Tour de Postnikov

En théorie de l'homotopie, une branche de la topologie algébrique, une tour de Postnikov (ou système de Postnikov)[1] est un objet permettant de reconstruire un espace topologique à partir de ses groupes d'homotopie.

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Définition

Une tour de Postnikov pour un espace X connexe par arcs est[2] un morphisme de X vers une suite d'espaces et d'applications continues, …→ Xn →…→ X1→ X0, tel que

  • chaque application X→Xn induit des isomorphismes des πk pour k ≤ n ;
  • πk(Xn) = 0 pour k > n.

Propriétés

Tout CW-complexe connexe possède une telle « tour »[2].

On peut de proche en proche remplacer chaque application Xn→Xn – 1 par une fibration, dont la fibre est un espace d'Eilenberg-MacLane K(πn(X), n), d'après sa longue suite exacte d'homotopie[2]. L'application de X dans la limite projective des Xn est alors une équivalence faible d'homotopie.

Le CW-complexe connexe X possède une tour de Postnikov de fibrations principales si et seulement si l'action de π1(X) sur les πn(X) (n > 1) est triviale.

Notes et références
  1. (en) Mikhail M. Postnikov, « Determination of the homology groups of a space by means of the homotopy invariants », Doklady Akademii Nauk SSSR, vol. 76,‎ , p. 359-362
  2. (en) Allen Hatcher, Algebraic Topology, New York, Cambridge University Press, , 544 p. (ISBN 978-0-521-79540-1, lire en ligne), p. 410-413
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