هيدروديناميكا مغناطيسية

تتكون معادلات الـ MHD المثالية من: معادلة الاستمرارية، معادلة كوشي للقوّة الدافعة، قانون أمبير مع إهمال تيّار الإزاحة، ومعادلة تطور الحرارة. كما هو الحال مع أيّ وصف لأيّ سائل بأي نظام ناشط، يجب تطبيق مقاربة الإغلاق عند أعلى عزم في معادلة توزيع الجسيمات. يتم تحقيق هذا في أغلب الأحيان بالتقريب إلى تدفق الحرارة بعملية إيزوثيرميّة (أي بثبات درجة الحرارة) أو بعملية أديباتيّة (أي في بيئة معزولة عن الوسط الخارجي بحيث لا يحدث تبادل حراري بين الوسط الذي تحدث فيه العملية والوسط الخارجي)

إن المعايير الرئيسية التي تميّز السائل الموصل كهربائياً هي: حقل سرعة البلازما السائلة v ، وكثافة التيار J ، والكثافة الكلية ρ، وضغط البلازما p. إنّ الشحنة الكهربائية المتدفّقة في البلازما هي مصدر المجال المغناطيسي B والحقل الكهربائي E. بشكل عامّ فإن جميع المعايير السابقة تتفاوت مع الزمن t. يُستخدم عادةً رمز المتّجه في هذه المعادلات، بالتفصيل: (الرمز ودلالته): ∇: يرمز للتدرج، ∇⋅: يرمز للتباعد، و ∇ ×: يرمز للتموج.

معادلة استمرارية الكتلة هي:

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \left(\rho \mathbf {v} \right)=0.}$

معادلة كوشي للقوّة الدافعة هي:

${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla \right)\mathbf {v} =\mathbf {J} \times \mathbf {B} -\nabla p.}$

يمكن توسيع مصطلح قوة لورينتز J × B باستخدام قانون أمبير والمحددات الخاصة بمتجه الحركة

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\nabla (\mathbf {B} \cdot \mathbf {B} )=(\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {B} +\mathbf {B} \times (\nabla \times \mathbf {B} )}$

ما يعطي:

${\displaystyle \mathbf {J} \times \mathbf {B} ={\frac {\left(\mathbf {B} \cdot \nabla \right)\mathbf {B} }{\mu _{0}}}-\nabla \left({\frac {B^{2}}{2\mu _{0}}}\right),}$

حيث: الطرف الأوّل هو قوّة الشد المغناطيسي والطرف الثاني يمثّل قوّة الضغط المغناطيسيّة ويتمّ إعطاء قانون أوم المثالي للبلازما بالشكل التالي:

${\displaystyle \mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} =0.}$

وقانون فاراداي هو:

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=-\nabla \times \mathbf {E} .}$

يهمل قانون أمبير منخفض التردّد تيار الإزاحة ويعطى بالعلاقة:

${\displaystyle \mu _{0}\mathbf {J} =\nabla \times \mathbf {B} .}$

علاقة التباعد المغناطيسي الكابح هي:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0.}$

ومعادلة الطاقة تكون بالشكل التالي:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {p}{\rho ^{\gamma }}}\right)=0,}$

حيث γ = 5/3 هي نسبة درجات الحرارة المعيّنة لمعادلة ثابت الحرارة للحالة. هذه المعادلة للطاقة ولا تطبّق إلّا في حالة انعدام وجود صدمات أو توصيل للحرارة، حيث أنّ المعادلة تفترض أن الإنتروبيا لعنصر مائع لا يتغير.

لا ينطبق MHD المثالي إلا عندما:

• تكون البلازما شديدة الصلابة بحيث يكون المقياس الزمني للتّصادمات أقصر من الأوقات المميًزة الأخرى في النظام، وبالتالي يكون توزيع الجسيمات قريب من توزيع (ماكسويل).
• أن تكون المقاومة صغيرة بسبب هذه الاصطدامات. على وجه الخصوص، يجب أن تكون أوقات الانتشار للمغناطيسية النموذجية على طول أي مقياس موجود في النظام أطول من أي مقياس زمني.
• الاهتمام بمقاييس الطول أطول بكثير من عمق القشرة الأيونيّة ونصف قطر لارمور المتعامد مع الحقل، طويل على كل مسافة الحقل بشكل يكفي لإهمال تخميد لانداو، وقياس الوقت أطول بكثير من زمن الدوران الأيوني (النظام سلس ومتطور ببطء).

في السائل الموصِل بشكل غير كامل، يمكن للحقل المغنطيسي أن يتحرّك خلال السائل تبعاً لقانون الانتشار وذلك مع مقاومة البلازما التي تكون بمثابة ثابت للانتشار. وهذا يعني أن حلول معادلات MHD المثالية لا تنطبق إلّا على فترة زمنية محدودة لمنطقة ذات حجم معين معطى قبل أن يصبح الانتشار كبيراً للغاية بحيث لا يمكن تجاهله. يمكن تقدير زمن الانتشار عبر منطقة نشطة بالطاقة الشمسية (من مقاومة الاصطدام) من مئات إلى آلاف السنين، أطول بكثير من العمر الفعلي للبقعة الشمسية، لذا يبدو من المعقول تجاهل المقاومة. وعلى النقيض من ذلك، فإن متر مكعب من مياه البحر يحتوي على زمن انتشار مغناطيسي يقاس بالمللي ثانية.

حتى في الأنظمة الفيزيائية - الكبيرة والموصلة بدرجة كافية، بحيث تقترح التقديرات البسيطة لرقم لاندكويست إلى أنه يمكن تجاهل المقاومة - قد تظل المقاومة مهمّة: العديد من حالات عدم الاستقرار يمكن أن تزيد من المقاومة الفعّالة للبلازما من خلال عدة عوامل ما يزيد عن مليار مرّة. تتكوّن المقاومة المعزّزة عادة نتيجة لتشكيل بنية صغيرة الحجم مثل تيار الصفائح أو الاضطراب المغناطيسي الرقيق النطاق، بإدخال مقاييس مكانية صغيرة في النظام الذي يتم فيه كسر الـ MHD المثاليّ يمكن أن يحدث الانتشار المغناطيسي بسرعة. عند حدوث ذلك، قد يحدث إعادة اتصال مغناطيسي في البلازما لتحرير الطاقة المغناطيسية المخزنة كموجات، وتسارع ميكانيكي كبير للمواد، وتسارع الجسيمات، والحرارة.

إنّ إعادة الربط المغنطيسي في الأنظمة عالية التوصيل أمر مهم لأنّه يركز الطاقة في الزمان والمكان، بحيث يمكن للقوى الصغيرة المطبّقة على البلازما لفترات طويلة من الزمن أن تتسبّب في حدوث انفجارات عنيفة وانبعاثات إشعاعيّة.

عندما لا يمكن اعتبار السوائل موصلة بالكامل، مع تحقّق الشروط الأخرى للـ MHD المثالي بشكل مرضٍ، فمن الممكن استخدام نموذج موسّع يسمى (MHD مقاوم). وهذا يشمل مصطلح إضافي في قانون أوم الذي يميّز المقاومة الاصطلاحية. بشكل عام، تكون المحاكاة الحاسوبية لـ MHD مقاومة بعض الشيء، نظرًا لأن شبكتها الحاسوبية تُدخل مقاومة رقمية.

هناك قيد آخر لـ MHD (ونظريات السوائل بشكل عام) هو أنّها تعتمد على افتراض أن البلازما هي شديدة الاصطدام (وهذا هو المعيار الأول المذكور أعلاه)، بحيث يكون المقياس الزمني للتصادمات أقصر من الأوقات المميزة الأخرى في النظام، وتوزيعات الجسيمات تكون بطريقة ماكسويل. وهذا ليس هو الحال عادة في البلازما الاندماجية والفضائية والفيزياء الفلكية. وعندما لا يكون هذا هو الحال، أو عندما تكون الدراسة في المقاييس المكانية الأصغر، قد يكون من الضروري استخدام نموذج حركي يقوم بالحسابات لعامل التوزيع للشكل غير الماكسويلي بشكل صحيح. ومع ذلك، نظرًا لأن MHD بسيط نسبيًا ويلتقط العديد من الخصائص المهمة لديناميكيات البلازما، فغالبًا ما يكون دقيقًا بشكلٍ نوعيّ، ولذلك غالبًا ما يكون النموذج الأول للتجارب.

التأثيرات الحركية بشكل أساسي والتي لا يتم التقاطها بواسطة النماذج السائلة تشمل تشكّل طبقات مزدوجة، تخميد لانداو، مجموعة واسعة غير مستقرة، الفصل الكيميائي في البلازما الفضائية والإلكترون الجامح. في حالة تفاعلات الليزر فائقة الكثافة، تعني الجداول الزمنية القصيرة للغاية لترسب الطاقة أن الرموز الهيدروديناميكية تفشل في تفسير الفيزياء الأساسية.