مشكلة ماشية أرخميدس

في عام 1769 ، تم تعيين إفرايم ليسينغ أمين مكتبة هرتسوغ أغسطس في فولفنبوتل ، ألمانيا ، والتي تحتوي على العديد من المخطوطات اليونانية واللاتينية. [6] بعد بضع سنوات ، نشر ليسينغ ترجمات لبعض المخطوطات مع التعليقات. من بينها قصيدة يونانية من أربعة وأربعين سطرًا ، تحتوي على مشكلة حسابية تطلب من القارئ العثور على عدد الماشية في قطيع إله الشمس. وتنسب الآن بشكل عام إلى أرخميدس. [7] [8]

المشكلة ، من اختصار الترجمات الألمانية التي نشرها جورج نيسلمان في عام 1842 ، و كرومبيجل في عام 1880 ، تنص على:

احسب ، يا صديقي ، عدد ماشية الشمس التي كانت ترعى ذات مرة على سهول صقلية ، مقسمة حسب اللون إلى أربعة قطعان ، واحدة من لون الحليب الأبيض ، وواحدة سوداء ، وواحدة مرقطة وأخرى صفراء. عدد الثيران أكبر من عدد الأبقار ، والعلاقة بينهما هي:

الثيران البيضاء ${\displaystyle \left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}\right)=}$ الثيران السوداء + الثيران الصفراء ،

الثيران السوداء ${\displaystyle \left({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}\right)=}$ الثيران مرقطة + الثيران صفراء ،

الثيران المرقطة ${\displaystyle \left({\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}\right)=}$ الثيران بيضاء + الثيران صفراء ،

الأبقار البيضاء ${\displaystyle \left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\right)=}$ القطيع الأسود ،

الأبقار السوداء ${\displaystyle \left({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}\right)=}$ القطيع المرقط ،

الأبقار المرقطة ${\displaystyle \left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}\right)=}$ القطيع الأصفر ،

الأبقار الصفراء ${\displaystyle \left({\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}\right)=}$ القطيع الأبيض.

إذا استطعت أن تعطي ، أيها الصديق ، عدد كل نوع من الثيران والأبقار ، فأنت لست مبتدئًا في الأرقام ، ولكن لا يمكن اعتبارك ذي مهارة عالية. ضع في اعتبارك العلاقات الإضافية التالية بين ثيران الشمس:

الثيران البيضاء + الثيران السوداء = رقم مربع ،

الثيران المرقطة + الثيران الصفراء = رقم مثلث .

إذا قمت أيضًا بحساب هذه أيضًا ، يا صديقي ، ووجدت العدد الإجمالي للماشية ، ابتهج كفاتح، لأنك أثبت أنك الأكثر مهارة في الأرقام. [9]

يمكن حل الجزء الأول من المشكلة بسهولة عن طريق إنشاء نظام المعادلات . إذا كان عدد الثيران البيضاء والسوداء والمرقطة والصفراء مكتوبًا ${\displaystyle W,B,D,}$ و ${\displaystyle Y}$ ، ويكتب عدد الأبقار البيضاء والسوداء والمرقطة والأصفر ${\displaystyle w,b,d,}$ و ${\displaystyle y}$ ، المشكلة تكمن ببساطة في إيجاد حل لـ:

${\displaystyle {\begin{aligned}W&{}={\frac {5}{6}}B+Y\\B&{}={\frac {9}{20}}D+Y\\D&{}={\frac {13}{42}}W+Y\\w&{}={\frac {7}{12}}(B+b)\\b&{}={\frac {9}{20}}(D+d)\\d&{}={\frac {11}{30}}(Y+y)\\y&{}={\frac {13}{42}}(W+w)\end{aligned}}}$

وهو نظام من سبع معادلات مع ثمانية مطلوبات مجهولة. وهو نظام غير محدد ولديه ما لا نهاية من الحلول. أقل الأعداد الصحيحة الإيجابية التي تحقق المعادلات السبع هي:

${\displaystyle {\begin{aligned}B&{}=7{,}460{,}514\\W&{}=10{,}366{,}482\\D&{}=7{,}358{,}060\\Y&{}=4{,}149{,}387\\b&{}=4{,}893{,}246\\w&{}=7{,}206{,}360\\d&{}=3{,}515{,}820\\y&{}=5{,}439{,}213\end{aligned}}}$

وهو ما مجموعه 50،389،082 من الماشية [9] والحلول الأخرى هي مضاعفات لا يتجزأ منها. لاحظ أن الأرقام الأربعة الأولى هي مضاعفات 4657 ، وهي قيمة ستظهر بشكل متكرر أدناه.

تم العثور على الحل العام للجزء الثاني من المشكلة لأول مرة بواسطة أ. أمثور [10] في عام 1880. تم وصف النسخة التالية منه بواسطة هندريك لنسترا، [5] استنادًا إلى معادلة بيل : يجب أن يتم ضرب الحل المذكور أعلاه للجزء الأول من المشكلة في

${\displaystyle n={\frac {(w^{4658j}-w^{-4658j})^{2}}{(4657)(79072)}}\,}$

حيث أن

${\displaystyle w=300426607914281713365{\sqrt {609}}+84129507677858393258{\sqrt {7766}}}$

و j هي أي عدد صحيح موجب. مكافئ، لتربيع w الناتج من

${\displaystyle w^{2}=u+v{\sqrt {(609)(7766)}}\,}$

حيث أن { u ، v } هي الحلول الأساسية لمعادلة بيل

${\displaystyle u^{2}-(609)(7766)v^{2}=1}$

حجم أصغر قطيع يمكن أن يرضي كلا الجزأين الأول والثاني من المشكلة يتم إعطاؤه بواسطة j = 1 ، وهو حوالي ${\displaystyle 7.76\times 10^{206544}}$ (حلها أمثور أولاً). يمكن لأجهزة الكمبيوتر الحديثة بسهولة طباعة جميع أرقام الإجابة. تم ذلك لأول مرة في جامعة واترلو ، في عام 1965 بواسطة هيو ويليامز ، ر.أ. جيرمان ، وتشارلز روبرت زارنك. استخدموا مزيجًا من أجهزة الكمبيوتر IBM 7040 و IBM 1620 . [11]

إن قيود الجزء الثاني من المشكلة واضحة ويمكن إعطاء معادلة بيل الفعلية التي تحتاج إلى حل بسهولة. أولاً ، يطلب أن يكون W+B مربعًا ، أو باستخدام القيم الواردة أعلاه ،

${\displaystyle B+W=7{,}460{,}514k+10{,}366{,}482k=(2^{2})(3)(11)(29)(4657)k\,}$

وبالتالي يجب على المرء تعيين

k = (3) (11) (29) (4657) q ²

لبعض العدد الصحيح q . هذا يحل الشرط الأول. ثانيًا ، يتطلب أن يكون D + Y رقمًا مثلثًا ،

${\displaystyle D+Y={\frac {t^{2}+t}{2}}}$

الحل من أجل t ،

${\displaystyle t={\frac {-1\pm {\sqrt {1+8(D+Y)}}}{2}}}$

استبدال قيمة D + Y و k وإيجاد قيمة q ² بحيث أن المييز في هذه المعادلة من الدرجة الثانية هو مربع مثالي p ² يستلزم حل معادلة بيل ،

${\displaystyle p^{2}-(4)(609)(7766)(4657^{2})q^{2}=1\,}$

كان نهج أمثور الذي تمت مناقشته في القسم السابق أساسيًا للعثور على أصغر v بحيث يمكن تقسيمه بشكل متكامل على 2 · 4657. الحل الأساسي لهذه المعادلة يحتوي على أكثر من 100000 رقم.

• Bell, A. H. (1895)، "The "Cattle Problem." By Archimedies 251 B. C."، The American Mathematical Monthly، Mathematical Association of America، 2 (5): 140–141، doi:10.2307/2968125، JSTOR 2968125
• Dörrie, Heinrich (1965)، "Archimedes' Problema Bovinum"، 100 Great Problems of Elementary Mathematics، Dover Publications، ص. 3–7.
• Williams, H. C.؛ German, R. A.؛ Zarnke, C. R. (1965)، "Solution of the Cattle Problem of Archimedes"، جمعية الرياضيات الأمريكية، 19 (92): pp. 671–674، doi:10.2307/2003954، JSTOR 2003954.
• Vardi, I. (1998)، "Archimedes' Cattle Problem"، Mathematical Association of America، 105 (4): pp. 305–319، doi:10.2307/2589706.
• Benson, G. (2014)، "Archimedes the Poet: Generic Innovation and Mathematical Fantasy in the Cattle Problem"، مطبعة جامعة جونز هوبكينز، 47 (2): pp. 169–196، doi:10.1353/are.2014.0008.

• قالب:OEIS el - الحل العشري الكامل للمشكلة الثانية
• أليكس بيلوس، "Holy Cow that's a Big Number" (video)، YouTube، Brady Haran، اطلع عليه بتاريخ 25 نوفمبر 2019.

• بوابة رياضيات