نموذج ديباي

يعتبر نموذج ديباي لحالة المواد الصلبة مناظرا لنموذج ماكس بلانك بشأن قانون إشعاع الجسم الأسود ، حيث تُعامل الأشعة الكهرومغناطيسية كما لو كانت غاز فوتونات في صندوق. ويتعامل نموذج ديباي مع اهتزازات الذرات في المادة الصلبة على أنها فونونات في صندوق (الصندوق هو المادة الصلبة). ونجد أن معظم الحسابات في الحالتين متشابهة.

وكانت الطريقة التي اتبعها ديباي لاشتقاق القانون طريقة التبسيط وسهلة. فهو يعتبر المادة الصلبة عبارة عن وسط مستمر، وو جد أن عدد حالات الاهتزاز بترددات أقل من حد معين تصل إلى حد ثابت طبقا للعلاقة:

${\displaystyle n\sim {1 \over 3}\nu ^{3}VF\,,}$

حيث:

${\displaystyle V}$ حجم المادة الصلبة (وتحتوي على عدد N من الذرات)،

${\displaystyle F}$ هي معامل قام بحسابة بالاستعانة بمعامل المرونة والكثافة.

ثم قام بربط تلك العلاقة بالطاقة الناتجة من هزاز توافقي عند درجة حرارة T بحيث تؤدي إلى طاقة U مقدارها:

${\displaystyle U=\int _{0}^{\infty }\,{h\nu ^{3}VF \over e^{h\nu /kT}-1}\,d\nu \,,}$

عندما تصل ترددات الاهتزازات إلى ترددات عالية جدا. تلك الصيغة تعطي الحرارة النوعية بدقة عند درجات الحرارة المنخفضة. ثم وجد ديباي أن تلك الطريقة سوف تؤدي إلى عدد من حالات الاهتزاز قدرها ${\displaystyle 3N}$ لعدد N من الذرات. وافترض أن طيف الترددات في حالة المادة الصلبة سيتبع العلاقة السابقة حتى تصل إلى حد أعلى للتردد ${\displaystyle \nu _{m}}$ بحيث يكون عدد الحالات الكلي ${\displaystyle 3N}$:

${\displaystyle 3N={1 \over 3}\nu _{m}^{3}VF\,.}$

وعرف ديباي أن هذا الافتراض لن يكون صحيحا (فالترددات العالية سوف تكون أكثر كثافة عما اخذه في الاعتبار) ، ولكن عرف في نفس الوقت أن تلك المعادلة تكون صحيحة في درجات الحرارة العالية وتؤدي إلى قانون دولون-بتي . وبناء على ذلك تبلغ الطاقة المحسوبة:

${\displaystyle U=\int _{0}^{\nu _{m}}\,{h\nu ^{3}VF \over e^{h\nu /kT}-1}\,d\nu \,,}$

${\displaystyle =VFkT(kT/h)^{3}\int _{0}^{T_{D}/T}\,{x^{3} \over e^{x}-1}\,dx\,,}$

حيث ${\displaystyle T_{D}}$ هي ${\displaystyle h\nu _{m}/k}$.

${\displaystyle =9NkT(T/T_{D})^{3}\int _{0}^{T_{D}/T}\,{x^{3} \over e^{x}-1}\,dx\,,}$

${\displaystyle =3NkTD_{3}(T_{D}/T)^{3}\,,}$

حيث ${\displaystyle D_{3}}$ هي دالة سميت فيما بعد دالة ديباي من الدرجة الثالثة.

تبين المعادلة الأخيرة اعتماد الحرارة النوعية لمادة صلبة على درجة الحرارة بالقوة T³ عند درجات حرارة منخفضة جدا، ونستخدمها في تعيين تغير الإنتروبي بدرجة الحرارة.

• قانون دولون-بتي
• نموذج أينشتاين
• الحرارة
• سعة حرارية
• سعرة
• حرارة كامنة
• قابلية انضغاط
• إنتروبي
• مبرهنة التوزع المتساوي

• بوابة الفيزياء