L}}_{Y}\circ {\cal {L}}_{X}={\cal {L}}_{[X,Y]}.}$

Les dérivées covariantes peuvent s'appliquer à un champ de tenseurs, ou de façon plus générale, à tout type de fibré vectoriel. On définit à nouveau une dérivée d'un tenseur selon un champ de vecteurs : ${\displaystyle D_{X}:T\mapsto D_{X}T}$, mais il y a une grande latitude de choix. Une telle dérivation peut être définie de façon axiomatique, en exigeant

- les propriétés algébriques attendues d'une dérivation : linéarité et règle de Leibniz

- un comportement tensoriel vis-à-vis des changements de coordonnées, d'où le nom de « covariante » relativement à V, ce qui peut aussi s'énoncer en demandant que la dépendance en V soit ${\displaystyle {\cal {C}}^{\infty }(M)}$-linéaire : ${\displaystyle D_{fX}T=f.D_{X}T}$.

Cette fois, le champ X n'intervient en fait que par sa valeur au point où se fait le calcul, mais le choix de dérivation effectué se manifeste en composantes par l'apparition de coefficients, les symboles de Christoffel définis par ${\displaystyle \nabla _{e_{i}}e_{j}={\Gamma ^{k}}_{ji}e_{k}}$. L'expression générale de la dérivation, toujours pour un tenseur d'ordre (r,s), prend la forme suivante[7]

${\displaystyle {\begin{aligned}(\nabla _{e_{m}}T)^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}=&\partial _{m}T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}\\&+{\Gamma ^{a_{1}}}_{cm}T^{ca_{2}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}+\ldots +{\Gamma ^{a_{r}}}_{cm}T^{a_{1}a_{2}\ldots c}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}\\&-{\Gamma ^{c}}_{b_{1}m}T^{a_{1}a_{2}\ldots a_{r}}{}_{c\ldots b_{s}}-\ldots -{\Gamma ^{c}}_{b_{s}m}T^{a_{1}a_{2}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots c}.\end{aligned}}}$

Il existe des façons géométriques de formuler ce choix : la notion de transport parallèle pour les vecteurs, ou celle de choix d'un « fibré horizontal » transversal aux fibres[8].

Le calcul de dérivées covariantes successives fait intervenir, outre le crochet de Lie, les tenseurs de torsion et de courbure[9]

${\displaystyle T^{\nabla }(X,Y)=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,Y],}$

${\displaystyle R_{X,Y}^{\nabla }Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z.}$

En présence d'une structure géométrique additionnelle, il peut exister un choix de connexion naturellement associé. Si on dispose par exemple d'une métrique riemannienne, c'est la connexion de Levi-Civita qui joue ce rôle : elle respecte le tenseur métrique et est sans torsion. Ainsi sur une variété riemannienne, il existe un véritable calcul différentiel intrinsèque ou absolu sur les tenseurs, qui peut être mené à tout ordre de dérivation et dans lequel la courbure se manifeste[10].

Les formes différentielles de degré k s'identifient aux tenseurs antisymétriques de type (0,k). Dans ce cas particulier, contrairement aux tenseurs généraux il existe un opérateur de différentiation canoniquement défini, la dérivée extérieure.

• Boris Doubrovine (de), Anatoli Fomenko et Sergueï Novikov, Géométrie contemporaine - Méthodes et applications, 1984 [détail des éditions], partie I, chapitres 3 et 4
• (en) Ivan Kolář, Peter Michor et Jan Slovák, Natural operators in differential geometry, Springer-Verlag, 1993, PDF (lire en ligne)

Calcul tensoriel sur le site Sciences.ch

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