زخم زاوي نسبي

للمرجع والخلفية، يعطي الزخم الزاوي صيغتان متعلقتان بالأمر.

في الميكانيكا الكلاسيكية، يُعرف الزخم الزاوي المداري للجسيم مع متجه الموضع اللحظي ثلاثي الأبعاد x) = x ، y ، z) ومتجه الزخم p_x) = p ، p_y ، p_z)، على أنه المتجه المحوري

${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {x} \times \mathbf {p} }$

الذي يضم ثلاثة مكونات يعطيها التبديل الدائري للاتجاهات الكارتيزية بشكل منظم (مثلًا تغيير x إلى y، y إلى z، z إلى x، مع التكرار)

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{x}&=yp_{z}-zp_{y}\,,\\L_{y}&=zp_{x}-xp_{z}\,,\\L_{z}&=xp_{y}-yp_{x}\,.\end{aligned}}}$

ومن التعريفات المتصلة بالموضوع هو تصور الزخم الزاوي المداري كعنصر مستوٍ. يمكن تحقيق ذلك عبر استبدال الضرب الخارجي بالضرب الاتجاهي في لغة الجبر الخارجي، ويصبح الزخم الزاوي موترًا مضاد للتناظر مضاد للتباين من الدرجة الثانية.[2]

${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {x} \wedge \mathbf {p} }$

أو بكتابة x = (x₁, x₂, x₃) = (x, y, z) ومتجه الزخم P = (P₁، P₂، P₃) = (p_x، p_y، p_z) يمكن اختصار المكونات بشكل مضغوط في تدوين مؤشر الموتر.

${\displaystyle L^{ij}=x^{i}p^{j}-x^{j}p^{i}}$

حيث المؤشرات i وj تأخذ قيمًا 1، 2، 3. على الجانب الآخر، يمكن أن تُعرض المكونات كاملةً بشكل نظامي في مصفوفة 3 × 3 مضادة للتماثل:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &={\begin{pmatrix}L^{11}&L^{12}&L^{13}\\L^{21}&L^{22}&L^{23}\\L^{31}&L^{32}&L^{33}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&L_{xy}&L_{xz}\\L_{yx}&0&L_{yz}\\L_{zx}&L_{zy}&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&L_{xy}&-L_{zx}\\-L_{xy}&0&L_{yz}\\L_{zx}&-L_{yz}&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0&xp_{y}-yp_{x}&-(zp_{x}-xp_{z})\\-(xp_{y}-yp_{x})&0&yp_{z}-zp_{y}\\zp_{x}-xp_{z}&-(yp_{z}-zp_{y})&0\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

هذه القيمة مضافة، وفي نظام معزول، يظل الزخم الزاوي الكلي للنظام محفوظًا.

في الميكانيكا الكلاسيكية، الكمية ثلاثية الأبعاد لجسيم ما كتلته m يتحرك بسرعة u.[2][3]

${\displaystyle \mathbf {N} =m\left(\mathbf {x} -t\mathbf {u} \right)=m\mathbf {x} -t\mathbf {p} }$

لها أبعاد لعزم الكتلة –حاصل ضرب الطول في الكتلة. وترتبط بالسرعة النسبية الإضافية لمركز الكتلة للجسيم أو نظام الجسيمات، كما قيس في الإطار المرجعي للمختبر. لا يوجد رمز واحد ولا حتى اسم واحد لهذه الكمية. قد يدونها العلماء برموز أخرى إن فعلوا (μ مثلاً)،وقد يبتكرون أسماء أخرى، وقد يعرفوا N على أنها سالب ما يُستخدم هنا. تتميز الصيغة المذكورة بالأعلى بأنها تشبه تحويل جاليليو المعتاد للموضع، وهو بدوره التحويل الإضافي غير النسبي بين الأُطر القصورية.

هذا المتجه مضاف أيضًا: ففي نظام جسيمات، يأتي الناتج المتجه من نتيجة ما يأتي:

${\displaystyle \sum _{n}\mathbf {N} _{n}=\sum _{n}m_{n}\left(\mathbf {x} _{n}-t\mathbf {u} _{n}\right)=\left(\mathbf {x} _{\mathrm {COM} }\sum _{n}m_{n}-t\sum _{n}m_{n}\mathbf {u} _{n}\right)=M_{\mathrm {TOT} }(\mathbf {x} _{\mathrm {COM} }-\mathbf {u} _{\mathrm {COM} }t)}$

حيث مركز كتلة الموضع والسرعة للنظام والكتلة الكلية هما على الترتيب

${\displaystyle \mathbf {x} _{\mathrm {COM} }={\frac {\sum _{n}m_{n}\mathbf {x} _{n}}{\sum _{n}m_{n}}}}$, ${\displaystyle \mathbf {u} _{\mathrm {COM} }={\frac {\sum _{n}m_{n}\mathbf {u} _{n}}{\sum _{n}m_{n}}}}$, ${\displaystyle M_{\mathrm {TOT} }=\sum _{n}m_{n}}$.

في نظام معزول، N محفوظة في الزمن، وهو ما يُرى من خلال الاشتقاق بالنسبة للزمن. الزخم الزاوي L متجه زائف بينما N متجه (قطبي) «عادي»، وهو لهذا ثابت أثناء الدورانات.

N_total الناتجة لنظام متعدد الجسيمات له الصورة الفيزيائية التي تقول أيًا تكن الحركة المعقدة لكل الجسيمات، فهي تتحرك بالطريقة التي يتحرك بها مركز الكتلة في خط مستقيم. لا يعني هذا بالضرورة أن كل الجسيمات «تتبع» مركز الكتلة، ولا أن كل الجسيمات تتحرك جميعًا تقريبًا في نفس الاتجاه في نفس الوقت، فحركة كل الجسيمات مقيدة فقط بما يتعلق بمركز الكتلة.

في النسبية الخاصة إذا كان هناك جسيم يتحرك بسرعة  uبالنسبة إلى إطار المختبر، إذن

${\displaystyle E=\gamma (\mathbf {u} )m_{0}c^{2},\quad \mathbf {p} =\gamma (\mathbf {u} )m_{0}\mathbf {u} }$

حيث

${\displaystyle \gamma (\mathbf {u} )={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}}}}}$

هو معامل لورنتز وm₀ هو كتلة سكون الجسيم. يستخدم بعض الكتاب الكتلة النسبية

${\displaystyle m=\gamma (\mathbf {u} )m_{0}}$

أو السرعة المحققة

${\displaystyle \mathbf {w} =\gamma (\mathbf {u} )\mathbf {u} }$

ويكون عزم الكتلة النسبي الموافق باستخدام رموز m₀، m، u، p، E في نفس الإطار المرجعي للمختبر

${\displaystyle \mathbf {N} =m\mathbf {x} -\mathbf {p} t={\frac {E}{c^{2}}}\mathbf {x} -\mathbf {p} t=\gamma (\mathbf {u} )m_{0}(\mathbf {x} -\mathbf {u} t)}$

ويُعرّف هنا بحيث تكون المعادلة النسبية بمصطلحات الكتلة النسبية والتعريف الكلاسيكي لهما نفس الصيغ. المكونات الديكارتية هي

${\displaystyle {\begin{aligned}N_{x}=mx-p_{x}t&={\frac {E}{c^{2}}}x-p_{x}t=\gamma (u)m_{0}(x-u_{x}t)\\N_{y}=my-p_{y}t&={\frac {E}{c^{2}}}y-p_{y}t=\gamma (u)m_{0}(y-u_{y}t)\\N_{z}=mz-p_{z}t&={\frac {E}{c^{2}}}z-p_{z}t=\gamma (u)m_{0}(z-u_{z}t)\end{aligned}}}$

يتجنب التعبير عن N من ناحية الطاقة-الكتلة النسبية والعزم بدلًا من كتلة السكون والسرعة عوامل لورنتز الزائدة. مع ذلك، لا يوافق بعض العلماء على الكتلة النسبية إذ أنها يمكن أن تكون كمية مضللة إذا طُبقت في معادلات معينة.