معادلة جائز أويلر-بيرنولي

في غياب حمل عرضي، ${\displaystyle q}$، يكون لدينا معادلة اهتزاز حر. يمكن حل هذه المعادلة باستخدام تفكيك فورييه للإزاحة إلى مجموع اهتزازات توافقية من الشكل:

${\displaystyle w(x,t)={\text{Re}}[{\hat {w}}(x)~e^{-i\omega t}]}$

حيث ${\displaystyle \omega }$ تردد الاهتزاز. ثم يمكننا حل معادلة تفاضلية عادية لأجل كل قيمة للتردد:

${\displaystyle EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}{\hat {w}}}{\mathrm {d} x^{4}}}-\mu \omega ^{2}{\hat {w}}=0\,.}$

الحل العامل للمعادلة السابقة هو:

${\displaystyle {\hat {w}}=A_{1}\cosh(\beta x)+A_{2}\sinh(\beta x)+A_{3}\cos(\beta x)+A_{4}\sin(\beta x)\quad {\text{with}}\quad \beta$ :=\left({\frac {\mu \omega ^{2}}{EI}}\right)^{1/4}}

حيث ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}}$ ثوابت. هذه الثوابت فريدة لأجل مجموعة ما محددة من الشروط الحدية. ولكن حل الإزاحة ليس فريدًا ويعتمد على التردد. تُكتب هذه الحلول عادةً على الشكل:${\displaystyle {\hat {w}}_{n}=A_{1}\cosh(\beta _{n}x)+A_{2}\sinh(\beta _{n}x)+A_{3}\cos(\beta _{n}x)+A_{4}\sin(\beta _{n}x)\quad {\text{with}}\quad \beta _{n}:=\left({\frac {\mu \omega _{n}^{2}}{EI}}\right)^{1/4}\,.}$تدعى الكميات ${\displaystyle \omega _{n}}$ الترددات الطبيعية للجائز. كل واحد من حلول الإزاحة يدعى وضعًا وشكل منحني الإزاحة يسمى شكل الوضع.

الشروط الحدية لجائز عاتولي طوله ${\displaystyle L}$ (مثبت عند ${\displaystyle x=0}$) هي:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {w}}_{n}=0~,~~{\frac {d{\hat {w}}_{n}}{dx}}=0\quad {\text{at}}~~x=0\\&{\frac {d^{2}{\hat {w}}_{n}}{dx^{2}}}=0~,~~{\frac {d^{3}{\hat {w}}_{n}}{dx^{3}}}=0\quad {\text{at}}~~x=L\,.\end{aligned}}}$

إذا طبقنا هذه الشروط، نكتشف أن الحلول غير البسيطة توجد فقط إذا كان

${\displaystyle \cosh(\beta _{n}L)\,\cos(\beta _{n}L)+1=0\,.}$

يمكن حل هذه المعادلة غير الخطية عدديًّا. أول بضعة جذور للمعادلة هي: β₁ L/π = 0.59686..., β₂ L/π = 1.49418..., β₃ L/π = 2.50025..., β₄ L/π = 3.49999..., ...

ترددات الاهتزاز الطبيعية الموافقة هي:

${\displaystyle \omega _{1}=\beta _{1}^{2}{\sqrt {\frac {EI}{\mu }}}={\frac {3.5161}{L^{2}}}{\sqrt {\frac {EI}{\mu }}}~,~~\dots }$

يمكن استخدام الشروط الحدية أيضًا لتحديد أشكال الأوضاع من حل الإزاحة:

${\displaystyle {\hat {w}}_{n}=A_{1}{\Bigl [}(\cosh \beta _{n}x-\cos \beta _{n}x)+{\frac {\cos \beta _{n}L+\cosh \beta _{n}L}{\sin \beta _{n}L+\sinh \beta _{n}L}}(\sin \beta _{n}x-\sinh \beta _{n}x){\Bigr ]}}$

الثابت غير المعروف (في الحقيقة هي ثوابت لأن هناك ثابتًا لكل ${\displaystyle n}$)، ${\displaystyle A_{1}}$، وهو ثابت عقدي في الحالة الطبيعية، تحدده الشروط الابتدائية عند ${\displaystyle t=0}$ حسب سرعة وإزاحات الجائز. تستخدم عادةً قيمة ${\displaystyle A_{1}=1}$ عند رسم أشكال الأوضاع. لحلول المسألة القسرية غير التخامدية إزاحات غير محدودة عندما يطابق التردد القائد (التردد المحرك أو الخارجي) ترددًا طبيعيًّا ${\displaystyle \omega _{n}}$، أي يمكن للجائز أن يرن (يصل إلى حالة الطنين أو الرنين). بالتالي تستجيب الترددات الطبيعية لجائز للترددات التي يحدث عندها الرنين.

الجائز الحر من الطرفين هو جائز بدون مساند.[6] تُعطى الشروط الحدية لجائز حر طوله L يمتد من x=0  إلى x=L بالعلاقة:

${\displaystyle {\frac {d^{2}{\hat {w}}_{n}}{dx^{2}}}=0~,~~{\frac {d^{3}{\hat {w}}_{n}}{dx^{3}}}=0\quad {\text{at}}~~x=0\,{\text{and}}\,L\,.}$

إذا طبقنا هذه الشروط، نجد أن الحلول غير البسيطة توجد فقط عندما:

${\displaystyle \cosh(\beta _{n}L)\,\cos(\beta _{n}L)-1=0\,.}$

يمكن حل هذه المعادلة غير الخطية عدديًّا. أول بضعة جذور للمعادلة هي: β₁ L/π = 1.50562..., β₂ L/π = 2.49975..., β₃ L/π = 3.50001..., β₄ L/π = 4.50000...

ترددات الاهتزاز الطبيعية الموافقة هي:

${\displaystyle \omega _{1}=\beta _{1}^{2}{\sqrt {\frac {EI}{\mu }}}={\frac {22.3733}{L^{2}}}{\sqrt {\frac {EI}{\mu }}}~,~~\dots }$

يمكن استخدام الشروط الحدية أيضًا لتحديد أشكال الأوضاع من حل الإزاحة:

${\displaystyle {\hat {w}}_{n}=A_{1}{\Bigl [}(\cos \beta _{n}x+\cosh \beta _{n}x)-{\frac {\cos \beta _{n}L-\cosh \beta _{n}L}{\sin \beta _{n}L-\sinh \beta _{n}L}}(\sin \beta _{n}x+\sinh \beta _{n}x){\Bigr ]}}$

كما في حالة الجائز العاتولي، تُحدد الثوابت غير المعروفة عن طريق الشروط الحدية عند ${\displaystyle t=0}$ حسب سرعة وإزاحات الجائز. كذلك فلحلول المسألة القسرية غير التخامدية إزاحات غير محدودة عندما يطابق التردد القائد (التردد المحرك أو الخارجي) ترددًا طبيعيًّا ${\displaystyle \omega _{n}}$.