Théorème d'uniformisation

Sous sa forme la plus générale, le théorème d'uniformisation de Poincaré affirme que toute surface peut être ramenée à une surface de courbure constante, ou, plus précisément, que :

Ce résultat fut progressivement obtenu par les travaux de Felix Klein vers 1880, puis ceux de Paul Koebe et Henri Poincaré vers 1900, avant que Poincaré n'en donne une démonstration générale en 1907, dans son article sur l'uniformisation des fonctions analytiques[2] ; c'est pourquoi le théorème est parfois connu sous le nom de théorème d'uniformisation de Klein-Poincaré.

Le théorème de Poincaré permet la classification suivante des surfaces : toute surface est quotient de l'une des trois surfaces suivantes par un sous-groupe discret du groupe des isométries de cette surface :

1. la sphère (de courbure +1) ;
2. le plan euclidien (de courbure 0) ;
3. le plan hyperbolique (de courbure −1).

Le premier cas correspond aux surfaces de caractéristique d'Euler positive : topologiquement, il s'agit de la sphère et du plan projectif réel (le plan projectif est le quotient de la sphère par le groupe à deux éléments formé de l'identité et de la symétrie centrale) ; on dit que les métriques correspondantes sont elliptiques.

Le second cas correspond aux surfaces suivantes : le plan euclidien, le cylindre, le ruban de Möbius, le tore, et la bouteille de Klein (le tore, par exemple, correspond au quotient du plan par le groupe engendré par deux translations non colinéaires ; de même, le ruban de Möbius est quotient du plan par le groupe engendré par le produit d'une translation et d'une symétrie d'axe parallèle à cette translation). Pour les surfaces compactes (topologiquement équivalentes aux deux dernières), il s'agit de celles de caractéristique d'Euler nulle. On dit que les métriques correspondantes sont paraboliques, ou plates.

Le troisième cas correspond aux surfaces de caractéristique d'Euler négative : en fait, presque toutes les surfaces sont dans ce cas, et on dit qu'elles ont une métrique hyperbolique.

Pour les surfaces compactes, cette classification est cohérente avec le théorème de Gauss-Bonnet, lequel implique que si la courbure est constante, le signe de cette courbure est le même que celui de la caractéristique d'Euler.

Enfin, cette classification est la même que celle déterminée par la valeur de la dimension de Kodaira (en) de la courbe algébrique complexe correspondante.

En introduisant le flot de Ricci, Richard S. Hamilton montra que, sur une surface compacte, ce flot uniformise la métrique, c'est-à-dire qu'il converge vers une métrique de courbure constante. Cependant sa démonstration s'appuyait sur le théorème d'uniformisation. En 2006, une preuve indépendante de cette convergence fut découverte[4], ce qui permet de démontrer le théorème d'uniformisation par cette voie.

En dimension 3, il existe de même huit géométries, appelées les géométries de Thurston. On ne peut mettre une de ces géométries sur toute variété de dimension 3, mais la conjecture de géométrisation de Thurston affirme que toute 3-variété fermée peut être découpée en morceaux géométrisables ; cette conjecture a été démontrée en 2004 par Grigori Perelman.