Comment calculer l'incertitude d'une mesure

Chacun d'entre nous est ou sera, amené(e) à prendre des mesures (longueur d'un meuble, temps de parcours, etc.). Parfois, on peut avoir besoin de connaitre l'incertitude de nos mesures. Si vous mesurez plusieurs fois et que vous trouvez chaque fois un chiffre différent, comment savoir quelle mesure est la bonne ? On peut supposer que la « vraie valeur » se trouve dans cette série de mesures. Pour calculer l'incertitude de vos mesures, il vous faut la meilleure estimation possible de votre mesure à laquelle on affectera un certain degré, en plus ou en moins, d'incertitude.

Partie 1
Partie 1 sur 3:

Apprendre quelques éléments de base

  1. Image intitulée Calculate Uncertainty Step 1
    1
    Établissez correctement l'incertitude. Admettons que vous ayez à mesurer un bâton qui a 4,2 cm de longueur, à un millimètre près. Cela signifie que vous savez que le bâton mesure 4,2 cm, mais il se peut qu'il soit un peu plus petit ou un peu plus grand, avec une erreur d'un millimètre.
    • L'incertitude s'établit comme suit : 4,2 cm ± 0,1 cm. Vous pouvez également l'écrire sous la forme : 4,2 cm ± 1 mm, 0,1 cm valant 1 mm.
  2. Image intitulée Calculate Uncertainty Step 2
    2
    Arrondissez toujours la mesure à la même décimale que l'incertitude. Les mesures qui sont données avec une incertitude sont généralement arrondies à un ou deux chiffres significatifs. Partant de là, pour être cohérent(e), il faut que votre mesure soit au même degré de précision que votre incertitude de lecture ou l'inverse. Si votre incertitude est au dixième, votre mesure doit être donnée au dixième.
    • Si votre mesure est de 60 cm, alors l'incertitude doit être arrondie à un nombre entier. Par exemple, l'incertitude de cette mesure doit se présenter ainsi : 60 cm ± 2 cm et non : 60 cm ± 2,2 cm.
    • Si votre mesure est de 3,4 cm, alors l'incertitude doit être donnée à 0,1 cm. Par exemple, l'incertitude de cette mesure doit se présenter ainsi : 3,4 cm ± 0,1 cm et non : 3,4 cm ± 1 cm.
  3. Image intitulée Calculate Uncertainty Step 3
    3
    Calculez l'incertitude d'une mesure unique. Admettons que vous vouliez mesurer le diamètre d'une balle avec une règle. La mesure va être difficile parce qu'on affaire à un objet sphérique. Au mieux, votre règle vous permettra d'apprécier le dixième de centimètre (0,1 cm), ce qui ne signifie pas que vous allez pouvoir mesurer le diamètre à ce niveau de précision [1]  !
    • Inspectez les bords de la balle et la règle pour avoir une idée de la façon dont vous allez pouvoir mesurer correctement ce diamètre. Sur une règle classique, les traits du demi-centimètre (0,5 cm) apparaissent clairement, mais disons que vous pouvez obtenir un résultat un peu plus précis que ça. S'il vous semble que vous pouvez faire une lecture de 0,3 cm, alors votre incertitude sera de 0,3 cm.
    • Maintenant, mesurez le diamètre de la balle. Admettons que vous lisiez environ 7,6 cm. Il suffit de donner cette mesure avec son incertitude. Le diamètre de la balle est de : 7,6 cm ± 0,3 cm.
  4. Image intitulée Calculate Uncertainty Step 4
    4
    Calculez l'incertitude de la mesure d'un seul objet composant une série homogène. Pour être clair, partons d'une pile de 10 boitiers de CD absolument identiques. Vous voulez mesurer l'épaisseur d'un seul boitier. Cette mesure est tellement petite que votre pourcentage d'incertitude sera trop élevé si vous mesurez un seul boitier. Mais si vous mesurez une pile de 10 boitiers de CD, il vous suffit de diviser la hauteur totale et l'incertitude de cette mesure par le nombre de CD pour trouver une épaisseur assez proche de la réalité [2] .
    • Admettons que vous ne puissiez faire mieux qu'une mesure à 0,2 cm près à cause de la règle que vous utilisez : votre incertitude est de ± 0,2 cm.
    • Supposons que vous ayez mesuré une pile de 10 boitiers de CD sur une hauteur de 22 cm.
    • Maintenant, il vous suffit de diviser la mesure et l'incertitude par 10, le nombre de CD. Cela nous donne : 22 cm/10 = 2,2 cm et 0,2 cm/10 cm = 0,02 cm. Au final, on peut dire que l'épaisseur d'un boitier de CD est de : 2,20 cm ± 0,02 cm.
  5. Image intitulée Calculate Uncertainty Step 5
    5
    Prenez la même mesure plusieurs fois. Pour diminuer l'incertitude de vos mesures, que ce soit dans le cas d'une mesure de longueur ou de temps, vous augmentez vos chances d'obtenir une mesure précise si vous prenez plusieurs fois la même mesure. Avec le calcul de la moyenne de toutes vos mesures, vous allez vous approcher de la mesure réelle en diminuant l'incertitude, liée à la lecture.
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Partie 2
Partie 2 sur 3:

Calculer l'incertitude de mesures multiples

  1. Image intitulée Calculate Uncertainty Step 6
    1
    Prenez plusieurs mesures. Admettons que vous vouliez calculer combien le temps que met une balle pour tomber de la table au sol. Pour obtenir un résultat fiable, vous devrez faire tomber la balle plusieurs fois, disons cinq, voire plus. Ensuite, vous devrez trouver la moyenne des cinq temps, puis vous ajouterez ou soustrairez l'écart-type pour déterminer la durée avec son incertitude [3] .
    • Disons que vous avez mesuré les cinq durées de temps suivantes : 0,43 s ; 0,52 s ; 0,35 s ; 0,29 s ; 0,49 s.
  2. Image intitulée Calculate Uncertainty Step 7
    2
    Calculez la moyenne de ces mesures. Maintenant, calculez la moyenne en additionnant les cinq mesures et en divisant le tout par 5, le nombre de mesures. 0,43 s + 0,52 s + 0,35 s + 0,29 s + 0,49 s = 2,08 s. Maintenant, divisez 2,08 par 5 ; 2,08/5 = 0,42 s. Le délai moyen est donc de 0,42 s.
  3. Image intitulée Calculate Uncertainty Step 8
    3
    Trouvez la variance de votre série. Pour ce faire, d'abord, calculez la différence entre chacune des cinq mesures de votre série et la moyenne. Pour ce faire, il suffit de soustraire 0,42 à chaque mesure. Ce qui donne [4]  :
    • 0,43 s - 0,42 s = 0,01 s
      • 0,52 s - 0,42 s = 0,1 s
      • 0,35 s - 0,42 s = -0,07 s
      • 0,29 s - 0,42 s = -0,13 s
      • 0,49 s - 0,42 s = 0,07 s
      • Maintenant, ajoutez les carrés de ces différences : (0,01 s) 2 + (0,1 s) 2 + (-0,07 s) 2 + (-0,13 s) 2 + (0,07 s) 2 = 0,037 s.
      • Trouvez la moyenne de cette série en divisant le résultat par 5 ; 0,037 s/5 = 0,0074 s. Ce chiffre est votre variance.
  4. Image intitulée Calculate Uncertainty Step 9
    4
    Trouvez l'écart-type. Pour trouver l'écart-type, il suffit de prendre la racine carrée de la variance. La racine carrée de 0,0074 s = 0,09 s, donc l'écart-type est de 0,09 s [5] .
  5. Image intitulée Calculate Uncertainty Step 10
    5
    Indiquez alors la mesure finale. Pour ce faire, indiquez simplement la moyenne des mesures avec son écart-type en plus ou en moins. Dans notre exemple, la moyenne de la série est de 0,42 s et l'écart-type est de 0,09 s, la mesure finale se présente ainsi : 0,42 s ± 0,09 s.
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Partie 3
Partie 3 sur 3:

Effectuer des opérations arithmétiques avec des mesures incertaines

  1. Image intitulée Calculate Uncertainty Step 11
    1
    Additionnez des mesures incertaines. Pour ajouter des mesures données avec une incertitude, il suffit d'ajouter et les mesures et leurs incertitudes :
    • (5 cm ± 0,2 cm) + (3 cm ± 0,1 cm) =
    • (5 cm + 3 cm) ± (0,2 cm + 0,1 cm) =
    • 8 cm ± 0,3 cm
  2. Image intitulée Calculate Uncertainty Step 12
    2
    Soustrayez des mesures incertaines. Pour soustraire des mesures données avec une incertitude, il suffit de soustraire les mesures tout en ajoutant leurs incertitudes :
    • (10 cm ± 0,4 cm) - (3 cm ± 0,2 cm) =
    • (10 cm - 3 cm) ± (0,4 cm + 0,2 cm) =
    • 7 cm ± 0,6 cm
  3. Image intitulée Calculate Uncertainty Step 13
    3
    Multipliez des mesures incertaines. Pour multiplier des mesures données avec une incertitude, il suffit de multiplier les mesures tout en ajoutant leurs incertitudes :
    • (6 cm ± 0,2 cm) = (0,2 / 6) x 100 puis ajoutez un signe %. Cela fait 3,3 %, donc...
    • (6 cm ± 0,2 cm) x (4 cm ± 0,3 cm) = (6 cm ± 3,3 % ) x (4 cm ± 7,5 %)
    • (6 cm x 4 cm) ± (3,3 cm + 7,5 cm) =
    • 24 cm ± 10,8 cm = 24 cm ± 2,6 cm
  4. Image intitulée Calculate Uncertainty Step 14
    4
    Divisez des mesures incertaines. Pour diviser des mesures données avec une incertitude, il suffit de diviser les mesures tout en ajoutant leurs incertitudes :
    • (10 cm ± 0,6 cm) ÷ (5 cm ± 0,2 cm) = (10 cm ± 6 %) ÷ (5 cm ± 4 %)
    • (10 cm ÷ 5 cm) ± (6 % + 4 %) =
    • 2 cm ± 10 % = 2 cm ± 0,2 cm
  5. Image intitulée Calculate Uncertainty Step 15
    5
    Élevez une mesure incertaine à une puissance donnée. Pour élever une mesure, donnée avec une incertitude, à une puissance donnée, élevez la mesure à la puissance indiquée, puis multipliez l'incertitude par cette puissance :
    • (2 cm ± 1 cm)3 =
    • (2 cm)3 ± (50 %) x 3 =
    • 8 cm3 ± 150 % ou 8 cm3 ± 3 cm3
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Conseils

  • Vous pouvez déterminer l'incertitude de chaque donnée d'une série ou l'incertitude d'une série de données. En règle générale, les données calculées à partir de plusieurs mesures sont moins fiables que les données tirées directement de mesures individuelles.
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Avertissements

  • La vraie science ne parle jamais de « faits » ou de « vérité ». Il y a de grandes chances pour que vos mesures tombent dans votre fourchette d'incertitude, il n'est cependant pas garanti qu'il en soit vraiment ainsi. Une mesure scientifique n'est pas infaillible !
  • L'incertitude telle que celle décrite ici n'est applicable que si on a une série dite de Gauss (répartition des données en forme de « cloche »). Les autres distributions de nombres nécessitent une autre méthode de calcul de l'incertitude.
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Références

  1. ↑ http://www2.southeastern.edu/Academics/Faculty/rallain/plab194/error.html
  2. ↑ http://www2.southeastern.edu/Academics/Faculty/rallain/plab194/error.html
  3. ↑ http://www2.southeastern.edu/Academics/Faculty/rallain/plab194/error.html
  4. ↑ http://www.mathsisfun.com/data/standard-deviation.html
  5. ↑ http://www.mathsisfun.com/data/standard-deviation.html

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