Théorème de Banach-Stone

En mathématiques, le théorème de Banach-Stone, nommé d'après Stefan Banach et Marshall Stone, est un résultat d'analyse fonctionnelle selon lequel si deux espaces compacts ont le « même » espace vectoriel normé (à isomorphisme près) d'applications continues à valeurs complexes, alors ils sont homéomorphes.

Énoncé

Pour tout compact X, notons C(X) l'espace de Banach des applications continues (donc bornées) de X dans ℂ, muni de la norme de la convergence uniforme.

Pour tous compacts X et Y et toute isométrie linéaire surjective T : C(X) → C(Y), il existe un homéomorphisme $φ$ : Y → X et une application $g$ ∈ C(Y) tels que
${\begin{matrix}&\forall y\in Y,&|g(y)|=1\\{\rm {et}}&&\\&\forall f\in C(X),\forall y\in Y,&(Tf)(y)=g(y)f(\varphi (y)).\end{matrix}}$

Remarques

D'après ce théorème, toutes les propriétés topologiques de X peuvent se « lire » sur l'espace vectoriel normé C(X). Par exemple : X est métrisable si et seulement si C(X) est séparable (le « si » est une remarque dans le résumé de preuve ci-dessous ; le « seulement si » est une application du théorème de Stone-Weiertrass).
Cette version classique de l'énoncé[1] possède de multiples généralisations[2], portant par exemple sur des espaces non compacts ou des espaces d'applications à valeurs vectorielles[3], ou supposant seulement que T est « presque » une isométrie[4].

Résumé de preuve

D'après le théorème de représentation de Riesz, le dual de C(X) est l'espace de Banach M(X) des mesures de Borel complexes quasi-régulières, muni de la norme de la variation totale.

L'application qui à x associe la mesure de Dirac δ_x est un homéomorphisme, de X dans M(X) muni de la topologie faible-*[5].

L'ensemble des points extrémaux de la boule unité de M(X) est l'ensemble des multiples de mesures de Dirac par des complexes de module 1 et l'application adjointe T* : M(Y) → M(X) est, comme T, une isométrie surjective donc une bijection entre ces points extrémaux pour X et leurs analogues pour Y. On peut donc définir une fonction $g$ à valeurs dans les complexes de module 1 et une bijection $φ$ en posant

T^{*}(\delta _{y})=g(y)\delta _{\varphi (y)}.

La continuité faible-* de T* garantit la continuité de $g$ et $φ$ . Par bijectivité et compacité, $φ$ est donc un homéomorphisme.

Notes et références

(en) John B. Conway (en), A Course in Functional Analysis, Springer, coll. « GTM » (n^o 96), 1990, 2^e éd., 400 p. (ISBN 978-0-387-97245-9, lire en ligne), chap. VI, § 2 (« The Banach-Stone Theorem »)
(en) Richard J. Fleming et James E. Jamison, Isometries on Banach Spaces : function spaces, CRC Press, 2010, 208 p. (ISBN 978-1-4200-2615-3, lire en ligne), chap. 2 (« Continuous Function Spaces – The Banach-Stone Theorem »)
(en) R. K. Singh, « Banach-Stone Theorem and its Generalizations », dans R. S. Pathalk Nandlal, Analysis and Applications, Allied Publishers (en), 2004 (ISBN 978-8-17764600-9, lire en ligne), p. 31-42
(en) Ehrhard Behrends, « Isomorphic Banach-Stone theorems and isomorphisms which are close to isometries », Pacific J. Math., vol. 133, n^o 2,‎ 1988, p. 229-250 (lire en ligne)
Remarque : si un espace vectoriel normé est séparable alors la boule unité de son dual, munie de la topologie faible-*, est métrisable ; par conséquent, si C(X) est séparable alors X est métrisable.

Articles connexes

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[1] (en) John B. Conway (en), A Course in Functional Analysis, Springer, coll. « GTM » (n^o 96), 1990, 2^e éd., 400 p. (ISBN 978-0-387-97245-9, lire en ligne), chap. VI, § 2 (« The Banach-Stone Theorem »)

[2] (en) Richard J. Fleming et James E. Jamison, Isometries on Banach Spaces : function spaces, CRC Press, 2010, 208 p. (ISBN 978-1-4200-2615-3, lire en ligne), chap. 2 (« Continuous Function Spaces – The Banach-Stone Theorem »)

[3] (en) R. K. Singh, « Banach-Stone Theorem and its Generalizations », dans R. S. Pathalk Nandlal, Analysis and Applications, Allied Publishers (en), 2004 (ISBN 978-8-17764600-9, lire en ligne), p. 31-42

[4] (en) Ehrhard Behrends, « Isomorphic Banach-Stone theorems and isomorphisms which are close to isometries », Pacific J. Math., vol. 133, n^o 2,‎ 1988, p. 229-250 (lire en ligne)

[5] Remarque : si un espace vectoriel normé est séparable alors la boule unité de son dual, munie de la topologie faible-*, est métrisable ; par conséquent, si C(X) est séparable alors X est métrisable.