تداخل خطي (إحصاء)

طريقة المربعات الصغرى في تقدير المعاملات ${\displaystyle \beta }$ تفترض أن مصفوفة الارتباط ${\displaystyle R}$ (مصفوفة معاملات الارتباط ${\displaystyle (p+1)\times (p+1)}$) قابلة للعكس، أي أن رتبتها تساوي ${\displaystyle p+1}$ (أي لها ${\displaystyle p+1}$ قيمة ذاتية موجبة قطعا):

${\displaystyle \beta ={\frac {1}{n}}R^{-1}{\widehat {X}}^{t}{\widehat {Y}}=R^{-1}r}$.

حالة التداخل الخطي التام هي التي تكون فيها ${\displaystyle R}$ غير قابلة للعكس أي: ${\displaystyle Rank(X^{t}X)<p+1}$ أو قيمة واحدة أو أكثر من قيمها الذاتية منعدمة.[4]

حالة التداخل الخطي الحاد تكون إذا كان محدد مصفوفة التغاير قريبا من ${\displaystyle det(X^{t}X)\approx 0}$ وهو ما يعني بأن معكوسة مصفوفة التغاير تضم قيما جد مرتفعة، ونفس الأمر بالنسبة لمصفوفة تغاير القيم المقدرة لمعاملات النموذج ${\displaystyle {\widehat {\Omega _{\widehat {\beta }}}}={\widehat {\sigma }}_{\varepsilon }^{2}(X^{t}X)^{-1}}$. بالتالي تتخذ إحصائية اختبار ستيودنت ${\displaystyle t_{{\widehat {\beta }}_{j}}={\frac {{\widehat {\beta }}_{j}}{{\widehat {\sigma }}_{{\widehat {\beta }}_{j}}}}}$ لاختبار المغزى الإحصائي للمعاملات قيما ضعيفة مما يدفع إلى إقصاء المتغير الموافق ${\displaystyle X_{j}}$ من النموذج.[3]

وهي قاعدة اعتباطية (ليست باختبار إحصائي) تقضي بوجود تداخل خطي لمتغيرين ${\displaystyle X_{j_{1}}}$ و${\displaystyle X_{j_{2}}}$ إذا كان مربع معامل ارتباطهما أكبر من معامل تحديد النموذج ${\displaystyle r_{j_{1},j_{2}}^{2}\gtrsim R^{2}}$.[6]

قاعدة كلاين تسمح فقط بترشيح المتغيرات التي يمكن أن تكون مفسرة للتداخل الخطي بشكل ثنائي. من أجل تقييم عام للتداخل الخطي، من الضروري نمذجة كل متغير مستقل ${\displaystyle X_{j}}$ بدلالة ال (${\displaystyle p-1}$) متغيرات الأخرى واعتبار معامل التحديد الموافق ${\displaystyle R_{j}^{2}}$.

يعرف عامل تضخم التباين بالصيغة التالية: ${\displaystyle v_{j}={\frac {1}{1-R_{j}^{2}}}}$ وترجع تسميته بمعامل التضخم لأن قيمته تدخل في حساب الانحراف المعياري لمقدرات معاملات النموذج: ${\displaystyle V({\widehat {\beta }}_{j})={\frac {\sigma _{\varepsilon }^{2}}{n}}v_{j}}$ وبالتالي كلما كبرت قيمة ${\displaystyle v_{j}}$، تزايد عدم استقرار مقدر المعامل ${\displaystyle \beta _{j}}$ مما يقلل حظوظه في أن ينجح في اختبار المغزى الإحصائي لعدم مساواته 0.

المقدار ${\displaystyle 1-R_{j}^{2}}$ يعرف بمستوى تحمل التداخل الخطي (Tolerance).

يتم تعريف عتبة للإقرار بمسؤولية ${\displaystyle X_{j}}$ في التسبب في حالة تداخل خطي، العتبات المتعارف عليها يمكن أن تساوي بالنسبة لعامل التضخم ${\displaystyle v_{j}}$ 4 أو 5 أو 10 (عامل تضخم 4 يوافق مستوى تحمل 0.25).[7]

عمليا، حساب ${\displaystyle p}$ نموذج انحدار خطي لكل متغير مستقل بدلالة المتغيرات المفسرة الأخرى قد يكون مرهقا. يمكن البرهنة على أن المصفوفة العكسية لمصفوفة الارتباط يكون قطرها مشكلا من القيم ${\displaystyle v_{j}}$: ${\displaystyle v_{j}=(X^{t}X)_{(j,j)}^{-1}}$.

يمكن الكشف عن التداخل الخطي عبر مقارنة إشارة معامل ارتباط ${\displaystyle X_{j}}$ والتابع ${\displaystyle Y}$ (بعد التأكد من مغزاها الإحصائي) مع إشارة معامل النموذج المقدر ${\displaystyle {\widehat {\beta }}_{j}}$.

إذا كانت ${\displaystyle sgn(r_{Y,X_{j}})\not \equiv sgn({\widehat {\beta }}_{j})}$ فذلك يعني أن المتغير ${\displaystyle X_{j}}$ يقدم «تفسيرا» متناقضا للمتغير التابع وهو ما يرشحه بقوة لكي يكون مسؤولا عن تداخل خطي.

اختبار فارار وغلاوبر (Farrar & Glauber)، الذي نشر سنة 1967، يمكن من اختبار وجود التداخل الخطي بطريقة شاملة، ويفترض أن يتم تطبيقه كشكل من التصديق النهائي على «سلامة» النموذج بعد استيفاء الاختبارات السابقة. الفرضية المنعدمة المختبرة هي:

• ${\displaystyle H_{0}}$: استقلالية المتغيرات المفسرة (أو تعامدها بالمعنى الجبري).

إحصائية الاختبار هي: ${\displaystyle S_{FG}=-(n-1-{\frac {1}{6}}(2p+5))}$ وهي موزعة وفق توزيع مربع خي ذي ${\displaystyle {\frac {p(p-1)}{2}}}$ درجات حرية: ${\displaystyle S_{FG}\backsim \chi _{\frac {p(p-1)}{2}}^{2}}$.[8]