Traînée induite

L'allongement effectif utilisé pour le calcul peut être supérieur à l'allongement géométrique (cloison en bout d'aile, ailette marginale ou winglet).

La distribution de portance optimale (celle qui minimise la traînée induite) est elliptique[1]. La distribution effective dépend :

• de la forme en plan de l'aile ;
• de sa flèche (la flèche arrière charge davantage l'extrémité de l'aile) ;
• de son vrillage (qui modifie la répartition de la portance par rapport à la forme en plan) ;
• des modifications locales de la portance :
  • interférence du fuselage (diminution locale de la portance dans l'axe du fuselage, pics de portance aux emplantures d'aile),
  • par le déploiement de volets hypersustentateurs ou d'aérofreins,
  • souffle d'hélices augmentant la portance (moteurs montés sur l'aile).

Le calcul de la résistance induite s'appuie sur la théorie des lignes portantes.

• Calcul de la résistance induite Ri

${\displaystyle R_{i}=qSC_{i}}$

q : pression dynamique = 1/2 . ρ . V²

S : surface alaire

ρ : masse volumique du fluide, V = vitesse en m/s

C_i : coefficient de traînée induite

• En application de la théorie des profils minces, le coefficient de traînée induite s'exprime comme suit[2]^,[3] :

${\displaystyle C_{i}={C_{z}^{2} \over \pi \lambda e}}$.

C_z : coefficient de portance de l'aile

π (pi) : 3,1416

λ : allongement. Par définition, λ=b²/S où b est l'envergure de l'aile.

e : coefficient d'Oswald (inférieur à 1) qui dépend de la distribution de portance en envergure[Note 1].

e pourrait être égal à 1 pour une distribution de portance « idéale » (elliptique). En pratique e est de l'ordre de 0,75 à 0,85.

• Remarque sur la relation cachée entre Cz et λ :

Pour qu'un avion puisse voler, la portance Fz doit compenser le poids de l'avion
On en déduit le Cz

${\displaystyle C_{z}={F_{z} \over qS}}$

il ressort (en remplaçant Cz dans la formule précédente) :

${\displaystyle C_{i}={F_{z}^{2} \over q^{2}S^{2}\pi e\lambda }}$

et

${\displaystyle R_{i}=qSC_{i}={F_{z}^{2} \over qS\pi e\lambda }}$

comme ${\displaystyle \lambda ={b^{2} \over S}}$ on a finalement :

${\displaystyle R_{i}={F_{z}^{2} \over b^{2}q\pi e}}$

Avec q = 1/2 . ρ . V² on obtient

${\displaystyle R_{i}=2{F_{z}^{2} \over b^{2}\rho V^{2}\pi e}}$

La traînée induite est proportionnelle au carré de la portance et inversement proportionnelle au carré de l'envergure et au carré de la vitesse.
Pour réduire cette traînée, on peut :

— réduire le poids ;

— augmenter l'envergure (et augmenter l'allongement à surface constante) ;

— augmenter la vitesse.

Un guide complet de calcul de ces formules est donné grâce à la Théorie des profils minces.

• La traînée induite est nulle :
  • si la portance est nulle ;
  • si l'allongement est infini.

• La traînée induite est moindre :
  • si l'allongement est grand et si le coefficient de portance (C_z) est petit (Cz 0,1 à 0,3 ; avion rapide).

• La traînée induite est importante :
  • si l'allongement est petit et le Cz fort (aile delta au décollage).

À proximité du sol, la traînée induite est réduite car le downwash est réduit vu que cette masse d'air descendante va être arrêtée par le sol. La traînée induite devient alors[4] :

${\displaystyle C_{D_{i}}={\displaystyle 33\left({h \over d}\right)^{3 \over 2} \over \displaystyle 1+33\left({h \over d}\right)^{3 \over 2}}\times {C_{L}^{2} \over \pi \lambda e}}$

Ladite loi est illustrée dans l'ouvrage de Hurt[5]. Ainsi, si une aile a 24 mètres d'envergure et est placée à 3 mètres du sol, la traînée induite sera réduite de 40 %[6]^,[5].

• Traînée
• Coefficient de portance
• Aérodynamique
• Dynamique des fluides
• Finesse (aérodynamique)
• Théorie des profils minces
• Théorie des lignes portantes
• Vortex en forme de fer à cheval

• [Paths of Soaring Flight] (en) Frank Irving, The Paths of Soaring Flight, Imperial College Press, 1999, 131 p. (ISBN 9-781860--940552)
• [Naval Aviators] (en) Hugh Harrison Hurt, Aerodynamics for naval aviators, US Navy, 1959, 416 p. (ISBN 978-1-939878-18-2, lire en ligne)

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