Théorème de sélection de Helly

On va d'abord démontrer le théorème pour une suite de fonctions croissantes. Pour ce faire, on utilisera deux fois le fait que pour tout ensemble dénombrable D, l'espace produit ${\displaystyle [-R,R]^{D}}$ est séquentiellement compact, c.-à-d. que toute suite d'applications de D dans ${\displaystyle [-R,R]}$ admet une sous-suite simplement convergente (c'est la stabilité par produits dénombrables de la compacité séquentielle).

En appliquant d'abord ce lemme à ${\displaystyle D_{1}=I\cap \mathbb {Q} }$, on peut donc extraire une sous-suite, qu'on notera encore ${\displaystyle (f_{n})}$, qui converge simplement sur ${\displaystyle I\cap \mathbb {Q} }$.

Notons f la fonction limite, définie sur ${\displaystyle I\cap \mathbb {Q} }$ et à valeurs dans ${\displaystyle [-R,R]}$ et, pour tout point ${\displaystyle x\in {\stackrel {\ \circ }{I}}}$,

${\displaystyle f_{-}(x):=\sup\{f(y)\mid y\in I\cap \mathbb {Q} ,y\leq x\}\quad {\text{et}}\quad f_{+}(x):=\inf\{f(z)\mid z\in I\cap \mathbb {Q} ,z\geq x\}}$.

La fonction f étant croissante (comme limite simple de fonctions croissantes), l'ensemble

${\displaystyle D_{2}=\{x\in {\stackrel {\ \circ }{I}}\mid f_{-}(x)<f_{+}(x)\}\cup (I\setminus {\stackrel {\ \circ }{I}})}$

est au plus dénombrable.

Soit ${\displaystyle x\in I\setminus D_{2}}$. Notons ${\displaystyle \ell }$ la valeur commune ${\displaystyle f_{-}(x)=f_{+}(x)}$ et montrons que ${\displaystyle f_{n}(x)}$ tend vers cette valeur. Soit ${\displaystyle \epsilon >0}$ ; il existe ${\displaystyle y,z\in I\cap \mathbb {Q} }$ tels que ${\displaystyle y\leq x\leq z}$, ${\displaystyle f(y)>\ell -\epsilon }$ et ${\displaystyle f(z)<\ell +\epsilon }$. Pour n assez grand, ${\displaystyle f_{n}(y)\geq f(y)-\epsilon }$ et ${\displaystyle f_{n}(z)\leq f(z)+\epsilon }$ et, comme les ${\displaystyle f_{n}}$ sont croissantes, ${\displaystyle f_{n}(y)\leq f_{n}(x)\leq f_{n}(z)}$, donc

${\displaystyle \forall \epsilon >0\quad \exists N\quad \forall n\geq N\quad \ell -2\epsilon <f_{n}(x)<\ell +2\epsilon }$,

ce qui prouve la convergence de ${\displaystyle \left(f_{n}(x)\right)}$ pour tout ${\displaystyle x\in I\setminus D_{2}}$.

Pour finir, on applique à nouveau le lemme (à l'ensemble ${\displaystyle D_{2}}$) pour obtenir une sous-suite qui converge partout.

Cas général : on sait qu'une fonction réelle à variations bornées peut se mettre sous forme de différence de deux fonctions croissantes : ${\displaystyle f=f^{(c)}-f^{(d)}}$. La décomposition n'étant pas unique, il faut en trouver une telle que les deux suites ${\displaystyle (f_{n}^{(c)})}$ et ${\displaystyle (f_{n}^{(d)})}$ vérifient les hypothèses qu'on a utilisées. Notons ${\displaystyle {\mathcal {S}}(J)}$ l'ensemble des subdivisions d'un sous-intervalle J. et fixons ${\displaystyle a\in I}$. Pour toute fonction f à variations bornées sur I, notons ${\displaystyle V_{u,v}(f)=\sup\{V(f,\sigma )\mid \sigma \in {\mathcal {S}}([u,v])\}}$ (pour tout segment ${\displaystyle [u,v]\subset I}$) ; on vérifie facilement que les deux fonctions

${\displaystyle f^{(c)}:x\mapsto {\begin{cases}V_{a,x}(f)&{\text{si }}x\geq a\\-V_{x,a}(f)&{\text{si }}x\leq a\end{cases}}\quad {\text{et}}\quad f^{(d)}:=f^{(c)}-f}$

sont croissantes et que si ${\displaystyle \forall \sigma \in {\mathcal {S}}(I)\quad V(f,\sigma )\leq M}$ alors ${\displaystyle |f^{(c)}|\leq M}$, donc si de plus ${\displaystyle |f|\leq R}$ alors ${\displaystyle |f^{(d)}|\leq M+R}$.

Les hypothèses utilisées ci-dessus sont donc satisfaites pour ${\displaystyle f_{n}^{(c)}}$ et ${\displaystyle f_{n}^{(d)}}$.

On applique le résultat déjà démontré à ${\displaystyle (f_{n}^{(c)})}$, puis de la suite extraite on fait une seconde extraction pour assurer la convergence de ${\displaystyle (f_{n}^{(d)})}$.

Selon le même principe, on pourrait traiter des fonctions à valeurs complexes ou, plus généralement, à valeurs dans un espace de dimension finie, en faisant des extractions en cascade pour les parties réelle et imaginaire, ou pour les composantes dans une base.

Supposons que la suite de fonctions uniformément à variations bornées ${\displaystyle (F_{n})}$ converge simplement vers la fonction à variations bornées ${\displaystyle F}$ sur l'ensemble ${\displaystyle E_{c}}$ des points de continuité de ${\displaystyle F}$. Comme ${\displaystyle F}$ est à variations bornées, l'ensemble des points de discontinuités est au plus dénombrable, donc ${\displaystyle E_{c}}$ est dense dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$. On notera ${\displaystyle \mu _{n}}$ (resp ${\displaystyle \mu }$) les mesures bornées associées à ${\displaystyle F_{n}}$ (resp ${\displaystyle F}$) par l'intégrale de Stieltjes. On note que ${\displaystyle \forall n,\|\mu _{n}\|\leqslant M}$, où ${\displaystyle M}$ est un majorant uniforme des variations des ${\displaystyle F_{n}}$ et de ${\displaystyle F}$). Soit ${\displaystyle \rbrack a,b\rbrack }$ un intervalle borné limité par deux points de ${\displaystyle E_{c}}$, notons ${\displaystyle \mathbb {1} _{\rbrack a,b\rbrack }}$ la fonction indicatrice de cet intervalle.

D'après la définition des intégrales de Stieltjes, ${\displaystyle \int \mathbb {1} _{\rbrack a,b\rbrack }\,\mathrm {d} \mu _{n}=F_{n}(b)-F_{n}(a)}$, donc ${\displaystyle \lim _{n}\int \mathbb {1} _{\rbrack a,b\rbrack }\,\mathrm {d} \mu _{n}=F(b)-F(a)=\int \mathbb {1} _{\rbrack a,b\rbrack }\,\mathrm {d} \mu }$. Si ${\displaystyle f}$ est une combinaison linéaire de fonctions de ce type, il est clair que ${\displaystyle \lim \int f\,\mathrm {d} \mu _{n}{\xrightarrow[{n\to +\infty }]{}}\int f\,\mathrm {d} \mu }$.

Soit maintenant ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}_{0}}$. Elle est uniformément continue : ${\displaystyle \forall \epsilon >0\quad \exists \eta >0\quad |x-y|<\eta \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\epsilon }$.

Soit ${\displaystyle h:0<h<\eta }$ et notons ${\displaystyle x_{k}=kh,k\in \mathbb {Z} }$. Pour tout ${\displaystyle k}$ choisissons un élément ${\displaystyle a_{k}\in \rbrack (k-1)h,kh\lbrack \cap E_{c}}$. Par construction, ${\displaystyle \forall x\in \rbrack a_{k},a_{k+1}\rbrack \quad |f(x)-f(x_{k})|<\epsilon }$.

Comme ${\displaystyle f}$ tend vers zéro à l'infini, il existe une somme finie ${\displaystyle g=\sum _{k=kmin}^{k=kmax}f(x_{k})\mathbb {1} _{\rbrack a_{k},a_{k+1}\rbrack }}$ telle que ${\displaystyle \|f-g\|<\epsilon }$ (pour ${\displaystyle |x|}$ assez grand, ${\displaystyle 0}$ est une approximation à ${\displaystyle \epsilon }$ près). On a vu que ${\displaystyle \exists N\quad n\geqslant N\Rightarrow \left|\int g\,\mathrm {d} \mu _{n}-\int g\,\mathrm {d} \mu \right|<\epsilon }$ donc

${\displaystyle n>N\Rightarrow \left|\int f\,\mathrm {d} \mu _{n}-\int f\,\mathrm {d} \mu \right|\leqslant \left|\int f\,\mathrm {d} \mu _{n}-\int g\,\mathrm {d} \mu _{n}\right|+\left|\int g\,\mathrm {d} \mu _{n}-\int g\,\mathrm {d} \mu \right|+\left|\int g\,\mathrm {d} \mu -\int f\,\mathrm {d} \mu \right|\leqslant (1+2M)\epsilon }$.