Trou noir de Schwarzschild

En astrophysique, le trou noir de Schwarzschild[1] est, par définition, un trou noir :

de masse $M$ strictement positive : $M>0$ ;
dont la charge électrique $Q$ est nulle : $Q=0$ ;
dont le moment cinétique $J$ est nul : $J=0$ , c'est-à-dire qui n'est pas en rotation ;
dont la singularité gravitationnelle est ponctuelle ;
dont l'horizon des événements est une hypersurface de rayon $R_{h}$ égal au rayon de Schwarzschild $R_{s}$ : $R_{h}=R_{s}$ ;
dont l'ergosphère est confondue avec l'horizon des événements, de sorte qu'il n'existe pas d'ergorégion[2].

Plus formellement, c'est le trou noir obtenu en résolvant l'équation d'Einstein de la relativité générale, pour une masse immobile, sphérique, qui ne tourne pas et sans charge électrique. La métrique satisfaisant à ces conditions est alors appelée la métrique de Schwarzschild.

Le trou noir de Schwarzschild s'interprète comme l'« état fondamental » — c'est-à-dire comme l'« état de plus basse énergie possible » — d'un trou noir de masse donnée[3]. Il représente l'état final d'un trou noir de Kerr de l'ergorégion duquel toute l'énergie de rotation aurait été extraite par processus de Penrose[4]^,[5]^,[6].

Historique

L'éponyme[7] du trou noir de Schwarzschild[8] est l'astronome allemand Karl Schwarzschild (1873-1916).

Le terme de trou noir "black hole" est inventé en 1967 par le physicien américain John Wheeler. Il avait déjà été imaginé au XVIII^e siècle par Laplace : « Un astre lumineux de même diamètre que la Terre, dont la densité serait deux cent cinquante fois plus grande que celle du Soleil, ne laisserait en vertu de son attraction, parvenir aucun de ses rayons jusqu’à nous ». Cette idée n’a rien à voir ni avec la relativité générale ni avec Schwarzschild puisque prévu par la mécanique newtonienne.

La métrique de Schwarzschild, de laquelle dérivent les solutions de l'équation d'Einstein qu'on identifie aux trous noirs de Schwarzschild, a été obtenue la première fois par Schwarzschild, peu après la publication de la théorie de la relativité générale par Albert Einstein en 1915.

Propriétés

Masse

La masse $M$ d'un trou noir de Schwarzschild est un nombre réel positif non nul : $M\in \mathbb {R} _{+}^{*}$ , soit $\left\{M\in \mathbb {R} \mid M>0\right\}$ [9]. En effet, avec une masse négative, la métrique de Schwarzschild exhibe une singularité nue[9].

La masse $M$ d'un trou noir de Schwarzschild est égale à la masse irréductible $M_{irr}$ d'un trou noir de Kerr[10].

Dernière orbite circulaire stable

Le rayon de la dernière orbite circulaire stable ( $r ISCO$ ) sur laquelle une particule massive peut se mouvoir autour d'un trou noir de Schwarzschild est donnée par[11]^,[12] :

$r_{\mathrm {ISCO} }={\frac {6GM}{c^{2}}}$ .

Horizon des événements

L'aire de l'horizon des événements ( $A H$ ) d'un trou noir de Schwarzschild est celle d'une sphère ( $A H = 4πr 2$ ) dont le rayon aréolaire ( $r = \sqrt A H / 4π$ ) est, par définition, le rayon de Schwarzschild ( $R S = 2GM / c 2$ )[13]^,[14]^,[15] :

$A_{\mathrm {H} }=4\pi R_{\mathrm {S} }^{2}={\frac {16\pi G^{2}M^{2}}{c^{4}}}$ .

À l'horizon des événements, la gravité de surface ( $κ H$ ) est donnée par[16] :

$\kappa _{\mathrm {H} }={\frac {GM}{R_{\mathrm {S} }^{2}}}={\frac {c^{4}}{4GM}}$ .

Singularité

La singularité gravitationnelle, localisée au-delà de l'horizon, est ponctuelle, future, du genre espace[17].

Théorème de Birkhoff

Un théorème remarquable dû à Birkhoff affirme que la métrique de Schwarzschild est l'unique solution aux équations d'Einstein dans le vide possédant la symétrie sphérique. Comme la métrique de Schwarzschild est également statique, ceci montre qu'en fait dans le vide toute solution sphérique est automatiquement statique[N 1].

Ce théorème a une conséquence importante :

Un trou noir de Schwarzschild dans le vide, n'étant pas soumis à une quelconque interaction, ne peut pas émettre d'onde gravitationnelle.

Théorème de calvitie

Le théorème de calvitie dit la chose suivante :

Un trou noir est entièrement décrit par trois paramètres essentiels, qui à eux seuls, permettent de retrouver tous les autres :

la masse
la charge électrique
sa rotation (son moment angulaire)

Lorsqu'une étoile s'effondre en un trou noir, les valeurs des paramètres cités au-dessus sont conservées. Ce qui veut dire qu'un trou noir de Schwarzschild, de masse M, de charge nulle et de moment angulaire nul est né à partir d'une étoile ayant un moment angulaire nul, de charge nulle et ayant la même masse.

La nécessité d'avoir une étoile de charge et de moment angulaire nuls font que, dans l'absolu, ce genre de trou noir est plus théorique qu'autre chose. Cependant, en pratique, ce modèle reste satisfaisant pour la plupart des trous noirs d'origine stellaire, la charge réelle d'une étoile étant faible et sa vitesse de rotation négligeable par rapport à la vitesse de la lumière.

Tous les autres paramètres que les trois cités au-dessus, comme la température, sa pression... disparaissent. On ne peut donc, à partir d'un trou noir dont on connaît masse, charge et moment angulaire, retrouver les autres paramètres de l'étoile génitrice.

Notes et références

Notes

Précisons toutefois que ce théorème s'applique uniquement dans un espace à quatre dimensions. Si l'espace-temps possède plus de dimensions alors il est possible de trouver des solutions sphériques et non statiques en général.

Références

Entrée « trou noir de Schwarzschild », dans Richard Taillet, Pascal Febvre et Loïc Villain, Dictionnaire de physique, Bruxelles, De Boeck Université, 2009, XII-741 p. (ISBN 978-2-8041-0248-7, BNF 42122945), p. 561, lire en ligne
Éric Gourgoulhon, Relativité générale, Paris, Observatoire de Paris, universités Paris-VI, Paris-VII et Paris-XI, École normale supérieure, 2013 (lire en ligne [PDF]), p. 134
Guidry 2019, chap. 17, sect. 17.3, § 17.3.5, p. 386.
Chow 2007, chap. 6, sect. 6.4,§ 6.4.2, p. 93.
Ferrari, Gualtieri et Pani 2020, chap. 2, sect. 20.1, p. 450.
Ohanian et Ruffini 2013, chap. 8, sect. 8.5, p. 354.
Ridpath 2012, s.v.black hole, p. 57.
Taillet, Villain et Febvre 2013, s.v.trou noir de Schwarzschild, p. 700, col. 2.
Choquet-Bruhat 2008, chap. IV, sect. 5, p. 78.
Deruelle et Uzan 2018, liv. 2, part. II, chap. 9, § 9.1, p. 494.
Maggiore 2018, § 14.2.2, p. 227.
Shäfer 2015, § 7.2, p. 611.
Alekseev, Polychronakos et Smedbäck 2003, p. 296, col. 1.
Chow 2007, chap. 6, sect. 6.4, § 6.4.2, p. 93.
Romero et Vila 2013, chap. 3, § 3.2, p. 84.
Kiefer 2012, chap. 1^er, sect. 1.1, § 1.1.5, p. 14.
Taillet, Villain et Febvre 2013, s.v.singularité (2), p. 627, col. 2.

Voir aussi

Bibliographie

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Dictionnaires

[Ridpath 2012] (en) I. Ridpath, A dictionary of astronomy [« Un dictionnaire d'astronomie »], Oxford, OUP, coll. « OPR », sept. 2007 (réimpr. rév. janv. 2012), 2^e éd. (1^re éd. nov. 1997), 1 vol., VII-534, ill., 19,6 cm (ISBN 978-0-19-960905-5, EAN 9780199609055, OCLC 800887673, DOI 10.1093/acref/9780199609055.001.0001, SUDOC 15975366X, présentation en ligne, lire en ligne), s.v.Schwarzschild black hole [« Trou noir de Schwarzschild »], p. 413.
[Taillet, Villain et Febvre 2013] R. Taillet, L. Villain et P. Febvre, Dictionnaire de physique, Bruxelles, De Boeck Sup., hors coll., fév. 2013, 3^e éd. (1^re éd. mai 2008), 1 vol., X-899, ill. et fig., 24 cm (ISBN 978-2-8041-7554-2, EAN 9782804175542, OCLC 842156166, BNF 43541671, SUDOC 167932349, lire en ligne), s.v.trou noir de Schwarzschild, p. 700-701.

Ouvrages fondamentaux

[Misner, Thorne et Wheeler 1973] (en) Charles W. Misner, Kip S. Thorne et John A. Wheeler, Gravitation [« Gravitation »], San Francisco, W. H. Freeman, hors coll., 1973, 1^re éd., XXVI-1279 p., 20 × 25 cm (ISBN 0-7167-0334-3 et 0-7167-0344-0, EAN 9780716703341, OCLC 300307879, BNF 37391055, Bibcode 1973grav.book.....M, SUDOC 004830148, présentation en ligne, lire en ligne).

Articles connexes

Liens externes

(en) « Schwarzschild black hole » [« Trou noir de Schwarzschild »], sur scienceworld.wolfram.com d'Eric W. Weisstein.
Notices d'autorité :
- Bibliothèque du Congrès

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[18] Précisons toutefois que ce théorème s'applique uniquement dans un espace à quatre dimensions. Si l'espace-temps possède plus de dimensions alors il est possible de trouver des solutions sphériques et non statiques en général.

[1] Entrée « trou noir de Schwarzschild », dans Richard Taillet, Pascal Febvre et Loïc Villain, Dictionnaire de physique, Bruxelles, De Boeck Université, 2009, XII-741 p. (ISBN 978-2-8041-0248-7, BNF 42122945), p. 561, lire en ligne

[2] Éric Gourgoulhon, Relativité générale, Paris, Observatoire de Paris, universités Paris-VI, Paris-VII et Paris-XI, École normale supérieure, 2013 (lire en ligne [PDF]), p. 134

[Guidry2019386<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;17</span>,_<span_class="nowrap">sect._17.3</span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;17.3.5</span>-3] Guidry 2019, chap. 17, sect. 17.3, § 17.3.5, p. 386.

[Chow200793<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;6</span>,_<span_class="nowrap">sect._6.4</span>,<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;6.4.2</span>-4] Chow 2007, chap. 6, sect. 6.4,§ 6.4.2, p. 93.

[FerrariGualtieriPani2020450<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;2</span>,_<span_class="nowrap">sect._20.1</span>-5] Ferrari, Gualtieri et Pani 2020, chap. 2, sect. 20.1, p. 450.

[OhanianRuffini2013354<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;8</span>,_<span_class="nowrap">sect._8.5</span>-6] Ohanian et Ruffini 2013, chap. 8, sect. 8.5, p. 354.

[Ridpath_2012Ridpath_201257''<abbr_class="abbr_"_title="sub_verbo_(«_à_l'article_»)"_>s.v.</abbr>''<span_class="lang-en"_lang="en">black_hole</span>-7] Ridpath 2012, s.v.black hole, p. 57.

[TailletVillainFebvre2013700,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="colonne(s)"_>col.</abbr>&nbsp;2</span>''<abbr_class="abbr_"_title="sub_verbo_(«_à_l'article_»)"_>s.v.</abbr>''trou_noir_de_Schwarzschild-8] Taillet, Villain et Febvre 2013, s.v.trou noir de Schwarzschild, p. 700, col. 2.

[Choquet-Bruhat200878<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;<abbr_class="abbr_"_title="4"_><span_class="romain"_style="text-transform:uppercase">IV</span></abbr></span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="section(s)"_>sect.</abbr>_5</span>-9] Choquet-Bruhat 2008, chap. IV, sect. 5, p. 78.

[DeruelleUzan2018494<abbr_class="abbr_"_title="livre"_>liv.</abbr>&nbsp;2,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="partie(s)"_>part.</abbr>_<abbr_class="abbr_"_title="2"_><span_class="romain"_style="text-transform:uppercase">II</span></abbr></span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;9</span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;9.1</span>-10] Deruelle et Uzan 2018, liv. 2, part. II, chap. 9, § 9.1, p. 494.

[Maggiore2018227<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;14.2.2</span>-11] Maggiore 2018, § 14.2.2, p. 227.

[Shäfer2015611<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;7.2</span>-12] Shäfer 2015, § 7.2, p. 611.

[AlekseevPolychronakosSmedbäck2003296,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="colonne(s)"_>col.</abbr>&nbsp;1</span>-13] Alekseev, Polychronakos et Smedbäck 2003, p. 296, col. 1.

[Chow200793<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;6</span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="section(s)"_>sect.</abbr>_6.4</span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;6.4.2</span>-14] Chow 2007, chap. 6, sect. 6.4, § 6.4.2, p. 93.

[RomeroVila201384<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;3</span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;3.2</span>-15] Romero et Vila 2013, chap. 3, § 3.2, p. 84.

[Kiefer201214<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;<abbr_class="abbr"_title="Premier">1<sup>er</sup></abbr></span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="section(s)"_>sect.</abbr>_1.1</span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;1.1.5</span>-16] Kiefer 2012, chap. 1^er, sect. 1.1, § 1.1.5, p. 14.

[TailletVillainFebvre2013627,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="colonne(s)"_>col.</abbr>&nbsp;2</span>''<abbr_class="abbr_"_title="sub_verbo_(«_à_l'article_»)"_>s.v.</abbr>''singularité_(2)-17] Taillet, Villain et Febvre 2013, s.v.singularité (2), p. 627, col. 2.