متتالية حسابية

في الرياضيات، المتتالية الحسابية أو المتتابعة الحسابية (بالإنجليزية: Arithmetic progression)‏ هي متتالية من الأعداد حيث يكون الفرق بين أي حدين متتالين ثابتا.[1][2][3] على سبيل المثال فإن 3، 5، 7، 9، 11، 13، … هي متتالية حسابية لها أساس يساوي 2. أي أنّ 3، 5، 7 هي حدود من هذه المتتالية والأساس 2 هو العدد المضاف بين كل حدّين متتاليين.

إذا كان الحد الأول من المتتالية الحسابية هو $a_{1}$ والفرق بين حدين متتاليين هو $d$ عندها يعبر عن الحد ذي الترتيب $n$ من متتالية حسابية بالعلاقة التالية:

\ a_{n}=a_{1}+(n-1)d,

أو بشكل عام: $\ a_{n}=a_{m}+(n-m)d.$

مثال

المتتالية 1 ،-3 ،-7، -11,.... حدها الأول هو 1 وأساسها هو 4- لأن الفرق بين حدين متتابعين يساوي دائما 4. وحتى نحصل على d نطرح كل حد من سابقه كالتالي:

\ 1-(-3)=4

لايجاد الحد النوني العشرين على سبيل المثال، تُطبق المعادلة السابقة:

\ a_{20}=1+(20-1)*-4=-75

المجموع

2	+	5	+	8	+	11	+	14	=	40
14	+	11	+	8	+	5	+	2	=	40

16	+	16	+	16	+	16	+	16	=	80

حساب المجموع 2 + 5 + 8 + 11 + 14. حين تكتب حدود المتتالية عكسيا، وتضاف إلى الحدود نفسها حداً حداً، تكون النتيجة مساوية لقيمة وحيدة متكررة، مساويةً لمجموع الحدين الأول والأخير (2 + 14 = 16). إذن، 16 × 5 = 80 هو ضعف المجموع المراد البحث عنه.

مجموع حدود متتالية حسابية منتهية يسمى متسلسلة حسابية. على سبيل المثال،: $2+5+8+11+14$

الاستنتاج

S_{n}=a_{1}+(a_{1}+d)+(a_{1}+2d)+\cdots +(a_{1}+(n-2)d)+(a_{1}+(n-1)d)

S_{n}=(a_{n}-(n-1)d)+(a_{n}-(n-2)d)+\cdots +(a_{n}-2d)+(a_{n}-d)+a_{n}.

\ 2S_{n}=n(a_{1}+a_{n}).

S_{n}={\frac {n}{2}}(a_{1}+a_{n}).

الجداء

جداء حدود متتالية حسابية منتهية، قيمتها الأولى هي a1، والفرق المشترك بين حدودها هو d وعدد عناصرها هو n:

a_{1}a_{2}\cdots a_{n}=d{\frac {a_{1}}{d}}d({\frac {a_{1}}{d}}+1)d({\frac {a_{1}}{d}}+2)\cdots d({\frac {a_{1}}{d}}+n-1)=d^{n}{\left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}^{\overline {n}}=d^{n}{\frac {\Gamma \left(a_{1}/d+n\right)}{\Gamma \left(a_{1}/d\right)}},

حيث $\Gamma$ هي دالة غاما.

الانحراف المعياري

يحسب الانحراف المعياري لممتالية حسابية كما يلي:

\sigma =|d|{\sqrt {\frac {(n-1)(n+1)}{12}}}

حيث n هو عدد الحدود في المتتالية وd هو الفرق بين حدين متتابعين ما.

مراجع

"معلومات عن متتالية حسابية على موقع jstor.org"، jstor.org، مؤرشف من الأصل في 25 مايو 2019.
"معلومات عن متتالية حسابية على موقع mathworld.wolfram.com"، mathworld.wolfram.com، مؤرشف من الأصل في 21 نوفمبر 2018.
"معلومات عن متتالية حسابية على موقع vocab.getty.edu"، vocab.getty.edu، مؤرشف من الأصل في 26 أبريل 2020.

انظر أيضا

بوابة تحليل رياضي
بوابة رياضيات

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] "معلومات عن متتالية حسابية على موقع jstor.org"، jstor.org، مؤرشف من الأصل في 25 مايو 2019.

[2] "معلومات عن متتالية حسابية على موقع mathworld.wolfram.com"، mathworld.wolfram.com، مؤرشف من الأصل في 21 نوفمبر 2018.

[3] "معلومات عن متتالية حسابية على موقع vocab.getty.edu"، vocab.getty.edu، مؤرشف من الأصل في 26 أبريل 2020.