Théorie des profils minces

Le fluide est supposé incompressible et l'on a donc ${\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {V}}=0}$ et comme le problème est 2 D, il existe un champ de potentiel scalaire tel que

${\displaystyle {\vec {V}}={\vec {\nabla }}\phi }$.

Le champ φ obéit à l'équation de Poisson qui est

${\displaystyle \Delta \phi =\omega }$

où ω est le tourbillon (source), appelé en anglais vorticity, le long du cylindre infiniment petit. Soit δ Ω le volume total occupé par ce cylindre infiniment petit et soit ${\displaystyle {\vec {l}}=l{\vec {j}}+\delta l_{1}{\vec {i}}+\delta l_{3}{\vec {k}}}$ un point à l'intérieur dudit cylindre infiniment petit. On note que δ l₁ et δ l_₃ sont des nombres infiniment petits. La solution formelle de cette équation est la suivante :

${\displaystyle \phi (x)={1 \over 4\pi }\int _{\delta \Omega }{\omega ({\vec {l}}) \over \|{\vec {x}}-{\vec {l}}\|}d^{3}{\vec {l}}}$

Ce potentiel est équivalent au potentiel d'un champ magnétique où l'on a remplacé le courant I par la vorticité ω. En dérivant, on trouve une formule équivalente à la loi de Biot et Savart comme suit.

On raisonne en coordonnées cylindriques. On a

${\displaystyle d^{3}{\vec {l}}=r_{l}dr_{l}d\phi dl}$

r_l est un nombre infiniment petit. Soit δ R le rayon dudit cylindre. L'intégrale triple supra devient :

${\displaystyle \int _{\delta \Omega }{\omega (r_{l},\phi ) \over \|{\vec {x}}-{\vec {l}}\|}d^{3}{\vec {l}}=\int _{0}^{\delta R}\int _{0}^{2\pi }\int _{-\infty }^{+\infty }{\omega (l{\vec {j}}+\delta l_{1}{\vec {i}}+\delta l_{3}{\vec {k}}) \over \|{\vec {x}}-(l{\vec {j}}+\delta l_{1}{\vec {i}}+\delta l_{3}{\vec {k}})\|}dlr_{l}dr_{l}d\theta }$

On néglige les termes infiniment petits et donc l'ombre (réelle) de cette quantité devient :

${\displaystyle \int _{\delta \Omega }{\omega ({\vec {r_{l},\phi }}) \over \|{\vec {x}}-{\vec {l}}\|}d^{3}{\vec {l}}=\int _{0}^{\delta R}\int _{0}^{2\pi }\int _{-\infty }^{+\infty }{\omega (l{\vec {j}}) \over \|{\vec {x}}-l{\vec {j}})\|}r_{l}dr_{l}d\phi dl}$

On peut donc séparer l'intégrale et l'on obtient

${\displaystyle \int _{\delta \Omega }{\omega ({\vec {r_{l},\phi }}) \over \|{\vec {x}}-{\vec {l}}\|}d^{3}{\vec {l}}=\int _{-\infty }^{+\infty }dl\int _{0}^{\delta R}dr_{l}\int _{0}^{2\pi }d\phi {\omega (r_{l},\phi ) \over \|{\vec {x}}-l{\vec {j}})\|}}$

Comme le dénominateur ne dépend pas en r_l et φ, on peut écrire :

${\displaystyle \int _{\delta \Omega }{\omega ({\vec {r_{l},\phi }}) \over \|{\vec {x}}-{\vec {l}}\|}d^{3}{\vec {l}}=\int _{-\infty }^{+\infty }{dl \over \|{\vec {x}}-l{\vec {j}})\|}\int _{0}^{\delta R}dr_{l}\int _{0}^{2\pi }d\phi \omega (r_{l},\phi )}$

On définit :

${\displaystyle \int _{0}^{\delta R}dr_{l}\int _{0}^{2\pi }d\phi \omega (r_{l},\phi )=\Gamma }$

Donc, le potentiel devient alors :

${\displaystyle \phi ({\vec {x}})={1 \over 4\pi }\Gamma \int _{-\infty }^{+\infty }{dl \over \|{\vec {x}}-l{\vec {j}})\|}}$

On rappelle que

${\displaystyle {\vec {V}}={\vec {j}}\wedge {\vec {\nabla }}\phi ={\partial \phi \over \partial {\vec {x}}}}$

On dérive sous le signe somme et donc :

${\displaystyle {\vec {V}}={\Gamma \over 4\pi }{\vec {j}}\wedge \int _{-\infty }^{+\infty }dl{\partial \over \partial {\vec {x}}}\left({1 \over {\sqrt {({\vec {x}}-l{\vec {j}})^{2}}}}\right)}$

On a donc :

${\displaystyle {\partial \over \partial x}\left({1 \over (x^{2}+z^{2}+l^{2})^{1 \over 2}}\right)=-{x \over (x^{2}+z^{2}+l^{2})^{3 \over 2}}}$

De même,

${\displaystyle {\partial \over \partial z}\left({1 \over (x^{2}+z^{2}+l^{2})^{1 \over 2}}\right)=-{z \over (x^{2}+z^{2}+l^{2})^{3 \over 2}}}$

Donc :

${\displaystyle {\vec {j}}\wedge {\partial \over \partial {\vec {x}}}\left({1 \over {\sqrt {({\vec {x}}-l{\vec {j}})^{2}}}}\right)=-{\vec {j}}\wedge {{\vec {x}} \over \|{\vec {x}}-l{\vec {j}}\|^{3}}}$

Et donc : ${\displaystyle {\vec {V}}({\vec {x}})={\Gamma \over 4\pi }\int _{-\infty }^{+\infty }{\vec {j}}\wedge {{\vec {x}} \over \|{\vec {x}}-l{\vec {j}}\|^{3}}dl}$

On définit :

${\displaystyle {\vec {x}}=x{\vec {i}}+y{\vec {j}}+z{\vec {k}}}$

On obtient donc :

${\displaystyle {\vec {V}}(x,z)={\Gamma \over 4\pi }\int _{-\infty }^{+\infty }{\vec {j}}\wedge {x{\vec {i}}+y{\vec {j}}+z{\vec {k}} \over \|{\vec {x}}-l{\vec {j}}\|^{3}}dl}$

La vitesse est dans le plan (x,z) et donc on a :

${\displaystyle {\vec {V}}(x,z)={\Gamma \over 4\pi }\int _{-\infty }^{+\infty }{z{\vec {i}}-x{\vec {k}} \over \|{\vec {x}}-l{\vec {j}}\|^{3}}dl}$

On définit le vecteur normalisé ${\displaystyle {\vec {\xi }}={z{\vec {i}}-x{\vec {k}} \over \|x{\vec {i}}+z{\vec {k}}\|}}$

Soit ${\displaystyle h=\|z{\vec {i}}-x{\vec {k}}\|={\sqrt {x^{2}+z^{2}}}}$. h est la distance du point par rapport à la tige. On obtient donc :

${\displaystyle {\vec {V}}(x,z)={\Gamma \over 4\pi }\int _{-\infty }^{+\infty }{h{\vec {\xi }} \over \|{\vec {x}}-l{\vec {j}}\|^{3}}dl}$

Donc,

${\displaystyle {\vec {V}}(x,z)={\Gamma \over 4\pi }h{\vec {\xi }}\int _{-\infty }^{+\infty }{1 \over (h^{2}+l^{2})^{3 \over 2}}dl}$

On définit ${\displaystyle l=h\tan \theta }$. On a donc ${\displaystyle dl=h(1+\tan ^{2}\theta )d\theta }$ et donc,

${\displaystyle {\vec {V}}(x,z)={\Gamma \over 4\pi }h{\vec {\xi }}\int _{-{\pi \over 2}}^{+{\pi \over 2}}{1 \over (h^{2}+h^{2}\tan ^{2}\theta )^{3 \over 2}}h(1+\tan ^{2}\theta )d\theta }$

Donc :

${\displaystyle {\vec {V}}(x,z)={\Gamma \over 4\pi }h^{2}{\vec {\xi }}\int _{-{\pi \over 2}}^{+{\pi \over 2}}{1 \over h^{3}(1+\tan ^{2}\theta )^{1 \over 2}}d\theta }$

On remarque que : ${\displaystyle {1 \over (1+\tan ^{2}\theta )^{1 \over 2}}=\cos \theta }$

et donc :

${\displaystyle {\vec {V}}(x,z)={\Gamma \over 4\pi }{h^{2} \over h^{3}}{\vec {\xi }}\int _{-{\pi \over 2}}^{+{\pi \over 2}}\cos \theta d\theta }$

Et donc simplement[8] :

${\displaystyle {\vec {V}}(h,\phi )={\Gamma \over 2\pi h}{\vec {\xi }}}$

Le module de la vitesse ne dépend donc pas de l'angle φ. On constate aussi que Γ est la circulation du vecteur vitesse.

Si la ligne portante n'est pas de longueur infinie mais semi finie alors :

${\displaystyle V={\frac {\Gamma }{4\pi h}}}$

Soit ${\displaystyle \chi }$ la coordonnée tourbillon élémentaire en ce point et ${\displaystyle {\vec {x}}}$ un point quelconque sur le profil le long de la corde.

${\displaystyle d{\vec {w}}(x)={\delta \Gamma \over 2\pi \|{\vec {x}}-{\vec {\chi }}\|}{\vec {j}}\wedge {{\vec {x}}-{\vec {\chi }} \over \|{\vec {x}}-{\vec {\chi }}\|}}$

Donc,

${\displaystyle d{\vec {w}}(x)=\delta \Gamma {\vec {j}}\wedge \left({{\vec {x}}-{\vec {\chi }} \over 2\pi ({\vec {x}}-{\vec {\chi }})^{2}}\right)}$

On confond le profil d'aile avec sa corde. Soit ${\displaystyle {\vec {c}}}$ le vecteur moyen de la corde. On obtient donc :

${\displaystyle d{\vec {w}}(x)={\delta \Gamma (x\ -\chi ){\vec {j}}\wedge {\vec {c}} \over 2\pi (x-\chi )^{2}{\vec {c}}^{2}}}$

Donc,

${\displaystyle d{\vec {w}}(x)={\delta \Gamma \over 2\pi (x-\chi )}{\vec {j}}\wedge {\vec {c}}}$

La vitesse totale est donc la somme des vitesses élémentaires pour chacun des petites circulations en ${\displaystyle \chi }$. En sommant toutes les lignes portantes le long de la corde moyenne, l'ensemble des tourbillons produit un mouvement du fluide ${\displaystyle \ w(s)}$ suivant :

${\displaystyle {\vec {w}}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{c}{\frac {\gamma (\chi )}{(x-\chi )}}d\chi {\vec {j}}\wedge {\vec {c}}}$

où

• x représente le lieu du mouvement du fluide dû au Tourbillon (physique) le long de la corde moyenne,
• ${\displaystyle \ \chi }$ est le lieu du Tourbillon (physique) le long de la corde moyenne,
• c est la longueur de la corde.

La vitesse infinie est ${\displaystyle V_{\infty }{\vec {i}}}$. La vitesse totale est donc :

${\displaystyle {\vec {V}}_{T}(x)=V_{\infty }{\vec {i}}+{\vec {w}}(x)=V_{\infty }{\vec {i}}+{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{c}{\frac {\gamma (\chi )}{(x-\chi )}}d\chi {\vec {j}}\wedge {\vec {c}}}$

Soit ${\displaystyle {\vec {t}}(x)}$ le vecteur tangent au profil. Comme le fluide est tangent au profil, on a:

${\displaystyle {\vec {V}}_{T}(x)\wedge {\vec {t}}(x)={\vec {0}}}$

Donc,

${\displaystyle \left(V_{\infty }{\vec {i}}+{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{c}{\frac {\gamma (\chi )}{(x-\chi )}}d\chi {\vec {j}}\wedge {\vec {c}}\right)\wedge {\vec {t}}=0}$

Soit α l'angle d'attaque et e(x) la cambrure du profil en x. On a donc :

${\displaystyle {\vec {t}}=\cos(-\alpha +e'(x)){\vec {i}}+\sin(-\alpha +e'(x)){\vec {k}}}$

On a donc :

${\displaystyle {\vec {i}}\wedge {\vec {t}}={\vec {i}}\wedge [\cos(\alpha -e'(x)){\vec {i}}+\sin(\alpha -e'(x)){\vec {k}}]=\sin(\alpha -e'(x)){\vec {j}}}$

On utilise la formule du double produit vectoriel. On a :

${\displaystyle ({\vec {j}}\wedge {\vec {c}})\wedge {\vec {t}}=({\vec {j}}\cdot {\vec {t}}){\vec {c}}-({\vec {c}}\cdot {\vec {t}}){\vec {j}}}$

On remarque que ${\displaystyle {\vec {j}}\cdot {\vec {t}}=0}$ et donc,

${\displaystyle ({\vec {j}}\wedge {\vec {c}})\wedge {\vec {t}}=-({\vec {c}}\cdot {\vec {t}}){\vec {j}}}$

Comme la cambrure est faible, on a :

${\displaystyle {\vec {c}}\cdot {\vec {t}}\approx 1}$

On obtient alors l'égalité suivante (suivant ${\displaystyle {\vec {j}}}$) :

${\displaystyle V_{\infty }(\alpha -e'(x))-{1 \over 2\pi }\int _{0}^{c}{\frac {\gamma (\chi )}{(x-\chi )}}d\chi =0}$

On remarque que ${\displaystyle \sin(\alpha -e'(x))\approx \alpha -e'(x)}$. Et donc finalement (et ce ${\displaystyle \forall x\in ]0,c[}$) :

${\displaystyle {1 \over 2\pi }\int _{0}^{c}{\gamma (\chi ) \over x-\chi }d\chi =V_{\infty }(\alpha -e'(x))\qquad (1)}$

On procède au changement de variable arbitraire suivant dans l'équation (1) :

${\displaystyle \ \chi =c(1-\cos(\theta ))/2}$,

avec

• ${\displaystyle \ c}$ longueur de la corde du profil. C'est à ce moment qu'est introduite la corde ${\displaystyle \ c}$ comme élément de référence, élément qui permet la comparaison des performances des profils entre eux. Comme le changement de variable est arbitraire, l'élément de référence pourrait être autre chose mais de par sa simplicité il a été choisi par le monde scientifique.

d'où

${\displaystyle \ x={\frac {c}{2}}(1-\cos(\phi ));d\chi ={\frac {c}{2}}\sin(\theta )d\theta }$

d'où l'équation (1) devient :

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {\gamma (\theta )\sin(\theta )d\theta }{\cos(\theta )-\cos(\phi )}}=V_{\infty }.(\alpha -e'(x))}$ (2)

Supposons que le profil soit plat, donc ${\displaystyle \ e'(x)=0}$. L'équation (2) en ${\displaystyle \gamma (\theta )}$ devient :

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {\gamma _{plat}(\theta )\sin(\theta )d\theta }{\cos(\theta )-\cos(\phi )}}=V_{\infty }.\alpha }$

Cette équation en γ doit être satisfaite pour tout φ. On écrit la fonction γ comme une série de Fourier modifiée. On écrit :

${\displaystyle \gamma (\theta )=\sum _{n\in \mathbb {N} }{G_{n}\cos(n\theta ) \over \sin \theta }}$

On substitue dans l'équation à résoudre et l'on résout donc :

${\displaystyle {1 \over 2\pi }\int _{0}^{\pi }\left(\sum _{n\in \mathbb {N} }{G_{n}\cos(n\theta ) \over \sin \theta }\right){\sin(\theta )d\theta \over \cos(\theta )-\cos(\phi )}=V_{\infty }\alpha }$

On utilise l'intégrale de Glauert démontrée en annexe qui dit que :

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }{\cos(n\theta ) \over \cos \theta -\cos \theta _{0}}d\theta =\pi \times {\sin(n\theta _{0}) \over \sin \theta _{0}}}$

Donc, l'on résout ${\displaystyle \forall \theta _{0}\in [0,\pi ]}$:

${\displaystyle {1 \over 2\pi }\sum _{n\in \mathbb {N} }G_{n}\left(\pi {\sin(n\theta _{0}) \over \sin \theta _{0}}\right)=V_{\infty }\alpha }$

Comme le membre de gauche doit être constant, on a ${\displaystyle G_{n}=0\ \forall n\geq 2}$.

Donc,

${\displaystyle \gamma _{plat}(\theta )={G_{0}\cos(0\theta )+G_{1}\cos(1\theta ) \over \sin \theta }}$

${\displaystyle \gamma _{plat}(\pi )}$ est finie et donc ${\displaystyle G_{0}=G_{1}}$ et ${\displaystyle G_{1}=2V_{\infty }\alpha }$

La solution est donc :

${\displaystyle \ \gamma _{plat}(\theta )=2V_{\infty }\alpha {\frac {1+\cos(\theta )}{\sin(\theta )}}}$

La partie ${\displaystyle \ \alpha }$ de l'équation (2) est résolue, il faut trouver une solution pour la partie e'(x).

${\displaystyle \ \gamma (\theta )=\gamma _{plat}(\theta )+\gamma _{e'(x)}(\theta )}$

d'où

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {(\gamma _{plat}(\theta )+\gamma _{e'(x)}(\theta ))\sin(\theta )d\theta }{\cos(\theta )-\cos(\phi )}}=V_{\infty }.(\alpha -e'(x))}$

d'où

${\displaystyle \left[{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {\gamma _{plat}(\theta )\sin(\theta )d\theta }{\cos(\theta )-\cos(\phi )}}-V_{\infty }.\alpha \right]+{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {\gamma _{e'(x)}(\theta )\sin(\theta )d\theta }{\cos(\theta )-\cos(\phi )}}=V_{\infty }.(-e'(x))}$

d'où

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {\gamma _{e'(x)}(\theta )\sin(\theta )d\theta }{\cos(\theta )-\cos(\phi )}}=V_{\infty }.(-e'(x))}$

La fonction ${\displaystyle \ \gamma _{e'(x)}}$ admet une décomposition en série de Fourier. Donc la fonction ${\displaystyle {\frac {\gamma _{e'(x)}(\theta )}{2V_{\infty }}}}$ aussi. La décomposition est :

${\displaystyle {\frac {\gamma _{e'(x)}(\theta )}{2V_{\infty }}}=b_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}.\sin(nw\theta )+b_{n}.\cos(nw\theta ))}$

Glauert a pensé que la solution était plus simple et donc a d'abord essayé de trouver une solution à l'équation (2) avec les simplifications/transformations suivantes sur la décomposition de Fourier :

• ${\displaystyle \ b_{n}=0}$
• ${\displaystyle \ w=1}$ : il faut que la fonction soit définie sur ${\displaystyle \ [0;\pi ]}$ donc ${\displaystyle \ w=1}$ est le plus simple.

et d'inclure la résolution de l'équation pour un profil plat où ${\displaystyle \ \alpha }$ est remplacé par un coefficient ${\displaystyle \ A_{0}}$ [11].

La décomposition de ${\displaystyle \ \gamma }$ proposée en espérant qu'elle soit la solution à l'équation (2) est :

${\displaystyle {\frac {\gamma (\theta )}{2V_{\infty }}}=A_{0}{\frac {1+\cos(\theta )}{\sin(\theta )}}+\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}.\sin(n\theta )}$

Les coefficients ${\displaystyle A_{n}}$ sont inconnus et à déterminer. S'il est possible de calculer ces coefficients alors la décomposition proposée est bien la solution à l'équation.

d'où en remplaçant ${\displaystyle \ \gamma }$ par sa série de Fourier dans l'équation (2) :

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {(A_{0}{\frac {1+\cos(\theta )}{\sin(\theta )}}+\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}.\sin(n\theta ))\sin(\theta )}{\cos(\theta )-\cos(\phi )}}d\theta =\alpha -e'(x)}$

d'où

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {A_{0}(1+\cos(\theta ))}{\cos(\theta )-\cos(\phi )}}d\theta +{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}.\sin(n\theta )\sin(\theta )}{\cos(\theta )-\cos(\phi )}}d\theta =\alpha -e'(x)}$

d'où

${\displaystyle {\frac {A_{0}}{\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {1+\cos(\theta )}{\cos(\theta )-\cos(\phi )}}d\theta +{\frac {1}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin(n\theta )\sin(\theta )}{\cos(\theta )-\cos(\phi )}}d\theta =\alpha -e'(x)}$

Glauert a remarqué que [12] :

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }{\frac {\cos(n\theta )}{\cos(\theta )-\cos(\phi )}}d\theta =\pi {\frac {\sin(n\phi )}{\sin(\phi )}}}$ en particulier pour ${\displaystyle \ n=0}$

Une autre démonstration de cette formule basée sur le théorème des résidus est donnée dans l'annexe de l'article Théorie des lignes portantes.

or ${\displaystyle \int _{0}^{\pi }{\frac {1+\cos(\theta )}{\cos(\theta )-\cos(\phi )}}d\theta =\int _{0}^{\pi }{\frac {1+\cos(\phi )+\cos(\theta )-\cos(\phi )}{\cos(\theta )-\cos(\phi )}}d\theta =\int _{0}^{\pi }1d\theta +\int _{0}^{\pi }{\frac {1+\cos(\phi )}{\cos(\theta )-\cos(\phi )}}d\theta }$

${\displaystyle =\int _{0}^{\pi }1d\theta +(1+\cos(\phi ))\int _{0}^{\pi }{\frac {\cos(0\times \theta )}{\cos(\theta )-\cos(\phi )}}d\theta =\pi }$

d'où

${\displaystyle A_{0}+{\frac {1}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin(n\theta )\sin(\theta )}{\cos(\theta )-\cos(\phi )}}d\theta =\alpha -e'(x)}$

Glauert aussi dans sa démonstration fait remarquer que la trigonométrie démontre que :

${\displaystyle \ 2\sin(n\theta )\sin(\theta )=\cos((n-1)\theta )-\cos((n+1)\theta )}$

d'où

${\displaystyle A_{0}+{\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}\int _{0}^{\pi }{\frac {\cos((n-1)\theta )-\cos((n+1)\theta )}{\cos(\theta )-\cos(\phi )}}d\theta =\alpha -e'(x)}$

Glauert remarque de nouveau que :

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }{\frac {\cos(n\theta )}{\cos(\theta )-\cos(\phi )}}d\theta =\pi {\frac {\sin(n\phi )}{\sin(\phi )}}}$

Il faut intégrer la somme infinie terme à terme, et après calcul et simplification :

${\displaystyle \ \alpha -e'(x)=A_{0}-\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}\cos(n\phi )}$

soit la suite ${\displaystyle \ g}$ tel que ${\displaystyle \ g_{0}=-1}$ et ${\displaystyle \ g_{n}=1}$ si ${\displaystyle \ n\neq 0}$

d'où

${\displaystyle \ \alpha -e'(x)=-\sum _{n=0}^{\infty }g_{n}A_{n}\cos(n\phi )}$

L'équation reste toujours valable si elle est multipliée par ${\displaystyle \ \cos(m\phi )}$ avec m un entier :

${\displaystyle \ (\alpha -e'(x))\cos(m\phi )=-\sum _{n=0}^{\infty }g_{n}A_{n}\cos(n\phi )\cos(m\phi )}$

L'équation reste toujours valable si elle est intégrée sur toute la corde :

${\displaystyle \ \int _{0}^{\pi }(\alpha -e'(x))\cos(m\phi )d\phi =-\int _{0}^{\pi }\sum _{n=0}^{\infty }g_{n}A_{n}\cos(n\phi )\cos(m\phi )d\phi }$

${\displaystyle \ \int _{0}^{\pi }(\alpha -e'(x))\cos(m\phi )d\phi =-\sum _{n=0}^{\infty }g_{n}A_{n}\int _{0}^{\pi }\cos(n\phi )\cos(m\phi )d\phi }$

comme

${\displaystyle \ \int _{0}^{\pi }\cos(n\phi )\cos(m\phi )d\phi =\pi }$ si ${\displaystyle \ n=m=0}$

${\displaystyle \ ={\frac {\pi }{2}}}$ si ${\displaystyle \ n=m\neq 0}$

${\displaystyle \ \ =0}$ si ${\displaystyle \ n\neq m}$

alors :

${\displaystyle \ \int _{0}^{\pi }(\alpha -e'(x))d\phi =\pi A_{0}}$

${\displaystyle \ \int _{0}^{\pi }(\alpha -e'(x))\cos(m\phi )d\phi =-{\frac {\pi A_{m}}{2}}}$ pour ${\displaystyle \ m\neq 0}$

alors comme ${\displaystyle \ \alpha }$ est indépendant de ${\displaystyle \ \phi }$ les coefficients de la série sont :

• ${\displaystyle A_{0}=\alpha -{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }e'(x).d\theta }$
• ${\displaystyle A_{n}={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(n\theta )e'(x).d\theta }$

d'où :

${\displaystyle {\gamma (\theta )}{dx}=cV_{\infty }\left[A_{0}(1+\cos(\theta ))+\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}.\sin(n\theta )\sin(\theta )\right]d\theta }$

Cette méthode est nommée transformation de Glauert.

Grâce au Théorème de Kutta-Jukowski, la portance par unité de longueur le long de l'envergure est :

${\displaystyle L_{y}=\rho V_{\infty }\int _{0}^{c}\gamma (x).dx}$

d'où la portance totale est :

${\displaystyle L=L_{y}\times b=\rho V_{\infty }b\int _{0}^{\pi }cV_{\infty }\left[A_{0}(1+\cos(\theta ))+\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}.\sin(n\theta )\sin(\theta )\right]d\theta }$

On remarque que :

${\displaystyle .\sin(n\theta )\sin \theta ={1 \over 2}(\cos(n-1)\theta -\cos(n+1)\theta }$

On décompose :

${\displaystyle L=\rho V_{\infty }bcV_{\infty }\left[A_{0}\int _{0}^{\pi }(1+\cos(\theta ))d\theta +{1 \over 2}A_{1}\int _{0}^{\pi }(\cos 0\theta -\cos 2\theta )d\theta +{1 \over 2}\sum _{n=2}^{\infty }A_{n}\int _{0}^{\pi }[\cos(n-1)\theta -\cos(n+1)\theta ]\right]d\theta }$

On constate que pour ${\displaystyle n\geq 2}$ on a : ${\displaystyle \int _{0}^{\pi }[\cos(n-1)\theta -\cos(n+1)\theta ]d\theta =0}$

Donc,

${\displaystyle L=\rho V_{\infty }bcV_{\infty }\left[A_{0}\int _{0}^{\pi }(1+\cos(\theta ))d\theta +{1 \over 2}A_{1}\int _{0}^{\pi }(1-\cos 2\theta )d\theta +\sum _{n\geq 2}0\right]}$

Donc,

${\displaystyle L=\rho V_{\infty }bcV_{\infty }\left(A_{0}\pi +{1 \over 2}A_{1}\pi \right)}$

d'où

${\displaystyle L=\pi cb\rho {V_{\infty }}^{2}\left(A_{0}+{1 \over 2}A_{1}\right)}$

La littérature préfère définir des coefficients adimensionnels[13]. Soit S = c × b la surface de l'aile (que l'on considère comme quasiment infinie). On définit donc le coefficient de portance comme suit :

${\displaystyle C_{L}=\pi (2A_{0}+A_{1})}$

On obtient donc :

${\displaystyle C_{L}=2\pi \left(\alpha -{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }e'(x).d\theta \right)+\pi \left({2 \over \pi }\int _{0}^{\pi }\cos(1\theta )e'(x).d\theta \right)}$

Donc,

${\displaystyle C_{L}=2\pi \alpha +2\int _{0}^{\pi }(\cos \theta -1)e'(x).d\theta }$

Le coefficient de portance est donc une fonction affine de l'angle d'attaque α. Si le profil est plat, le coefficient de portance devient simplement :

${\displaystyle C_{L}=2\pi \alpha }$

Cette formule est illustrée graphiquement dans la figure 1.11 de l'ouvrage de Hurt[14].

Et donc, on obtient la forme normalisée :

${\displaystyle L={\frac {1}{2}}\rho S{V_{\infty }}^{2}C_{L}}$

et le moment M du profil au bord d'attaque est :

${\displaystyle M=\rho V\int _{0}^{c}x.\gamma (x).dx}$

de même :

${\displaystyle M={\frac {1}{2}}c^{2}\rho {V_{\infty }}^{2}C_{M}}$

Le calcul du coefficient de portance dépend uniquement des deux premiers termes de la décomposition en série de Fourier, soit :

${\displaystyle \ C_{L}=2\pi (A_{0}+A_{1}/2)}$

Le moment M du profil au bord d'attaque dépend uniquement de ${\displaystyle A_{0},\ A_{1}}$ et ${\displaystyle \ A_{2}}$ :

${\displaystyle \ C_{M}(0)=-0,5\pi (A_{0}+A_{1}-A_{2}/2)}$

Le moment à un quart de la corde est :

${\displaystyle \ C_{M}(1/4c)=-\pi /4(A_{1}-A_{2})}$.

On en déduit que :

${\displaystyle \ \Delta x/c=\pi /4((A_{1}-A_{2})/C_{L})}$

Le point où le moment dû au centre de poussée est indépendant de l'incidence est défini comme :

${\displaystyle {\frac {\partial (C_{M})}{\partial (C_{L})}}=0}$