عودية (علم الحاسوب)

مثال تقليدي لدالة الاستدعاء الذاتي هي دالة تستخدم لحساب العاملي لعدد صحيح:

${\displaystyle \operatorname {fact} (n)={\begin{cases}1&{\mbox{if }}n=0\\n\cdot \operatorname {fact} (n-1)&{\mbox{if }}n>0\\\end{cases}}}$

function factorial is:

input: integer n such that n >= 0

output: [n × (n-1) × (n-2) × … × 1]


  1. if n is 0, return 1
  2. otherwise, return [ n × factorial(n-1) ]


end factorial

بالإمكان كتابة الدالة كعلاقة تكرارية:

${\displaystyle b_{n}=nb_{n-1}}$

${\displaystyle b_{0}=1}$

دالة رياضية معروفة أخرى هي دالة التي تحسب أعداد فيبوناتشي:

${\displaystyle \operatorname {fib} (n)={\begin{cases}0&{\mbox{if }}n=0\\1&{\mbox{if }}n=1\\\operatorname {fib} (n-1)+\operatorname {fib} (n-2)&{\mbox{if }}n>=2\\\end{cases}}}$

function fib is:
input: integer n such that n >= 0


  1. if n is 0, return 0
  2. if n is 1, return 1
  3. otherwise, return [ fib(n-1) + fib(n-2) ]


end fib

تطبيق باستخدام جافا:

    /**
     * Recursively calculate the kth Fibonacci number.
     *
     * @param k indicates which (positive) Fibonacci number to compute.
     * @return the kth Fibonacci number.
     */
    private static int fib(int k) {

	// Base Cases:
        //   If k == 0 then fib(k) = 0.
	// If k == 1 then fib(k) = 1.
	if (k < 2) {
            return k;
	}
	// Recursive Case:
	// If k >= 2 then fib(k) = fib(k-1) + fib(k-2).
	else {
 return fib(k-1) + fib(k-2);
	}
    }

تطبيق باستخدام بايثون:

def fib(n):
    if n < 2:
        return n
    else:
        return fib(n-1) + fib(n-2)

باستخدام جافاسكربت:

function fib (n) {
    if (!n) {
        return 0;
    } else if (n <= 2) {
        return 1;
    } else {
        return fib(n - 1) + fib(n - 2);
    }
}

باستخدام ليسب:

 (defun fib (n)
  (cond ((= n 0) 0)
        ((= n 1) 1)
        (t (+ (fib (- n 1))
              (fib (- n 2))))))

باستخدام بيرل:

sub fib {
    my ($n) = @_;
    ($n < 2) ? $n : fib($n - 2) + fib($n - 1);
}

علاقة تكرارية للفيبوناتشي:

b_n = b_n-1 + b_n-2

b₁ == 1, b₀ == 0

دالة استدعاء ذاتي أخرى مشهورة هي خوارزمية أقليدس، تستخدم لحساب القاسم المشترك الأكبر لعددين صحيحين:

${\displaystyle \gcd(x,y)={\begin{cases}x&{\mbox{if }}y=0\\\gcd(y,\operatorname {remainder} (x,y))&{\mbox{if }}x\geq y{\mbox{ and }}y>0\\\end{cases}}}$

function gcd is:
input: integer x, integer y such that x >= y and y >= 0


  1. if y is 0, return x
  2. otherwise, return [ gcd(y, (remainder of x/y)) ]


end gcd

علاقة تكرارية للقاسم المشترك الأكبر، بحيث أن ${\displaystyle x\%y}$ يمثل الباقي من قسمة ${\displaystyle x/y}$:

${\displaystyle \gcd(x,y)=\gcd(y,x\%y)}$

${\displaystyle \gcd(x,0)=x}$

للنقاش الكامل وشرح المسألة، راجع المقال التفصيلي. ببساطة احسب المسألة هكذا: بإعطاء ثلاثة أعمدة، واحد مع مجموعة من N أقراص بحجم متزايد، حدد العدد الأصغر من الخطوات لنقل جميع الأقراص من مكانهم البدائي إلى عمود آخر بدون وضع قرص ما فوق قرص أصغر منه.

${\displaystyle \operatorname {hanoi} (n)={\begin{cases}1&{\mbox{if }}n=1\\2\cdot \operatorname {hanoi} (n-1)+1&{\mbox{if }}n>1\\\end{cases}}}$

علاقة تكرارية لبرج هانوي:

${\displaystyle h_{n}=2h_{n-1}+1}$

${\displaystyle h_{1}=1}$

function hanoi is:

input: integer n, such that n >= 1


  1. if n is 1 then return 1


  2. return [2 * [call hanoi(n-1)] + 1]


end hanoi

خوارزمية البحث الثنائي هي طريقة للبحث في مصفوفة مرتبة عن عنصر واحد عن طريق تقسيم المصفوفة للنصف في كل مرور. الخدعة هي اختيار نقطة وسطية قريبة عن مركز المصفوفة، قارن القيمة في النقطة مع القيم المراد البحث عنها ومن ثم اتباع واحد من ثلاث الخيارات التالية: القيمة وجدت في النفطة الوسطية، قيمة النقطة الوسطية أكبر من القيمة المراد البحث عنها، أو أن قيمة النقطة الوسطية أصغير من القيمة المراد البحث عنها.

يتم استخدام الاستدعاء الذاتي لأن بكل مرور يتم إنشاء مصفوفة جديدة عن طريق تقسيم القديمة للنصف. ويتم استدعاء دالة البحث ذاتياً، هذه المرة على مصفوفة جديدة (وأصغر).

مثال لتطبيق البحث الثنائي باستخدام لغة سي:

 /*
  Call binary_search with proper initial conditions.

  INPUT:
    data is an array of integers SORTED in ASCENDING order,
    toFind is the integer to search for,
    count is the total number of elements in the array

  OUTPUT:
    result of binary_search

 */
 int search(int *data, int toFind, int count)
 {
    //  Start = 0 (beginning index)
    //  End = count - 1 (top index)
    return binary_search(data, toFind, 0, count-1);
 }

 /*
   Binary Search Algorithm.

   INPUT:
        data is a array of integers SORTED in ASCENDING order,
        toFind is the integer to search for,
        start is the minimum array index,
        end is the maximum array index
   OUTPUT:
        position of the integer toFind within array data,
        -1 if not found
 */
 int binary_search(int *data, int toFind, int start, int end)
 {
    //Get the midpoint.
    int mid = start + (end - start)/2;   //Integer division

    //Stop condition.
    if (start > end)
       return -1;
    else if (data[mid] == toFind)        //Found?
       return mid;
    else if (data[mid] > toFind)         //Data is greater than toFind, search lower half
       return binary_search(data, toFind, start, mid-1);
    else                                 //Data is less than toFind, search upper half
       return binary_search(data, toFind, mid+1, end);
 }