Aceleración

Ilustraciones del concepto de aceleración:
1) El movimiento no sufre aceleración.
2) La velocidad aumenta constantemente.
3) La velocidad disminuye constantemente.
4) La aceleración describe una curvatura de la trayectoria.

Así como la velocidad describe la modificación de la posición de un objeto en el tiempo, la aceleración describe la «modificación de la velocidad en el tiempo» (que las matemáticas formalizan con la noción de derivada ). En la vida cotidiana, hay tres casos que el físico agrupa bajo el concepto único de aceleración:

• ir más rápido (acelerar en el sentido común más restrictivo): en un automóvil, el velocímetro muestra que la velocidad está aumentando;

desde un punto de vista matemático, la aceleración es positiva, es decir que el vector de aceleración tiene una componente en la dirección de la velocidad;

• ir más lento (frenar, desacelerar o disminuir la velocidad en el lenguaje común): la indicación del velocímetro disminuye;

la aceleración es negativa, o el vector de aceleración tiene una componente opuesta a la dirección de la velocidad;

• cambio de dirección (girar o virar en el lenguaje común): incluso si la indicación del velocímetro no cambia, el cambio de dirección implica aceleración;

el vector de aceleración tiene una componente perpendicular a la velocidad; aquí nos interesa la variación de la dirección del vector velocidad, no la variación de su norma.

Cuando una persona está sometida a una aceleración, se siente un esfuerzo: fuerza que presiona contra el asiento cuando el coche acelera (va más rápido), fuerza que empuja hacia el parabrisas cuando el coche frena, fuerza que empuja a un lado cuando el coche frena o está girando (fuerza centrífuga). Se siente esta tensión de manera similar al peso. La relación entre aceleración y esfuerzo es el dominio de la dinámica ; pero la aceleración es una noción de cinemática, es decir que se define solo a partir del movimiento, sin involucrar las fuerzas.

El vector de aceleración de un punto material en cualquier momento se encuentra mediante una diferenciación temporal única del vector velocidad de un punto material (o diferenciación doble del vector radio )

${\displaystyle {\vec {a}}={d{\vec {v}} \over dt}={d^{2}{\vec {r}} \over dt^{2}}.}$

Si se conocen las coordenadas del punto en la trayectoria ${\displaystyle {\vec {r}}(t_{0})={\vec {r}}_{0}}$ y el vector de velocidad ${\displaystyle {\vec {v}}(t_{0})={\vec {v}}_{0}}$ en cualquier momento del tiempo t₀,así como la dependencia de la aceleración en el tiempo ${\displaystyle {\vec {a}}(t),}$ al integrar esta ecuación, se pueden obtener las coordenadas y la velocidad del punto en cualquier momento del tiempo t (tanto antes como después del momento t₀)

${\displaystyle {\vec {v}}(t)={\vec {v}}_{0}+\int _{t_{0}}^{t}{\vec {a}}(\tau )d\tau ,}$ ${\displaystyle {\vec {r}}(t)={\vec {r}}_{0}+(t-t_{0}){\vec {v}}_{0}+\int _{t_{0}}^{t}\int _{t_{0}}^{\xi }{\vec {a}}(\tau )d\tau d\xi .}$

La derivada temporal de la aceleración, es decir, el valor que caracteriza la tasa de cambio en la aceleración, se llama sobreaceleración o jerk:

${\displaystyle {\vec {j}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {a}}}{\mathrm {d} t}},}$ donde ${\displaystyle {\vec {j}}}$

es el vector de la sobreaceleración.

Definición de la aceleración de una partícula en un movimiento cualquiera. Obsérvese que la aceleración no es tangente a la trayectoria.

Para cada instante o punto de la trayectoria, queda definido un vector velocidad que, en general, cambia tanto en módulo como en dirección al pasar de un punto a otro de la trayectoria. La dirección de la velocidad cambiará debido a que la velocidad es tangente a la trayectoria y esta, por lo general, no es rectilínea. En la Figura se representan los vectores velocidad correspondientes a los instantes t y t+Δt, cuando la partícula pasa por los puntos P y Q, respectivamente. El cambio vectorial en la velocidad de la partícula durante ese intervalo de tiempo está indicado por Δv, en el triángulo vectorial al pie de la figura. Se define la aceleración media de la partícula, en el intervalo de tiempo Δt, como el cociente:

${\displaystyle \langle \mathbf {a} \rangle =\mathbf {\bar {a}} ={\frac {\Delta \mathbf {v} }{\Delta t}}}$

Que es un vector paralelo a Δv y dependerá de la duración del intervalo de tiempo Δt considerado. La aceleración instantánea se la define como el límite al que tiende el cociente incremental Δv/Δt cuando Δt→0; esto es la derivada del vector velocidad con respecto al tiempo:

${\displaystyle \mathbf {a} =\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta \mathbf {v} }{\Delta t}}={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}}$

Puesto que la velocidad instantánea v a su vez es la derivada del vector posición r respecto al tiempo, la aceleración es la derivada segunda de la posición con respecto del tiempo:

${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}}$

De igual forma se puede definir la velocidad instantánea a partir de la aceleración como:

${\displaystyle \mathbf {v} -\mathbf {v} _{0}=\int _{t_{0}}^{t}\left({\mathrm {d} \mathbf {v} \over \mathrm {d} t}\right)\,\mathrm {d} t}$

Se puede obtener la velocidad a partir de la aceleración mediante integración:

${\displaystyle \mathbf {v} =\int _{0}^{t}\mathbf {a} \ \mathrm {d} t+\mathbf {v} _{0}}$

La medida de la aceleración puede hacerse con un sistema de adquisición de datos y un simple acelerómetro. Los acelerómetros electrónicos son fabricados para medir la aceleración en una, dos o tres direcciones. Cuentan con dos elementos conductivos, separados por un material que varía su conductividad en función de las medidas, que a su vez serán relativas a la aceleración del conjunto.

Las unidades de la aceleración son:

• Sistema Internacional

1 m/s²

• Sistema Cegesimal

1 cm/s² = 1 Gal

Valores de las aceleraciones de varios movimientos:[5]

Nota: aquí g ≈ 10 m/s².

Cinemática del movimiento circular.

Un movimiento circular uniforme es aquel en el que la partícula recorre una trayectoria circular de radio R con rapidez constante, es decir, que la distancia recorrida en cada intervalo de tiempo igual es la misma. Para ese tipo de movimiento el vector de velocidad mantiene su módulo y va variando la dirección siguiendo una trayectoria circular. Si se aplican las fórmulas anteriores, se tiene que la aceleración tangencial es nula y la aceleración normal es constante: a esta aceleración normal se la llama «aceleración centrípeta». En este tipo de movimiento la aceleración aplicada al objeto se encarga de modificar la trayectoria del objeto y no en modificar su velocidad.

${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {dv}{dt}}\mathbf {\hat {e}} _{t}+{\frac {v^{2}}{R}}\mathbf {\hat {e}} _{n}=0\cdot \mathbf {\hat {e}} _{t}+{\frac {v^{2}}{R}}{\hat {\mathbf {e} }}_{n}=\omega ^{2}R\ {\hat {\mathbf {e} }}_{n}}$

En el Movimiento Rectilíneo Acelerado, la aceleración instantánea queda representada como la pendiente de la recta tangente a la curva que representa gráficamente la función v(t).

Si se aplican las fórmulas anteriores al movimiento rectilíneo, en el que solo existe aceleración tangencial, al estar todos los vectores contenidos en la trayectoria, podemos prescindir de la notación vectorial y escribir simplemente:

${\displaystyle a={\frac {dv}{dt}}}$

Ya que en ese tipo de movimiento los vectores ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {a} }$ y ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {v} }$ son paralelos, satisfaciendo también la relación:

${\displaystyle v(t)=v_{0}+\int _{0}^{t}a(\tau )\ d\tau }$

La coordenadas de posición viene dada en este caso por:

${\displaystyle x(t)=x_{0}+v_{0}t+\int _{0}^{t}(t-\tau )a(\tau )\ d\tau }$

Un caso particular de movimiento rectilíneo acelerado es el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado donde la aceleración es además constante y por tanto la velocidad y la coordenadas de posición vienen dados por:

${\displaystyle v(t)=v_{0}+at,\qquad x(t)=x_{0}+v_{0}t+{\frac {at^{2}}{2}}}$

El análogo de la aceleración en mecánica relativista se llama cuadriaceleración y es un cuadrivector cuyas tres componentes espaciales para pequeñas velocidades coinciden con las de la aceleración newtoniana (la componente temporal para pequeñas velocidades resulta proporcional a la potencia de la fuerza dividida por la velocidad de la luz y la masa de la partícula).

En mecánica relativista la cuadrivelocidad y la cuadriaceleración son siempre ortogonales, eso se sigue de que la cuadrivelocidad tiene un (pseudo)módulo constante:

${\displaystyle \mathbf {U} \cdot \mathbf {U} =c^{2}\Rightarrow 2\mathbf {U} \cdot {\frac {d\mathbf {U} }{d\tau }}=0\Rightarrow 2\mathbf {U} \cdot \mathbf {A} =0}$

Donde c es la velocidad de la luz y el producto anterior es el producto asociado a la métrica de Minkowski:

${\displaystyle V\cdot W:=\eta (V,W)=\eta _{\mu \nu }V^{\mu }V^{\nu }}$

En teoría general de la relatividad el caso de la aceleración es más complicado, ya que debido a que el propio espacio-tiempo es curvo (ver curvatura del espacio-tiempo), una partícula sobre la que no actúa ninguna fuerza puede seguir una trayectoria curva, de hecho la línea curva que sigue una partícula sobre la que no actúa ninguna fuerza exterior es una línea geodésica, de hecho en relatividad general la fuerza gravitatoria no se interpreta como una fuerza sino como un efecto de la curvatura del espacio-tiempo que hace que las partículas no trayectorias rectas sino líneas geodéscias. En este contexto la aceleración no geodésica de una partícula es un vector cuyas cuatro componentes se calulan como:

${\displaystyle A^{\alpha }={\frac {dU^{\alpha }}{d\tau }}+\sum _{\beta ,\gamma }\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }U^{\beta }U^{\gamma }}$

Aquí ${\displaystyle \scriptstyle \alpha =0,1,2,3}$ (componente temporal y tres componentes espaciales). Se aprecia que cuando los símbolos de Christoffel ${\displaystyle \Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }}$ una partícula puede tener aceleración cero aunque su cuadrivelocidad no sea constante, eso sucede cuando la partícula sigue una línea geodésica de un espacio-tiempo de curvatura no nula.

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