مبرهنة المثلث القائم لفيرما

مبرهنة المثلث القائم لفيرما هي إثبات على عدم الوجود في نظرية الأعداد ، نُشرت عام 1670 بين أعمال بيير دي فيرما ، بعد وفاته بفترة وجيزة. هذا هو الإثبات الكامل والوحيد الذي قدمه فيرما. [1] لدى المبرهة العديد من الصيغ المكافئة ، تم ذكر إحداها (بدون إثبات) عام 1225 بواسطة فيبوناتشي . تنص في أشكالها الهندسية على:

• لا يمكن أن تكون للمثلث القائم في المستوى الإقليدي الذي تكون أطوال أضلاعه الثلاثة أعدادًا كسرية مساحة تساوي مربع عدد نسبي (كسري).
• لا يمكن لمثلث قائم الزاوية ومربع بمساحات متساوية أن تتقايس جميع الأضلاع مع بعضها البعض.
• لا يوجد مثلثين قائمين حيث يكون ضلع أحد المثلثين هو الساق والوتر للمثلث الآخر.

مثلثن قائما الزاوية بحيث ضلع أحدهما مساوية لضلع الآخر والوتر للجزء السفلي. لهذه الأطوال ، ${\displaystyle a^{2}}$ و ${\displaystyle b^{2}}$ ، و ${\displaystyle c^{2}}$ تشكل متتالية حسابية مفصولة بفجوة ${\displaystyle d^{2}}$ . لا يمكن لجميع الأطوال الأربعة ${\displaystyle a}$ و ${\displaystyle b}$ و ${\displaystyle c}$ ، و ${\displaystyle d}$ أن تكون أعداد صحيحة.

بشكل أكثر تجريدًا ، كنتيجة حول المعادلات الديوفانتية (عدد صحيح أو حلول عدد نسبي للمعادلات متعددة الحدود) ، فإن المبرهنة تكافئ العبارات الآتية:

• إذا كانت ثلاثة أعداد مربعة تشكل متتالية حسابية، فإن الفجوة بين الأعداد المتتالية في المتتالية (تسمى التطابق ) لا يمكن أن تكون مربع بحد ذاتها.
• النقاط الكسرية الوحيدة على المنحنى الإهليلجي ${\displaystyle y^{2}=x(x-1)(x+1)}$ هي ثلاث نقاط بديهية مع ${\displaystyle x\in \{-1,0,1\}}$ و ${\displaystyle y=0}$ .
• المعادلة الرباعية ${\displaystyle x^{4}-y^{4}=z^{2}}$ ليس لها حل في الأعداد الصحيحة غير الصفرية.