نموذج أينشتاين

تتكون المادة الصلبة في العادة من بلورات تتخذ فيها الذرات أماكن في الشبكة البلورية ، وافترض أينشتاين أن الاهتزازات التي تقوم بها الذرات تكون ذات طاقة كمومية معينة ${\displaystyle \hbar \omega _{E}}$ . تلك الطاقة الكمومية تسمى فونونات. وعلى هذا الأساس يمكن أن توصف المادة الصلبة بأنها تحتوي على عدد N من الهزازات التوافقية ، يهتز كل منها في ثلاثة اتجاهات x و y و z ولا تعتمد على بعضها البعض .

اعتبر أينشتاين أن إحتِمال إهتزاز ذرة ${\displaystyle \langle n\rangle }$ بهذا التردد يعتمد على درجة الحرارة T ، وباعتبار الفونونات تتبع إحصاء بوز-أينشتاين فطبق عليهم المعادلة :

${\displaystyle \langle n\rangle ={\frac {1}{\exp \left({\frac {\hbar \omega _{E}}{k_{B}T}}\right)-1}}}$

وحصل على الطاقة الداخلية U للمادة الصلبة :

${\displaystyle U=3N\cdot \hbar \omega _{E}\cdot \left(\langle n\rangle +{\frac {1}{2}}\right)=3N\cdot \hbar \omega _{E}\cdot \left[{\frac {1}{\exp \left({\frac {\hbar \omega _{E}}{k_{B}T}}\right)-1}}+{\frac {1}{2}}\right]}$

ويعطي الشق ${\displaystyle {\frac {\hbar \omega _{E}}{2}}}$ طاقة درجة الصفر المطلق . وعلى هذا الأساس يصبح نصيب مشاركة الفونونات في السعة الحرارية عند ثبات الحجم V:

${\displaystyle C_{V}=\left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)_{V={\rm {const}}}={\frac {3N}{k_{B}T^{2}}}{\frac {(\hbar \omega _{E})^{2}}{\left[\exp \left({\frac {\hbar \omega _{E}}{k_{B}T}}\right)-1\right]^{2}}}\cdot \exp \left({\frac {\hbar \omega _{E}}{k_{B}T}}\right)}$

سُمي الشق ${\displaystyle \Theta _{E}={\frac {\hbar \omega _{E}}{k_{B}}}}$ «درجة حرارة أينشتاين» ، وبالتعويض عنه في المعادلة نحصل على معادلة في صيغة أبسط :

${\displaystyle C_{V}^{\rm {mol}}\left(T\right)=3Nk_{B}\cdot \left({\frac {\Theta _{E}}{T}}\right)^{2}\cdot {\frac {\exp \left({\frac {\Theta _{E}}{T}}\right)}{\left[\exp \left({\frac {\Theta _{E}}{T}}\right)-1\right]^{2}}}}$

عند درجات الحرارة المنخفضة وكذلك في حيز درجات الحرارة العالية، تعطي المعادلة :

${\displaystyle T\rightarrow \infty$ :\ \ C_{V}\rightarrow 3N\cdot k_{B};\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ T\rightarrow 0:\ \ C_{V}\propto e^{-\Theta _{E}/T}\rightarrow 0}

يعطي نموذج أينشتاين و نموذج ديباي قيمة مُطابقة لقانون قانون دولون-بتي في درجات الحررة العالية . أما ما تعطيه معادلة أينشتاين فلا يتفق بتاتًا مع سلوك السعة الحرارية (C_V(T) للمادة الصلبة في درجات الحرارة المنخفضة . ويرجع ذلك إلى الافتراض الخاطئ بأن جميع الذرات في المادة الصلبة تهتز بنفس التردد . واتضح أن إهتزاز الذرات في المادة يتم بطرق أكثر تعقيدًا، نجح نموذج ديباي في وصفها.

• قانون دولون-بتي
• نموذج ديباي
• الحرارة
• سعة حرارية
• سعرة
• حرارة كامنة
• قابلية انضغاط
• إنتروبي

• بوابة الفيزياء