Trompette de Gabriel

Son volume est obtenu en intégrant la surface ${\displaystyle S(x)}$ (surface normale à l'axe 0x à l'ordonnée x). On montre très facilement qu'il est égal à π[1] :

${\displaystyle V=\int _{1}^{+\infty }S(x)dx=\int _{1}^{+\infty }\pi y^{2}dx=\pi \int _{1}^{+\infty }{\frac {1}{x^{2}}}dx=\pi \left[{\frac {-1}{x}}\right]_{1}^{\infty }=\pi }$

Et l'aire de la portion de trompette entre ${\displaystyle x=1}$ et ${\displaystyle x=x_{0}(x_{0}>1)}$ est donnée par la formule suivante, selon le premier théorème de Guldin[1] :

${\displaystyle A(x_{0})=2\pi \int _{1}^{x_{0}}y{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}\,dx=2\pi \int \limits _{1}^{x_{0}}{\frac {1}{x}}{\sqrt {1+\left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)^{2}}}\mathrm {d} x=2\pi \int \limits _{1}^{x_{0}}{\frac {1}{x}}{\sqrt {1+\left({\frac {1}{x^{4}}}\right)}}\mathrm {d} x}$

Qui peut se minorer facilement, en remarquant que le contenu de la racine carrée est toujours strictement supérieur à 1 :

${\displaystyle A(x_{0})>2\pi \int \limits _{1}^{x_{0}}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}=2\pi \ln({x_{0}}).}$

${\displaystyle A(x_{0})}$ est strictement supérieur à une expression qui diverge quand ${\displaystyle x_{0}}$ tend vers ${\displaystyle +\infty }$, donc ${\displaystyle A}$ tend lui-même vers l'infini.

Une façon d'exprimer le paradoxe d'avoir un solide de volume fini et de surface infinie est la question suivante : serait-il possible de peindre la surface intérieure de la trompette de Gabriel? Si on raisonne à partir de la surface, celle-ci étant infinie, l'opération semble impossible : il faudrait une quantité infinie de peinture. Mais d'autre part, il est possible de remplir intégralement la trompette avec un volume fini de peinture, ce qui, a priori, recouvre toute sa surface. Le paradoxe s'explique en s'interrogeant sur l'épaisseur de la peinture. En faisant le raisonnement « une surface infinie demande une quantité infinie de peinture », on suppose que la peinture a une épaisseur ${\displaystyle e}$ donnée, non nulle (qui devient supérieure au rayon de la trompette, quand ${\displaystyle x}$ dépasse ${\displaystyle 1/e}$). Si on imagine une peinture « mathématique » d'épaisseur nulle, alors le volume de peinture devient une forme indéterminée de type ${\displaystyle 0\times \inf }$[3].

Une autre propriété surprenante de la trompette de Gabriel, pointée dès le XVII^e siècle, est l'inexistence d'un centre de gravité[2]. Le centre de gravité du solide de révolution généré par la courbe ${\displaystyle y=f(x)}$ se trouve, par symétrie, sur l'axe, seule son abscisse doit être calculée, elle est donnée par la formule suivante[4] :

${\displaystyle x_{G}={\frac {\int xf^{2}dx}{\int f^{2}dx}}}$

Appliquée à la trompette de Gabriel, cette formule n'a pas de solution, puisque l'intégrale au numérateur ne converge pas.

La trompette de Gabriel est étudiée par Evangelista Torricelli qui l'appelle le « solide hyperbolique aigu » (solidum hyperbolicum acutum)[9]. Vers 1641, à une époque où le calcul intégral n'existe pas, il démontre que son volume est identique à celui d'un cylindre en utilisant la méthode des indivisibles développée par Bonaventura Cavalieri. Torricelli ne conçoit pas les indivisibles exactement de la même façon que Cavalieri : il leur attribue une épaisseur, petite devant les dimensions du solide, là où Cavalieri les conçoit comme des objets bidimensionnels. Cette évolution constitue un pas vers le calcul intégral. En quelque sorte, l'approche de Torricelli revient à s'imaginer que le solide est constitué d'un empilement de feuilles de papier, qu'il va réorganiser[2].

Lemme 1 : Par révolution de l'hyperbole apollonienne définie par ${\displaystyle xy=1}$ autour de son asymptome, on obtient un solide de révolution infiniment long.

Lemme 2 : tous les cylindres inscrits dans le solide précédemment défini ont la même surface latérale.

Lemme 3 : tous ces cylindres ont une volume proportionnel au diamètre de leur base. En effet, le cylindre construit avec un rayon r (<1) a une hauteur ${\displaystyle h=1/r}$, son volume vaut donc ${\displaystyle V=\pi r^{2}h=\pi r}$

Lemme 4 : Chacun de ces cylindres a une surface latérale égale au quart de la surface de la sphère de rayon ${\displaystyle a{\sqrt {2}}}$ Lemme 5 : Chacun de ces cylindres a une surface latérale égale à l'aire du disque de rayon ${\displaystyle a{\sqrt {2}}}$

Pour cela, il complète la trompette par un « bouchon », c'est-à-dire un cylindre de rayon 1 et de hauteur 1 (donc de volume π), qui relie le plan Oyz et la base de la trompette. Il découpe ensuite son volume obtenu en cylindres coaxiaux d'épaisseur infinitésimale. Pour reprendre l'analogie, les feuilles de papiers successives ont été enroulées autour de l'axe des ${\displaystyle x}$. Il déplie ces cylindres en rectangle. Chaque rectangle a pour dimensions ${\displaystyle x\times 2\pi y}$, comme le produit ${\displaystyle xy}$ est constant, tous les rectangles ont la même aire : 2π. Il déforme alors chaque rectangle en disque de même aire, donc de rayon ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$. Il obtient ainsi un cylindre de hauteur 1 et de surface de base égale à ${\displaystyle 2\pi }$, donc de volume égal à ${\displaystyle 2\pi }$. Il lui suffit alors d'enlever le volume connu du «bouchon» pour trouver le volume de la trompette : ${\displaystyle \pi }$. Au passage, le volume de la corne est égal à celui du « bouchon », ce qui est un autre résultat remarquable[8].

• Calcul du volume par Torricelli
• 
  étape 1.
• 
  étape 2.
• 
  étape 3.

La validité de la méthode des indivisibles ne faisant pas l'unanimité, Torricelli double son calcul du volume par un raisonnement par exhaustion. Cette méthode est utilisée depuis Euclide et donc à même de rassurer les géomètres les plus conservateurs. Elle consiste à faire deux démonstrations par l'absurde, démontrant l'une que le volume ne peut pas être supérieur au résultat recherché, l'autre qu'il ne peut pas être inférieur. Cette méthode est rigoureuse, mais elle nécessite de connaitre déjà le résultat, elle est donc utilisée pour consolider une valeur obtenue par d'autres méthodes.

À partir de la fin 1641, Torricelli partage cette découverte avec d'autres mathématiciens, à commencer par Cavalieri, dont il fut élève.

Il double sa démonstration par un raisonnement par exhaustion. Roberval, par la suite, fournit une démonstration que Torricelli reconnait être plus ingénieuse[8].

Qu'un solide de longueur infinie puisse posséder un volume fini semble contre-intuitif aux mathématiciens de l'époque et suscite de nombreuses correspondances sur le sujet du fini et de l'infini[10]. Cavalieri s'en étonne, et Roberval met d'abord en doute le résultat de Torricelli[10].

Page 93 de l'Opera geometrica.

En 1644, Torricelli publie l'Opera geometrica, ouvrage imprimé de géométrie. Il y inclut un chapitre sur le solide hyperbolique aigu, et le paradoxe est ainsi diffusé bien au-delà du petit cercle de mathématiciens qui avait échangé sur le sujet jusque-là[8].

Ce résultat suscite l'admiration de Gassendi. Il remet en cause la définition du solide chez Barrow et Mersenne. Il inspire à Pascal cette réflexion : « Incompréhensible. Tout ce qui est incompréhensible ne laisse pas d'être. Le Nombre infini. Un espace infini égal au fini. »[8] Le père Pardies, dans la préface de ses Elemens de Geométrie en 1671, en fait une preuve de l'existence de Dieu[10]. Ce résultat déstabilise Descartes dans ses convictions sur l'infini et suscite un débat entre Hobbes et Wallis[10].

Gâteau de mariage de Gabriel.

Le gâteau de mariage de Gabriel est une variante de la trompette. Elle remplace la fonction hyperbole par une fonction en paliers, qui pour x positif vaut :

${\displaystyle y(x)={\frac {1}{E(x)+1}}}$

Où E(x) dénote la partie entière. Le solide obtenu est donc un empilement infini de cylindres dont les rayons sont les inverses des entiers. La surface de cette figure se calcule en additionnant les surfaces latérales des cylindres, plus les parties verticales qui se complètent à l'infini en un cercle de rayon 1 : ${\displaystyle S=\pi +\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {\pi }{n}}}$ On retrouve donc la série harmonique, qui diverge, la surface est infinie.

Le volume est fini, il se calcule simplement en sommant la surface des cylindres de hauteur 1 et de rayon ${\displaystyle 1/n}$ : ${\displaystyle V=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {\pi }{n^{2}}}}$

On retrouve, au facteur π près, la série du problème de Bâle, on a donc ${\displaystyle V={\frac {\pi ^{3}}{6}}}$. Le gâteau de mariage de Gabriel, apporté en complément de la trompette, a une certaine valeur pédagogique, pour introduire les comparaisons entre sommes continues (intégrales) et sommes discrètes (séries)[11].

On peut généraliser quelque peu la trompette de Gabriel simplement en appliquant un exposant p au dénominateur. La fonction génératrice devient : ${\displaystyle y(x)={\frac {1}{x^{p}}}}$ Il se démontre alors, en écrivant sous forme d'intégrales le volume et la surface, que :

• La surface est finie si et seulement si ${\displaystyle p>1}$
• Le volume est fini si et seulement si ${\displaystyle p>{\frac {1}{2}}}$

Le paradoxe se retrouve donc, pour toute valeur p comprise dans l'intervalle ${\displaystyle ]{\frac {1}{2}},1]}$[12].

Surface de Kenicky (2006).

Si la trompette de Gabriel n'est pas bornée en x, il existe des solides de révolution qui ont une surface infinie, un volume fini, et une longueur finie. Un tel objet est proposé par Mark Lynch en 2005. Il s'agit du solide de révolution généré par une fonction qui, à l'approche de 0, présente des oscillations de plus en plus petites en amplitude, mais d'une période de plus en plus courte[13]. La fonction utilisée par Lynch est définie par morceau. Une variante publiée en 2006 utilise une fonction continue et dérivable. Le volume est présenté ci-contre, de même qu'une partie de la fonction sur l'interval de 0 à 0,3. La fonction génératrice est :

${\displaystyle f(x)=2+{\frac {x}{ln(x)}}sin({\frac {1}{x}})}$, prolongée avec ${\displaystyle f(0)=2}$[14].

La corne de Gabriel peut se généraliser dans un hyperspace de dimension quelconque. Cette généralisation n'a été étudiée que dans les années 2000. Si une hyperbole de dimension n, générée par la fonction ${\displaystyle y=x^{-p}}$, est utilisée pour générer, par rotation autour de son asymptote, une hypersurface en dimension n+1, alors, on retrouve le paradoxe (hypersurface infinie et hypervolume fini), pour toute valeur de p vérifiant[1] : ${\displaystyle {\frac {1}{n}}<p\leq {\frac {1}{n-1}}}$

À la même époque, Huygens et Sluse, étudiant la cissoïde, prouvent l'existence d'un récipient de volume fini et pouvant contenir un volume infini. Il s'agit d'un « vase » obtenu par rotation de la surface comprise entre la cissoïde et son asymptote autour de l'axe parallèle à l'asymptote passant par le sommet de la cissoïde. Cette figure a parfois été présentée à tort comme la réciproque de la trompette de Gabriel, mais cette description est trompeuse, car on compare ici deux volumes, et non une surface et un volume[15].

La véritable réciproque de la trompette de Gabriel serait un objet de surface finie englobant un volume infini, mais aucun objet de ce type n'existe (en géométrie euclidienne). il est même prouvé qu'un solide d'un volume donné a forcément une surface supérieure ou égale à celle de la sphère de même volume[16].

Les objets à structure fractale présentent eux aussi des paradoxes comme celui d'une surface infinie pour un volume fini, mais arrivent à cette propriété en possédant une structure locale infiniment complexe. Des parallèles peuvent être établis avec la trompette de Gabriel : par exemple le Flocon de Koch présente le même paradoxe dit du peintre[17].