Théorème de Künneth

En mathématiques, le théorème de Künneth est un résultat de topologie algébrique qui décrit l'homologie singulière du produit X × Y de deux espaces topologiques, en termes de groupes homologiques singuliers H_i(X, R) et H_j(X, R).

Il tient son nom du mathématicien allemand Hermann Künneth.

Théorème de Künneth — Si X et Y sont CW-complexes et si R est un anneau principal, alors il existe des suites exactes courtes naturelles scindées[1] :

0\rightarrow \bigoplus _{i}\left(H_{i}(X;R)\otimes _{R}H_{n-i}(Y;R)\right)\rightarrow H_{n}(X\times Y;R)\rightarrow \bigoplus _{i}\mathrm {Tor} _{R}\left(H_{i}(X;R),H_{n-i-1}(Y;R)\right)\rightarrow 0.

Cas d'un corps

Si R est supposé être un corps commutatif, alors le résultat est une approximation du cas général : en effet, on n'a plus besoin d'invoquer le foncteur Tor. Ainsi, on peut énoncer le théorème de Künneth sous la forme :

H_{k}(X\times Y)\cong \bigoplus _{i+j=k}H_{i}(X)\otimes H_{j}(Y).

De plus, il existe une opération produit qui montre comment un i-cycle sur X et un j-cycle sur Y peuvent être combinés pour former un (i + j)-cycle sur X × Y ; de sorte qu'il existe une application linéaire explicite définie par la somme directe de H_k(X × Y).

Lorsque R est un corps, d'après le théorème de Künneth, cette application linéaire est un isomorphisme.

Nombres de Betti d'un produit

Une conséquence du théorème de Künneth est que les nombres de Betti de X × Y sont déterminés par ceux de X de ceux de Y. L'énoncé revient à dire que si p_Z(t) est la fonction génératrice de la séquence des nombres de Betti b_k(Z) d'un espace Z, alors :

p_{X\times Y}(t)=p_{X}(t)p_{Y}(t).

Lorsqu'il y a un ensemble fini des nombres de Betti de X et de Y, chacun d'entre eux est un nombre naturel plutôt que ∞, ce qu'on peut comprendre comme une identité des polynômes de Poincaré.

Dans le cas général, ce sont des séries formelles acceptant des coefficients ∞, et doivent être interprétées en tant que telles. De plus, les nombres de Betti sur un corps F, b_k(Z,F), vérifient le même genre de relation que b_k(Z,Q) pour les coefficients rationnels.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Künneth theorem » (voir la liste des auteurs).

Elles ne sont pas canoniquement scindées.

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[1] Elles ne sont pas canoniquement scindées.